2021年浙江省宁波市海曙区效实中学高考数学模拟试卷（附答案详解）

2021年浙江省宁波市海曙区效实中学高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.设全集U=R，集合4={刈％2-1},8={划一2^^<3},则集合（（：〃1）。8是（）

A.[%|-2<x<_1]B.{x|-2WxV_1)

C.x\-2<x<-1}D.{%|-2<x<-1}

2.已知zi=2+i(i是虚数单位)，则5=()

A.-1-2iB.-1+2iC.l-2iD.1+21

3.若实数x,y满足约束条件忆I",则2=?的取值范围是()

A.(—8,-4]U[2,4-00)B.(-00,-2]U[4,+oo)

C.(-8,0]u[2,+8)D.[—4,2]

4.已知等差数列{即}的前〃项和为Sn,且满足。544,S5>40,则该数列的公差d可

取的值是()

A.3B.1C.—1D.—3

5.”>1”是“ln（a-l）>ln（b-l）”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

6.已知cosg+a）=—|,—yr<a<0,则cosa=（）

A.迎B.一匹C.公D.」

101010

7.函数/（x）=ln（；聋》的图象大致为（）

y」Vi

8.

点，若|PFJ+\PF2\=6a,且4P&F2的最小内角为右则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2%B.y=±1xC.y=±—xD.y=±V2x

N2

9.已知棱长为3的正四面体A-BCD的底面BCD确定的平面为a,P是a内的动点,

且满足PA22PD,则动点P的集合构成的图形的面积为（）

A.3B.弓7rC.4兀D.无穷大

10.定义数列｛即｝如下：存在keN*,满足纵<以+1，且存在s€N*,满足as>as+i，

已知数列｛a”｝共4项，若见G一用y,z｝（i=1,2,3,4）且t<x<y<z,则数列｛an｝

共有（）

A.190个B.214个C.228个D.252个

二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.已知（1+2产产的展开式中二项式系数的和为64,则n=,二项展开式中含P

的项为.

12.三棱锥P-ABC中，PA=1,AB=AC=五,PA,AB,1，,

AC两两垂直，M为PC中点，则异面直线PB与AM所

第2页，共21页C

N

H

成角的余弦值是;取BC中点N,则二面角M—4N—C的大小是.

13.某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球3个黄球,

每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为；若

摸到一个红球得2积分，则顾客获得积分的期望为.

14.已知点M(xo，yo)(yo>0)是抛物线C：f=4%上一点，以M为圆心，r为半径的圆

M与抛物线C的准线相切，且与x轴的两个交点的横坐标之积为5,则圆M的方程

为,若过抛物线C的焦点F作圆M的切线交抛物线于A,8两点，贝川

\BF\=.

15.已知点P为△4BC所在平面内一点，满足mA?=—3同+而(m>0)，S^PBC=

：SA4BC，则m=-

16.已知正数a,6满足2+：=2,则言一a的最大值为____.

abo+l

17.已知当xe[0,log23]时，函数f(x)=||2丫一:1|-8¥+3-291|的最大值为8,则实

数a的取值为.

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.已知函数/'(x)=cos?%—sin?%—2cos2(x+3，%e[0,n].

(I)求函数f(x)的最小值及对应的X的值：

(11)设448。的内角是4,B,C,若/(4)=-2,且々ABC的角平分线

交AC于Q,BD=CD,求A。：0c的值.

19.如图，正方形A8CD和正方形CQEF所在平面的二面角是60。，M为BC中点.

(I)求证：EC〃平面AMF；

(II)求A尸与面EMC所成角的正弦值.

20.已知数列｛an｝的前任项和为无,%=1,a2=2,公比为2的等比数列｛bn｝的前附

项和为〃，并且满足an+ilog2(7；+l)=2Sn.

(I)求数列｛册｝,｛%｝的通项公式；

(n)已知”=与产,规定劭=0,若存在neN*使不等式q+C2+C3+…+金<

/n/n+i

1-4成立，求实数；i的取值范围.

n

21.已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的离心率为当，短轴长为2,椭圆C的左、右

顶点分别为A,B.过点G(l,0)的直线/与椭圆C交于M(xi，y1)，NQ^y2)两点，其

中—>0,y2<0.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设直线AM,BN的斜率分别为自，k2,△G4M,△GBN的面积分别为S1，S2.

(团)求口的值;

K2

(团)若直线AM斜率心e[i,l],求Si的取值范围.

第4页，共21页

22.设函数/(x)=aex-%2-x-1,g(x)=(Znx)2-%2+x(a6R)

(I)若。=1,记函数f(x)的极值点个数和g(x)的零点个数分别为n,求m+几；

(II)若函数F(x)=g(x)-/(%)有两个极值点，求实数〃的取值范围，

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为集合4={x}x>-1},B={x|-2<x<3},

所以QA={x|x<-1）,

则（C（M）nB={洌-2Wx<-1}.

故选：B.

先利用集合补集的定义求出Q4再由集合交集的定义求解即可.

本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集与补集的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为zi=2+i,

所以2=四=智=1-23

II2

所以W=1+2i.

故选：。.

先利用复数的除法运算求出z,然后由共粗复数的定义求解即可.

本题考查了复数的除法运算以及共飘复数的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

联立方程组求得4（一：，9,8（1,1），

第6页，共21页

Z=?的几何意义为可行域内的动点与定点P(O,-1)连线的斜率.

一1二

,**kpA="=-%kpB=一1=2,

3

•••z-子的取值范围是(-8,-4]U[2,4-00).

故选：A.

由约束条件作出可行域，再由z=?的几何意义，即可行域内的动点与定点P(0,-l)连

线的斜率求解.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

4.【答案】D

【解析】解：•.•等差数列的前〃项和为右，且满足。534,S5>40,

俨1+4d<4[的+4d<4

"15al+等d240'即(一%-2dW-8,

解得d<-2.

该数列的公差d可取的值为-3.

故选：D.

利用等差数列前〃项和公式和通项公式，列方程组，求出dW-2.由此能求出该数列的

公差d可取的值.

本题考查等差数列的可能取值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：①当Q=-2,Z?=—1时，满足但ln(a-1),ln(b-1)无意义，，充

分性不成立，

b-1>0

②当ln(a-1)>ln(b-1)时，则a-1>0,a>b>1,••4>1,.•.必要性成立，

a—1>b—1

：•三>1是ln(a-1)>ln(h-1)成立的必要不充分条件，

故选：B,

由对数的运算性质与不等式的基本性质，结合充分必要条件的判定方法得答案.

本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础

题.

6.【答案】D

【解析】解：因为cosg+a)=-|,-7T<a<0,

所以a+E€(一手sin《+a)=-g,

则cosa=cos[©+a)-：]=曰[cos(^+a)+sing+a)]=yx(-1)=-誓.

故选：D.

由已知结合同角平方关系先求出sin©+a),然后结合两角差的余弦公式可求.

本题主要考查了同角平方关系及两角差的余弦公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：当x=0时，f(x)无意义，故排除A；

当X=71■时，/(X)无意义，故排除。；

¥

1

当

X=7-T时O=Z<O

一

I一

2InX

1故排除c,

呼

故选8

根据特殊值即可判断正确答案.

本题考查了函数图象的识别，掌握函数函数值的特点是关键，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：Fi，尸2分别是双曲线条一，=l(a>

0,b>0)的左、右焦点，A为左顶点，不妨设P为

双曲线右支上一点，|P0|+|PF2|=6a且APF1F2

的最小内角为也如图，|PFJ—|PFz|=2a,所以，

\PFr\=4a,\PF2\=2a

三角形△。鼻尸2是直角三角形，并且J=2ctan->

a6

第8页，共21页

化为:捺=4臂标）,可得3$4_4（今2_4=0,

解得6）2=2,（今2=_|舍去，

可得：-=V2,

a

所以双曲线的渐近线方程：y=±V2x,所以。正确；

故选：D.

利用已知条件画出图形，判断三角形的形状，推出。，〃的关系，然后求解双曲线的渐

近线方程即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

9.【答案】B

【解析】解:

设△BCD

的外心为

0,过。点

作BC的平

行线，以。

为坐标原

点，建立如

图所示的

空间直角

坐标系.

因为8c=

3,所以

0D=V3.

0A=

yjAD?一。02=瓜,

则4(0,0,V6).D(V3,0,0),设P(x,»0),

由PA>2PD得“2+y2+6>2Jx2+(y—V3)2,

化简整理得/+(y-竽)2<学所以动点尸为半径为

故选：B.

过。点作3C的平行线，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，通过化简整理P4>2PD

得P点轨迹为半径为的圆及圆的内部，进而求出面积.

本题考查正四面体的性质，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：由题意知：数列的4项中，存在k6N*,满足ak<ak+1,且存在seN*,

满足as>as+i，数列中有增有减，下面分4种情况讨论.

①4项中每一项都不相同：共有41-2=22个，（t<%<y<z和z>y>x>亡不符合

要求）；

②只有2项相同，例如x,y,z,x类型，对应有增有减数列有盘•戏•（奈-2）=120个，

（%A>y.z与z,y,x,x不符合要求）；

③有3项相同，例如x,x,y,x类型，符合条件的数列有熊•©♦6=24个；

④两两相同，例如x,y,x,y类型，对应的有增有减数列有4个，此时符合条件的数

*（肃I-2）=24个

综上：数列共有22+120+24+24=190个

故选：A.

由题意，满足条件的数列｛an｝中的四项，每一项都应在集合｛tx，y,z｝中任取，会有四

种情况：①4项中每一项都不相同；②4项中两项相同；③4项中有三项相同；④4项中

两两相同；利用排列组合的知识识分别求出每种情况的个数，然后加和即可求解.

本题主要考查排列组合与计数原理的相关内容，弄清满足条件的数列中的4项有哪几种

情况是解题的关键；属于中档题.

11.【答案】660x4

【解析】解：:（I+2/）n的展开式中二项式系数的和为2n=64,则n=6.

二项展开式中含铲的项为底•（2/产=60x3

故答案为：6；60/.

由题意利用二项式系数的性质求得〃，再利用通项公式求得二项展开式中含小的项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基

第10页，共21页

础题.

12.【答案】*

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y

轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1),B(72,0,0),71(0,0,

PB=(V2,0-T)，丽7=(0,今，

设异面直线PB与AM所成角为0,

___1

八\PB-AM\弓1

则。"0=商而=藕=与，

••・异面直线PB与AM所成角的余弦值为1；x

N(日,孝,0),丽=4,今0),

设平面AMN的法向量元=(xj,z),

(n-；4/V=—x4-—y=0

则4—2后；取％=1,得71—(1,—1,V2),

{n-AM=^-y+-z=0

平面ANC的法向量沅=(0,0,1),

设二面角M-AN-C的平面角为6,

7T

则cos”韶=*=尊二。7

|m|-|n|V42

二面角M-AN-C的大小为不

故答案为：I

以A为原点，A8为x轴，4c为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出异面直线PB与AM所成角的余弦值；求出平面AMN的法向量和平面ANC的法向

量，利用向量法能求出二面角M-4N-C的大小.

本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题.

.【答案】~

13642

【解析】解：由题意摸到一个红球两个黄球的概率为P=禺X；X(乎=g.

设摸到红球的个数为X,则X〜8(3,3，

所以E(X)=3x；=[,

设积分为Y,则丫=2X,

所以E(y)=E(2X)=2E(X)=2x;=1.

故答案为:

642

利用相互独立事件的概率乘法公式求解概率，求出随机变量X的可能取值，判断出

X〜8(3,》，由数学期望的计算公式以及期望的性质求解即可.

本题考查了概率问题的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解

与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

14.【答案】(*-3)2+(y-26)2=1616

【解析】解：设圆M与抛物线的准线切于点。，与x轴交于尸,

两点，如图所示，

因为|MP|=|MD|=r,所以点P为抛物线的焦点尸，贝i」P(l,O),

又因为与x轴的两个交点的横坐标之积为5,

则Q(5,0),因为|MP|=|MQ|=r,

所以%财=?=3,y”=所,3=2V3,

故M(3,26)，r=J(3—1尸+(2百一0)2=4，

所以圆M的方程为：(x-3)2+(y-2b)2=16；

设8(如、2)，如图所示,

则=言=则恩8=

所以直线AB的方程为y=_/(x_1),

联立方程组可得/一14x+1-0,

y2=4%

所+%2=14,%1%2=1，

2

贝U|4F|•|BF|=J(X—1)2+M-V(X2-1)+^

第12页，共21页

J(%-1)2+4%♦J。2-1)2+4不

=+1/+1万

=&+1)(%2+1)

1

=XrX2+Xx+X2+

=16.

故答案为：(x—3)2+(y-2V3)2=16：16.

设圆M与抛物线的准线切于点。，与x轴交于「，。两点，先求出点尸和。的坐标，进

而求出M的坐标，由两点间距离公式求出圆的半径，即可得到圆的标准方程；求出直

线M尸的斜率，即可得到直线4B的斜率，从而求出直线A8的方程，与抛物线方程联

立，得到韦达定理，利用两点间距离公式结合韦达定理化简求解即可.

本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系的运用，涉及了抛物线的定

义，圆的几何性质以及“设而不求”的方法的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能

力，属于中档题.

15.【答案】7

【解析】解：如图所示：以C为原点，CB为x轴，与CB垂直的直线为y轴，建立平面

设P(%,y),4(s,t),B(a,0),C(0,0),由S^BC=次说，得丫=±宗

则无=(―x,—y)，TA—(s—x,t—y)>丽=(a—x,-y)>

3s-a

X=-----

根据zn定=一3对+而(m>0)，「黑：胃:黑+解得:m+2

\/\—niy——DL-rjy—y3t

y=^i

y=±1,.•.可解得m=7或—11,m>0,・,・可取?n=7.

故答案为：7.

以C为原点，CB为X轴，与CB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出P、A、

8坐标，

根据m正=-3PA+PB(m>0).列方程组可解决此题.

本题考查向量数乘和线性运算，考查数学运算能力，属于中档题.

16.【答案】2

【解析】解：因为；+合2,所以a+b=2ab,

当。=决寸，；=0,不符合题意,

所以6=/(a>》，

331.3。-1、1

则--------I------------）

3a-l37

2a-l3'

因为a>点则a>/所以3a—1>0,

则，+如二22/二一•如二=也,

3a—13，3G—133

当且仅当±=片，即。=上更时取等号,

3a—133

遮

所以2-67+军)+2-竽-1=-5---2--,

33

则言-a的最大值为亨.

故答案为：三出.

利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于。的关系式，然后利用基本不等式

求解最值即可.

本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不

9

等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、，⑴“-S-I

\ItI/

三相等，属于中档题.

/!\1》・卜一・1

\//

17.【答案】2或生包一8.・•；」

9

X

【解析】解：因为Xe[0,log23],KiJt=2e[1,3]，

所以9（c）=1付-a|—产+6t|>

令||t-a|—t34-6t\<8,即n—6t—8<|t—

第14页，共21

a|<t3-6t+8,且在t6[1,3]上等号能取到，

在同一坐标系下，分别作出函数g(x)=%3—6%+8,/i(x)=x3—6x—8,y=—a|的

图象，

函数y=1%—a|经过点(3,1)时，可得Q=2,

g'(x)=3x2—6,

当直线y=\x-a|与y=g(%)相切时,切点为(x,3-6%+8),

则有3%2-6=止空史=1,解得x=R,a=生更一8.

x-ayj39

综上所述，实数。的取值为2或如至-8.

9

故答案为：2或曳至一8.

9

令《=2*€[1,3],将问题转化为t3-6t-8W|t—矶St3-6t+8,且在te[1,3]上等

号能取到，然后利用数形结合法，借助导数的几何意义进行分析求解，即可得到答案.

本题考查了含有绝对值的函数的应用，导数几何意义的应用，数形结合法的应用，考查

了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

18.【答案】解：(I)函数f(x)=cos2x-sin2%-2cos2(x+^)=cos2x—cos(2x+]—

1-V2sin(2x+§—1.

由于xe[0,n],

所以勿+会覃争,

故当》=却寸，函数/(x)的最小值为一代一1.

(口)由于/(4)=一2,

所以近sin(2A+》=-l,

由于4e(0,兀)，

所以4=?,

4

由于8。为N4BC的平分线，

所以N4BD=乙DBC,

所啮吟，BD=CD,

所以NDBC=",

故=4DBC=乙C,

所以4aBe=2NC,由于N4+ZU4BC+4c=TT,

所以如+34C=7T,故…

4

sinC_sinj^_fj.n_

利用正弦定理：黑77T7—•3rr_VZsin,

DCsinAsm—12

4

所以gDC5&"=尊

【解析】(I)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果;

(U)利用正弦定理和角平分线定理和三角函数的值的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定

理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

平面角，则"IDE=60。,

故0(0,0,0),C(0,2,0),8(2,2,0),4(2,0,0),尸(0,2,何。(1,0,面”(1,2,0),

所以窃=(-1,2,一遮)，祠=(-1,2,0)，MF=(0,0,73).

设平面AA/F的法向量为访=(x,y,z),

则产眄=。，即r+2"°，

(记•MF=0tV3z=0

令x=2,则y=l,故沆=(2,1,0)，

所以正•瓦=-lx2+2xl-gx0=0，

故於1m.又ECC平面4A/F,

所以EC〃平面AM尸；

第16页，共21页

(II)解：由(1)可知，EM=(0,2,-V3),CM=(1,0,0).

设平面EMC的法向量为ii=(a,b,c),

则伊•更=0,即［2b-Be=0,

tn-CM=0U=0

令c=26,则b=3,故五=(0,3,2回

又而=(-1,2,73).

所以|cos<AF,ri>l=丽？=-「2广=—，

1'1\AF\\n\VHX2V27

故AF与面EMC所成角的正弦值为逗.

7

【解析】（I）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出直线

的方向向量，利用待定系数法求出平面AMF的法向量，然后通过向量垂直的坐标表示，

即可证明；

（口）利用（1）中的坐标，利用待定系数法求出平面EMC的法向量，求出直线4尸的方向

向量，由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立

合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

20.【答案】解：（I）由题意，an+ilogzG+DuZSn，

所以a210g2（A+1）=2S],即a210g2（瓦+1）=2a「

因为%=1,所以瓦=1,

又等比数列｛3｝的公比为2,

所以b"=2吁1,

则%=耳券=2皿-1,即2Sn=nan+i，

当九>2时，2（Sn-Sn_i）=2an=nan+1-（n-l）an,

BPnan+1=（ri+l）an,

当九=1时，％=2%也适合上式，

所以几an+i=（n+l）an,

则鬻聋=0,又中=1，

所以数列｛等是常数列且卑=1,

所以61n=n；

（口）由（I）可得，4=2n-l,

斫以_(n-l)2"+l___n_______n+1

nn+1，

月T以Cn-(2f)(2」+1-1)-2-l-2-l

•••q+C2+c3+•••+cn=1-黑i；<1-:对nGN*有解，

令。酷，

则％+】—4=嗤磬一事

=5+1)(2肾1-2二-1)

_5+1)[(2-九)2"1-2]

一(2n+2-l)(2n+1-l)?

当?i=1时，d2>dr,

当71>2时，dn+1<dn,

所以也为时的最小值，

则;1<42，即4<],

所以实数/I的取值范围为(-8)

【解析】(I)利用已知的等式赋值n=l,可以求出瓦=1,然后由等比数列的通项公式

即可求出垢；求出〃，从而得到2Sn=71即+1，利用数列的第〃项与前”项和的关系可

以得到71限1=(n+1)即，从而确定数歹式等是常数列且早=1,即可求出即；

(11)由(1)中的结果，求出力,然后利用裂项相消法求出G+C2+C3+…+cn,将不等

式有解问题转化为求解数列的最值问题，利用作差法求解数列的单调性，即可得到最值,

从而得到4的取值范围.

本题考查了数列与不等式的综合应用，等比数列通项公式的应用，等比数列前"项求和

公式的运用，数列的第"项与前〃项和的关系的运用，数列最值的求解，考查了逻辑推

理能力与化简运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(I)因为椭圆C的离心率为¥，短轴长为2,

所以b=1,e2==a-；J--解得a?=4,

a2a24

所以椭圆C的标准方程为9+y2=1;

(n)(i)由(I)可得,4(-2,0),8(2,0),

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„2

令直线MN为x=hy+l,代入?+y2=l,

可得(4+h2)y2+2hy-3=0,

所以『+'2=3能

又怎=金一=-3-

X1k27==/-

4+25+3'与-2hy2-r

所以匕=2f=L

713'

人电hyiy2+3y2

(ii)设直线4M为x=4y+l,其中心=看,

由自eg,l],则儿€[1,3],

2

将直线AM的方程代入会+y2=i，可得（妊+4沙2一4阳丫=0,

所以为=挽

设直线BN的方程为％=九2丫+1，其中九2=2，

K2

同理可得力=前

由（i）可得氏=2则九2=］九1，所以其€良1］，

1Ali

S14；||

又=与乃|=与为|,S2=\\BG\\y2\=-\yi\,

所以5152=：|%%1=湍鼠36好_36

9熄+406+16-竭+患+40,

令£=n，则

CC36

所以Sl$2=9t+弓+40,

因为