2022-2023学年安徽省芜湖一中高二（上）第一次诊断数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年安徽省芜湖一中高二(上)第一次诊断数学试卷

1.已知三棱锥。一力BC,点M,N分别为AB,OC的中点，且工？=五，OB=b＞小=用优

A.-(b+c-a)B.-(a+b+c)C.-(a—b+c)D.-(c—a—£>)

2.若向量为=(1,-2,3),E=(-23-1)，则|五+2石|=()

A.2V7B.5C.V26D.4V2

3.在正方体ABCO-A'B'C'。'中，棱长为2,点M为棱。。'上一点，则布•丽的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

4.已知4(0,2),B(2,l),过点C(l,0)且斜率为左的直线/与线段AB有公共点，则k的取值范

围是()

A.[—2,1]B.(-00,-2)U(l)+oo)

C.(—2,1)D.(―oo,-2]U[l,+oo)

5.直线4，。是分别经过4(11)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当心力间的距离最大时,

直线。的方程是()

A.x+2y-3=0B.x—y—3=0C.x+2y+3=0D.x—y+3=0

6.如图，甲站在水库底面上的点。处，乙站在水坝斜面上的

点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120。，测得从Q,C

到库底与水坝的交线的距离分别为ZM=30m,CB=40m,又

已知4B=20次瓶，则甲、乙两人相距()

A.50nzB.10V37mC.60mD.70/M

7.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABC。是边长为4的菱形,

且皿48=pPD_L底面ABCD,若点。到平面PAC的距离为VL

则PD=()

A.2V2

B.V2

C.1

D.2

8.在棱长为I的正方体4BC0-4B'C'。'中，己知点P是正方形44。'。内部（不含边界）的一

个动点，若直线AP与平面A4'B'B所成角的正弦值和异面直线AP与。C'所成角的余弦值相等，

则线段。P长度的最小值是（）

A军B这C小D士

a2D-333

9.下列命题中，是假命题的是（）

A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana

C.若直线倾斜角ae冷等，则斜率人的取值范围是（一8,-何u[l,+8）

D.若直线的斜率为tana,则直线的倾斜角为a

10.下列四个命题中真命题有（）

A.直线y=%-2在y轴上的截距为一2

B.经过定点力（0,2）的直线都可以用方程y=kx+2表示

C.直线6%+my+14=0（mGR）必过定点

D.已知直线3乂+4）/+9=0与直线6%+;71丁+24=0平行，则平行线间的距离是1

11.已知空间三点4（一2,0,2）,6（-1,1,2）,C（-3,0,4）,设立=荏，石=前.则下列结论正确的

是（）

A.若©=3,且乙/内,则不=（2,1,-2）

B.1和方的夹角的余弦值-晋

C.若kW+B与k五一2方互相垂直，则人的值为2

D.若；10+方）-B）与z轴垂直，则；I,〃应满足;1一〃=0

12.在正方体4BC。-4/165中,E,F,G分别为BC,CC1（BB1

的中点，则下列结论中正确的是（

A.5。1AF

B.二面角F-AE—C的正切值为三

C.异面直线4G与EF所成角的余弦值为罂

D.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

13.若直线2x+y—5=0与mx—3y+6=0垂直，则m=.

14.设直线/的方向向量为记=(2,-l,z),平面a的一个法向量为元=(4,一2,-2),若直线〃/平

面a,则实数z的值为.

15.直线/：3x-2y+5=0,P(>n,n)为直线/上动点，则(巾++标的最小值为.

16.在棱长为鱼的正四面体ABCD中，点M满足箱=%而+、就一Q+y-1)同，点N

满足前=2瓦？+(1-2)就，当4W、BN最短时，AM-'MN=.

17.已知△ABC的顶点4(-2,4),5(4,-6),C(5,l).

(1)求A8边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点A,且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.

18.如图，在三棱锥P-4BC中，点。为棱8c上一点，且CD=2BD,点M为线段AD的中

点.

⑴以｛荏、AC,而｝为一组基底表示向量而；

(2)若4B=4C=3,AP=4,^BAC=^PAC=60°,求丽•前.

19.棱长为2的正方体中，E、尸分别是。为、的中点，G在棱CO上，且CG=2C。，，是

GG的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)求证：EF1&C；

(2)求cos〈前，的；

(3)求FH的长.

Oi

20.如图，在三棱柱ABC—ABiG中，侧面441GC1底面A8C,侧面44停停是菱形，Z.ArAC

60°,/.ACB=90°,AC=BC=2.

(1)若。为41c的中点，求证：AD

(2)求二面角力-4停-Bi的正弦值.

8

21.如图，将一块直角三角形木板AB。置于平面直角坐标系中，已知4B=0B=1,AB1OB,

点P©,》是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，

可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成△AMN,设直线MN的斜率为k.

(1)用A表示出直线MN的方程，并求出M、N的坐标；

(2)求锯成的44MN的面积的最小值.

22.如图,在四边形PDCB中，PD“BC,BA1PD,PA=AB=BC=1,AD=去沿BA将4PAB

翻折到△SB4的位置，使得SD=y.

(1)作出平面SC。与平面SBA的交线I,并证明I平面CSB；

(2)点。是棱SC上异于S,C的一点，连接Q。，当二面角Q-80C的余弦值为与时，求此时

三棱锥Q-BC。的体积.

D

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•.•点M为AB的中点，.•.而7=*刃+而)=颉+颉，

•・•点N为0C的中点，.•.丽=2灵=呆，

____,_,,111Tl_

:.MN=ON-0M=?—2=2(?—五—6).

故选：D.

利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出.

本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••汗=(1,-2,3),6=(-2,3,-1),

.,■a+2b=(―3,4,1)>

\a+2b\—+16+1-V26.

故选：C.

利用空间向量的坐标运算求解即可.

本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则。(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),

设M(0,0,t),0<t<2,

则加7=(-2,0,t),丽=(-2,-2,t),

则初•~BM=(-2)x(-2)+0x(-2)+t2=t2+

4>4,当且仅当t=0时取等号，

即福•询的最小值为4,

故选：D.

先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，

然后结合空间向量的数量积的运算求解即可.

本题考查了空间向量的数量积的运算，属基础题.

4.【答案】D

【解析】解：要使过C的直线与直线

A8有交点只需找到直线AC、BC的斜

率，根据题意，kAB=-2,kBC=i,根据

倾斜角与斜率的关系系，过C的直线

倾斜角只需要介于直线BC和直线AC

之间即可，本题选：D.

本题考查利用平面内两点求直线的斜

率以及直线的倾斜角与直线斜率的关

系，只需求出两种临界情况

注意倾斜角与斜率的关系，特别是倾

斜角为90度时.

5.【答案】A

【解析】解：由题意可得，小间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直.

由于48的率为岩=2,故直线k的斜率为-今

故它的方程是=化简为x+2y-3=0,

故选：A.

由题意可得，％间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直.利用斜率计算公式及其相互垂直

的直线斜率之间的关系即可得出.

本题考查了斜率计算公式及其相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意得配=万？+布+配，

•••|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB^+BC2+2DA-AB+2BC-DA+2AB-BC,

又ZM=30m,CB=40m,AB=20-73m,

22

•••|DC|=30+(20国＞+402+0+2x30x40x|+0=4900,即|玩|=70m,

故甲、乙两人相距70m,

故选：D.

利用向量法，DC^DA+AB+BC,结合向量的线性运算，即可得出答案.

本题考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：设E为8C中点，因为底面ABC。是边长为4的菱形，且所以DE1BC,

而皿BC,所以DEJ.D4

故以。为坐标原点，以赤，前的方向分别为x,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。-

xyz,

设PD=Q,则P(O,O,a),4(400),C(-2,2A/3,0),

设记=(%y,z)是平面PAC的法向量，

因为丙=(4,0,—a),AC=(-6,273,0),

则匕・空一4%-az令％=a,得记=(见旧0,4),

设点D到平面PAC的距离为d,

因为病=(4,0,0),

所以d=|察|=7^==&,得a=2,

同J4a2+16

故选：D.

建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

本题考查了利用向量法求解点到平面的距离问题，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图，以。为坐标原点，DC,DA,0。'所在直线为

x,y,z轴建立空间直角坐标系，

可设P(0,y,z),由4(0,1,0),C'(l,0,l),4(0,1,0),

AP=(0,y-l,z),而=(1,0,1),DA=(0,1,0),

设直线AP与平面/M'B'B所成角为。和异面直线AP与DC'所成角为

Q,

可得cosa=cos<AP,DC>=---,z=,sind=|cos<AP,

鱼.Jz2+(y—1)2

DA>\=-,0<y<1,

V2jz2+(y-l)2

由sin。=cosa,可得z=V2(l—y),

则I9I=Jy2+z2=Jy2+2(1-y)2=J3(y-|)2+|,

当、=削寸，线段OP长度的最小值为孚

故选：C.

以。为坐标原点，OC,D4,。。'所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设直线4P与平面44'B'B

所成角为。和异面直线AP与DC'所成角为a,运用向量的数量积的夹角公式，结合二次函数的最值

求法，可得所求最小值.

本题考查线面角和异面直线所成角的求法，注意建立空间直角坐标系解决，考查化简运算能力，

属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4,当一个倾斜角在第一象限，另一个倾斜角在第二象限时，

不满足直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大，故4错误，

对于8,当直线的倾斜角为*则直线的斜率不存在，故8错误，

对于C,直线倾斜角a6冷争，

则斜率幺的取值范围是(一8,一百］U口,+8),故C正确，

对于。，当戊=苧时，直线的斜率为-1,但直线的倾斜角不为掌故。错误.

故选：ABD.

根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解.

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：选项A,令x=0,则y=-2,所以直线y=x-2在y轴上的截距为一2,即A正确；

选项B,若直线的斜率不存在，即直线x=0,虽然经过点4(0,2),但不能用y=kx+2表示，即B

错误；

选项C,令y=0,则无=一［,所以直线6x+my+14=0(m6R)必过定点(一0),即C正确；

选项D,由题意知m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=。所以两平行直线间的距离

为d-J'‘I—即£)错误.

5

故选：AC.

选项4,根据截距的定义，即可得解；选项B,直线的斜率有可能不存在；选项C,令y=0,则

%=-1,可得定点为(一£0)；选项根据两平行直线间的距离公式，即可得解.

本题考查了直线的方程的应用问题，是基础题目.

11.【答案】BD

【解析】解：对于A,1,1,2),C(-3,0,4),

BC=(-2,-1,2),

••C//BC,

•1•c=mBC=m(—2,—1,2)=2m),

v|c|=3,

|c|=J(-2m)2+(—m)2+(2m)2=3|m|=3,解得m=±1,

故不=(—2,—1,2)或下=(2,1,—2),故A错误，

对于BCD,v4(-2,0,2),B(—1,1,2),C(-3,0,4),a=AB,b=AC,

a=(1,1,0),b=(-1,0,2),a-b=(1,1,0)-(-1,0,2)=-1,

v|a|=Vl2+l2+02=V2,|fa|=’(-1)2+02+22=V5,

.•・85<第3>=襦=息=—部，故B正确’

va=(1,1,0),K=(-1,0,2),

•••fca+K=(fc—1,fc,2)>ka-2b=(k+2,k,—4),

•••卜力+石与k五一23互相垂直，

(/c-l)(fc+2)+/c2-8=0,即2k2+卜-10=0,解得k=2或-|,故C错误,

•：a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),

•••A(a+b)+n(a—b)=(2〃,4+〃,24—2〃),

•••A(a+b)+n(a-石)与z轴垂直，

二22—2〃=0,即2—〃=0,故。正确.

故选：BD.

对于A,结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解，

对于8,结合向量的夹角公式，即可求解，

对于C,结合向量垂直的性质，即可求解，

对于Q,结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查立体几何的综合运用，涉及了异面直线所成角，二面角以及点到平面的距离等知识点，

考查推理能力及计算能力，属于中档题.

由。且44与AF不垂直，可判断选项A；过点＜7作。"14后，则"WC即为二面角F-

4E-C的平面角，计算可知tan/FMC=亭异面直线&G与所所成的角即为直线&G与G”所成

角N&GH,结合余弦定理可判断选项C；点G到平面AE尸的距离与点C到平面4EF的距离之比

为翳，求出GN,CN可判断选项。.

【解答】

解：在正方体4BCD-&B1GD1中，显然。山〃4遇，且4〃与A尸不垂直，故与AF不垂直，

选项A错误；

过点C作CM14E,交AE的延长线于M,连接尸

由二面角的定义可知，NFMC即为二面角F-AE-C的平面

角，

不妨设正方体的棱长为2,则CF=1,CM=染上=管，

河5

・•・tan-MC=带=4=孚选项B正确；

取BiCi中点”，连接4/，GH,则GH〃EF,故异面直线4G与EF所成的角即为直线&G与G”

所成角乙41GH,

而Ai”=V22+1=V5M1G=V22+1=V5,GH=而+1=V2,

故在AHiCiG中，

由余弦定理可得cosN&GH=

Z.Ai(j'Un

=盘击=噂'选项C正确；

连接CG交EF于点N,则点G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离之比为黑，

而4GNFS4CNE,畔4=2,选项。正确.

故选：BCD.

13.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出.

【解答】

解：•・,直线2无+y-5=0与血%-3y+6=0垂直，

・•.两条直线的斜率相乘等于-1,

m

•••-2X-2-=-1.

:.2m—3=0,

解得m=|.

故答案为：--

14.【答案】5

【解析】解：••・直线〃/平面a,

•••mln,即8+2—2z=0,解得：z=5.

故答案为：5.

由线面平行可得沅1n,由向量垂直的坐标表示可构造方程求得z的值.

本题考查空间向量判断直线、平面的位置关系，是基础题.

15.【答案】/

【解析】解：O+1)2+几2可看成是直线上一点P(犯n)到点Q(-1,0)的距离的平方，

当PQ11时，距离最小，

故点Q(-l,0)到直线1：3无一2y+5=。的距离为尸型包=杀，

次+(-2)2皿

所以(m+1)2+彦的最小值为(急)2=±,

故答案为：去.

根据点到直线的距离即可求解.

本题考查了点到直线的距离的最值问题，属于基础题.

16.1答案］—|

【解析】解：由四点共面定理及三点共线定理可知，

MC平面BCD,N6直线AC,

当AM,BN最短时，4M_L平面8CO,BN1AC,

所以M为正ABC。的中心，N为AC的中点，

2V3„2V3

MC=-x—x2=―,

所以4M=y/AC2-MC2=J（或产一（苧尸=争

又而=*就+碗），

故而-MW=1（AM-MC+AM-MA）

1一，2

=--^\MA\2=-g.

故答案为：—

由平面向量的数量积的性质及运算即可解决.

本题考查平面向量的数量积性质和运算，属于中等题.

17.【答案】解：（1）由题意得，AB中点坐标为（1,一1）,

则A8边上的中线过点（1,一1）,斜率1=詈=:，

•••力B边上的中线所在直线的方程为y+1=1（x-1）,即x-2y-3=0.

（2）当截距为0时，直线过原点，设直线方程为y=依，则卜=4=-2,

・•・直线方程为y=-2%；

当截距不为0时，直线方程为2+*=1,

aa

••,直线过点4（-2,4）,则|+：=1，解得，a=2,

二直线方程为x+y-2=0.

综上，经过点A,且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程为y=2x或x+y-2=0.

【解析】（1）求得中点坐标及中线斜率，点斜式求直线方程；

（2）分截距为0和不为0两种情况讨论，求得直线方程.

本题考查了直线的方程的应用问题，也考查了线段中点公式的应用问题，是基础题目.

18.【答案】解：(1)：”为线段4。的中点，:而7=3加，

vCD=2BD,：.~BD=^BC,

__»_,,_»]_*_»1_»_

・••两=腐+前=同+2而=万+,须+前)

_,1_1__>1_1_,_

=PA+](48+可8C)—PA+1[AB+4(84+71C)]

=PA+^(AB-1A6+|ZC)=-而+海+师；

_1_1_,_

(2)丽•前r=(一而+5•通+/码•正k

DO

_>_>1_*_,1_>2

=-AP-AC+^AB-AC+^AC

36

_1_>_1

=-\AP\\AC\-cos^PAC+^\AB\\AC\cos^BAC+7\AC\2

3o

1111,

—4x3xK+7yX3x3xK+/x32

2326

=-6+^3+|3=-3.

【解析】(1)直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；

(2)由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解.

本题考查空间向量的数量积运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：(1)证明：根据题意，如图，以。为原点，DA,DC,

DDi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。一xyz,

则。(0,0,0),E(0,0,l),F(l,l,0),C(0,2,0),G(0,2,2),(2,2,2),

G(0,14,0),

则方=(1,1,一1),B^C=(-2,0,-2),

故前•BC=(1,1,-1)-(-2,0,-2)=1x(-2)+1x0+(-1)x

(-2)=0,

则有前1瓦下，

故EF1BC

(2)根据题意，G(0,2,2),G(0j,0),则懿=(0,—|,-2),则|布|=1+4=噜

JJ、V3

又由E(0,0,l),F(l,l,0),则加=(1,1,一1),

则前•QG=(1.1,-1)-(0,-|,-2)=2-|="

而|FF|=V1+1+1=V3,

则8S瓯国=崎y_43_2_V30

左2啜=3'2V30=两=

(3)根据题意，Q(0,2,2),G呜0),而〃是QG的中点,则“(0m,1),

又尸(1,1,0),则乔=(1,一|,一1),

|前|=+(_新+(R=旧=等,即/H二苧.

【解析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求出就与雨的坐标，进而证明郎・瓦？=0,即

可得结论；

(2)根据题意，由空间向量数量积的计算公式计算可得答案；

(3)根据题意，求出前的坐标，进而由空间向量模的计算公式计算可得答案.

本题考查空间向量的应用，涉及向量数量积的计算，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：•••侧面A&GC是菱形，•••441=4C,

vD为ZiC的中点，AD1&C,

•••侧面AAiGC1底面ABC,侧面n底面力BC=AC,4ACB=90°,BCu底面ABC,

：.BC1侧面

vADu侧面441clC,:.BCLAD,

''A^CC\BC=C,AD_L平面4BC,

:4/u平面&BC,二4。_L&B.

(2)解：取41G中点E,连接CE,从而CE_LAiCi，

又由4c"/AC,则CE1AC,

,侧面441GC1底面ABC,侧面AAiGCn底面ABC=AC,

CEJL底面ABC,

以C为坐标原点，以。，CB,CE为x轴，)，轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：

由已知条件和如图可知，C(0,0,0),71(2,0,0),&(1,0,遮)，Bx(-1,2,73),

由题意可知，CB=(0,2,0)为平面A&C的一个法向量，

不妨设元=(Xi，yi，zD平面为CB1的一个法向量,

因为可=(1,0,遮)，西=(-1,2,6)，

n-CA=X]+>/3z=0

从而t1

n-CB；=—xx+2y1+y/3z1=0

令Z]=V5,则=—3,%=—3,即元=(—3,—3,6),

设二面角A-&C-%为氏由图可知。为钝角，

从而cos。=-|cos<CB,n>|=-।黑？=一半，即sin。=丝,

故二面角力—ATC—Bi的正弦值为^

【解析】(1)结合已知条件和平面几何关系知AD14C,然后利用面面垂直性质和线面垂直性质

可知BC1AD,最后利用线面垂直判定和性质即可证明;

(2)取41cl的中点E,然后利用面面垂直性质证明CE_L底面A8C,再建立空间直角坐标系，分别

求出平面A41c和平面&C&的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.

本题主要考查异面直线垂直的证明，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等

知识，属于中等题.

21.【答案】解：(1)设直线MMy=kx+b,

111k

所

以Amb=

因为直线MN过点P(另),4-2-4--2-

所以，MN：y=依+；-号,

qz

又因为4(1,1),易得直线04y=x,直线A5：%=1,

<2k-l

联立卜=以+^-9，解得X=4(k—l)

{y=x2k-l'

J=4(k-l)

联立卜=依+:一夭，解得X=1

2k+l

lx=1y=­

/2々—12k—1、z/y2k+l、

故叭诉?而》N(I，T).

(2)因为攵0P=J,kgp=-所以—JWkWg,所以1—kE[H，

mxt।...।r2/c+l3-2k

因为|AN|=1———=——,

44

2/c-l2k—3

设M到直线AN的距离为d,则d=l—

4(fc-l)-4("1)'

1

X3-2k2k-3(2々-3)2l+4(l-k)+4(l-/c)2

所以s2---------X-----------------------------------------------------------------前布片+(1一幻+1]-

44(k-l)32(l-k)