2022年上海市宝山区高考数学模拟试卷（6月份）（附答案详解）

2022年上海市宝山区高考数学模拟试卷（6月份）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）

1.“实系数一元二次方程a/+以+5a=。的根是一l±2i”是"b=2aK0"（i是

虚数单位）的（）

A.充要条件B.必要非充分条件

C.充分非必要条件D.既非充分又非必要条件

2.已知y2=i的两条渐近线与直线》=4围成三角形区域，那么，表示该区域的

不等式组是（）

x-y>0%-y>0x-y<0x-y<0

A.x4-y>0B.%+y<0C.x4-y<0D.x+y>0

0<%<4.0<x<40<%<4>0<%<4

3.在数列｛a.｝中，已知奇数项是公比为!的等比数列，偶数项是公比为;的等比数列,

旦％=3,a2=2,则下列各项正确的是()

A.a1+a[+…+Qioo>9B."t8=o

Um

C—<10D.n->ooQ=0

询1n

4.已知函数/(%)=品(x>0),数列｛a,J满足%=1,an+1=/(an),记数列｛心｝的

前n项和为Sn，贝!]()

399

A.3<52022<4B.-<S2022<3C.4<S2022<D.~<52()22<5

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.函数y=tan（2x一$的最小正周期为

6.计算行列式R.

7.已知向量五=（一忆1）,b=（5,3k-4），若芯,房则实数k=.

8.在直角坐标系中，已知圆的参数方程是仁:；：M：_3。是参数，0式。＜2兀）,

则圆的半径是.

9.如图，倒置圆锥形容器装有2升水，水平高度正好是圆锥高的

一半，那么，这个容器的容积是.升.

10.在（1一N）（1+乃1。展开式中，好的系数是.

11.若旷=a/+万仇（靖+1）是奇函数，则。=.

12.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的

安排方式共有种.

13.预测4省未来50年新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型％«）=i+（丝：％生，其中t

年底的汽车拥有量为X（t）,r为年增长率，M为饱和量，出为初始值（单位：1万辆）.

已知：A省2020年底的新能源汽车拥有量为16.8万辆，以此为初始值，若以后每年

的增长率为0.115,饱和量为1400,那么，2040年底，该省新能源汽车的保有量为

.（精确到1万辆）

22

14.如果椭圆京+^=l（a>h>0）的右焦点（1,0）关于直线y="的对称点在椭圆上，

则Q=.

15.已知集合5={%|x=Q+6Z},i是虚数单位，对任意%i，%2WS（%i，%2可以

相等）均有言eS,则符合条件的元素个数最多的集合s=.

0是偶数

16.在数列{册}中，已知%==1,且与+1=2"n71，则正整数

,an+d,a”不是偶数

d=.

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17.已知正方体A8CC—4避1的。1的棱长为1,P是CQ的中点，过4P的平面与DDr

分别交于Q，R,且BQ=/

（1）求异面直线PQ与4B所成角的大小;

（2）求G到平面4QPR的距离.

第2页，共14页

18.已知函数/(x)=［久*>1'卜>0,F(x)=f(x)+4x.

v2x,x<1

(1)当k=l时，解不等式尸(x)26；

(2)若F(x)在R上是增函数，求A的取值范围.

19.如图，某市在两条直线公路04。8上修建地铁站4和B,4408=120。，为了方便

市民出行，要求公园。到AB的距离为lkzn.设z_BA0=9.

(1)试求4B的长度，关于。的函数关系式；

(2)问6当取何值时，才能使4B的长度最短，并求其最短距离.

20.已知点收,尻分别为双曲线「J-y2=l的左、右焦点，直线1：y=kx+l与「有

两个不同的交点4B.

(1)当fjel时,求尸2到，的距离；

(2)若o为原点，直线I与r的两条渐近线在一、二象限的交点分别为c,D,证明；

当△C。。的面积最小时，直线CD平行于x轴；

(3)设P为x轴上一点，是否存在实数k(k>0),使得APAB是以点P为直角顶点的等

腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

21.设数列｛-｝,｛%｝的项数相同，对任意不相等的正整数s,t都有(as-瓦)〉

0(<0),则称数列｛%»｝,｛与｝成同序(反序).

(1)若an=奈b=loga几，且｛aj也｝成反序，求a的取值范围；

(2)记等差数列｛册｝的前n项和为S”，公差为d,求证：｛即｝和｛Sn｝同序的充要条件是

d(a1+d)>0；

n

(3)若数列｛即｝的通项公式为厮=q-\qKl,q>0)其前n项的和为Sn,令勾=鼻,

研究｛即｝，｛g｝是成同序，反序，还是其它情况？请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：实系数一元二次方程a/+bx+5a=0的根是—l±2i,

则—T=—1+2i—1—2i=—2,化简得：b=2a；

若b=2a,则ax?+bx+5a=0化简为M+2x+5=0,解得：x——1+2i；

所以“实系数一元二次方程收2+坂+5a=0的根是一l±2i”是“b=2aH0"的充

要条件.

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题

的关键.

2.【答案】A

【解析】解：由于/—y2=1的两条渐近线方程为％+y=0和x-y=0,

X-y>0

故表示与直线x=4围成的三角形区域为x+y>0.

.0<x<4

故选：A.

直接利用双曲线的渐近线的应用和不等式组表示的平面区域的应用求出结果.

本题考查的知识要点：线性规划的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：在数列｛厮｝中，已知奇数项是公比为：的等比数列，偶数项是公比为:的等

比数列,且由=3,a2=2,

%+Qi+…+Qioo=~~V；+4V9,所以A错误；

1—1—2

32

*=驾=曰>10,所以C不正确；

«113X^58

当九为奇数时，令九=2攵-1,an+1=“2k=2x衿=衿，an=a2k-i=3x药=衿,

九乎8依生=九学8无极限，

Qn2Kl

所以选项3不正确.

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当n为奇数时，令n=2k-1,an+1=a2k=2x^=岩，an=a2k_i=3x

Um

ntooan=0，

当n为偶数时，令n=2k,an+1=a2k+1=3x^=即=a2k=2x岩=器，

no^an=0,所以。正确；

故选：D.

利用等比数列求和判断4求出通项公式然后求解极限判断8、D：求解第10项与第11项

的比值判断C.

本题考查等比数列的应用，数列极限的求法，是中档题.

4.【答案】B

1

【解析】解：依题意，册+1=Afc，易知，对任意的n€N，an>0,则蜉=森需<1,

an+l<°-n>即数列｛即｝为单调递减数列，则$2022>+。2=1+：=|，

由册+1=可得=则-]=血&

1+Vanvan+1*an+1^n+1

aaaa

_n~^-n+l_(yjn'^\/n~y/n+l｝/2y!(1nQan—qC1rl_//、

,・*=FT=府<扃=4眄—-)，

•••S2022VQl+2(7^1-V^2)+2(7^2-V^3)+…+2(〃2021-7a2022)=3-

2J^2022V3,

综上，I<52022<3.

故选：B.

根据题意易知对任意的nCM,an>0,由此易判断S2022>|；再根据数列｛&J为单调

递减及可+1=1+、氤,可得an+i<2(^^一,cin+i),由此可得S2022<3,进而得解.

本题考查递推数列的前n项和问题，考查数列与不等式的综合运用，考查逻辑推理能力

及运算求解能力，属于较难题目.

5.【答案】]

【解析】解：因为函数丫=121!(2%一》所以7=高=卷

所以函数y=tan(2%-》的最小正周期为

故答案为：I

TT

直接利用正切函数的周期公式丁=而，求出函数的最小正周期.

本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题.

6.【答案】一4

【解析】解：］?4|=0-X-1X4=-4.

11xl

故答案为：-4.

根据已知条件，结合行列式的公式，即可求解.

本题主要考查行列式的公式，属于基础题.

7.【答案】一2

【解析】解：:五=(-乂1),b=(5,3/c-4)，alb，

a-K=-fcx5+1x(3fc-4)=0.解得上=-2.

故答案为：一2.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

8.【答案】2

【解析】解：根据题意，圆的参数方程是匕Z自氏一Q(。是参数，0W。＜2兀)，其标

准方程为+(y+3)2=4,

其半径为2；

故答案为：2.

根据题意，将参数方程变形为标准方程，分析可得答案.

本题考查圆的参数方程，注意将参数方程变形为标准方程，属于基础题.

9.【答案】16

【解析】解：设有水部分的圆锥的底面圆半径为r,高为九，

则水的体积为:兀产八=2,

又水平高度正好是圆锥高的一半，

二圆锥容器的底面圆的半径为2r,高为2/i,

这个容器的容积是1x7Tx(2r)2x2/i=|仃2九=8x2=16,

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故答案为：16.

根据锥体的体积公式即可求解.

本题考查锥体的体积公式，属基础题.

10.【答案】207

【解析】解：(1—X3)(l+X)10=(1+X)10—X3(l+x)l°,

则(1-X3)(l+x)l0展开式中的的系数是(1+x)l°的展开式中的好的系数减去(1+

x)l°的/的系数，

r

由二项式定理，(1+%)1°的展开式的通项为Tr+1=C[0X,

令r=5,得(l+x)i°展开式的含久5的系数为cfo，

令r=2,得其展开式的含的系数为cfo，

则的系数是Cfo-Cf0=252-45=207,

故答案为207.

先将多项式展开，分析可得(1一%3)(1+乃10展开式中的好的系数是(1+%)io的展开式

中的好的系数减去(1+X)】。的/的系数，利用二项式定理可得(1+乃1。展开式的含的

系数与含的系数，相减可得答案.

本题考查利用二项展开式定理解决二项展开式的特定项问题，解题的关键在于多项式的

展开、整理变形，属于中档题.

11.【答案】一3

【解析】解：因为y=ax2+Xln(ex+1)是奇函数,

所以Q-ln(eT+1)=-a-ln(e1+1),

1+e

整理得2a=In—=In-=—1»

l+ee

所以Q=-g,

经检验Q=-9符合题意.

故答案为：-号.

由已知结合奇函数的定义即可求解.

本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题.

12.【答案】36

【解析】解：根据题意，3名志愿者完成4项工作，其中1名志愿者必须完成2项工作，

其他2人各完成一项，

分2步进行分析：

①将4项工作分为3组，有废=6种方法，

②将分好的三组安排给三名志愿者，有咫=6种情况，

则有6X6=36种不同的安排方式；

故答案为：36.

根据题意,分2步进行分析:①将4项工作分为3组，②将分好的三组安排给三名志愿者,

由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

13.【答案】151

【解析】解：根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2020年的为初始值,

1400

则有X=“151,

故答案为：151.

把已知数据代入阻滞型模型彳«)=求出比的值即可.

本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.

14.【答案】V2

【解析】解：设右焦点关于直线y=bx的对称点的坐标为Qo，y0),

/yo+O=bxo+l(_i-b2

可得12,可得。嚼,

g=F。。=诉

将(x0,y0)的坐标代入椭圆的方程

,1—b2、2/2b、2

(E.(B=1,而a?=c2+b2=l+b2,

a2b2~

解得：a2=2.即＜1=V2,

故答案为：V2.

设右焦点关于直线的对称点的坐标，由点关于直线的对称点的性质可得所求点的坐标,

代入椭圆的方程，由a,b,c之间的关系，求出a的值.

本题考查椭圆的性质的应用，点关于直线的对称点的求法及性质的应用，属于中档题.

15.【答案】

第8页，共14页

【解析】解：因为，对任意%1，%2GS,有"es,所以，ocs,les,

假设S中有不为1的元素，不妨设其为：x=a+bi,(a,beZ)且a,b不同时为0,有a?+

b2>1,

则工=，=上^=------Lies,

AJxa+bia2+b2a2+b2a2+b2

其中WQ，且舟，』不同时为0,

az+ozaz+bza'+b"az+bz

zj2〃2卜2

因此，(2j_h2、2‘(2工72、2€、且72工-2、2+(2工丁2、2>»

(a2+b2)2(a2+b2y(aZ2+b2)2(a2+d2)2

又a,beZ,

••・0<-2--22=-^―+<1,

一(a+fe)Q2+匕2丁a2+b2、j

h2

同理，0<,,.<1,

(a2+b2)2

：•a。?=0或喀G=0,即。=0或匕=0，

a2+d2a2+b2

a=0时，-=—6S,--76Z,b=±1,此时，x=i或％=—i；

xbb

b=0时，-=-GZ,A-GZ,又X不为1,故Q=-1,此时，x——1,

xaa

因此，符合条件的元素个数最多的集合s={1,-1,

故答案为：{1,-1,i,-i}.

由题意可以判断0£S,16S,再设x=Q+bi,(a,bWZ)且a,b不同时为0,有a?+川>

与题目条件进行推理求解即可.

本题考查复数的概念,元素与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】1或7

《Qn，M是偶数

z

【解析】解：由an+i=，••・。2=1+d，

an+d,册不是偶数

若&=l+d为偶数时，

若。2=1+d为奇数时,=1+2d,

同理可得。4=+d),^4=|(1+2d),Q4=：(l+d)+d,。4=1+3乙

同理可得=g(l+d),。5=+d)+d,的=，(1+2d),a5=；(1+2d)4-d,a5=

i(|(l+d)+d),@4=](1+d)+d+d,a5=i(34-d),a5=1+4d,

由的=1,可得正整数d=1或d=7.

故答案为：1或7.

若a2=l+d为偶数时，a3=1(1+d),若ct2=l+d为奇数时，ci3=l+2d,分类讨

论可得。4,与d的关系，根据。5=1，可求正整数d.

本题考查根据数列的递推式表表数列中的项，进而求符合条件的d的值，属中档题.

17.【答案】⑴解：•••ABC。-A/iGDi为正方体,

•••ABJL平面BCC/i，

•••PQu平面BCC/i，

•••AB1PQ,

••・异面直线PQ与所成角的大小为90。.

(2居到平面4QPR的距离即C到平面AQP的距离，

S“QC=-x-xl=-,为三棱锥A-PQC的高，

^A-PQC=3XSAPQCXAB——；

P是CC1的中点，过4P的平面与BB1，DD1分别交于Q,R,且8Q=%

DR=J,四边形4QPR为菱形，

AC=V2,AP=JAC2+(界=|,RQ=BD=应，

C1C113nz3x/2

S〉APQ=2SAQPR=2X2X2X^2=

设Q到平面4QP的距离为d,

11

%i-AQP=吸一PQC=3XS〉APQXd=石，

解得:d=立.

3

••.求Cl到平面4QPR的距离为争

【解析】(1)根据直线与平面垂直的性质定理，确定PQ与AB的位置关系，进而求PQ与4B

所成角的大小；

(2)G到平面2QPR的距离即C到平面ZQP的距离，根据等体积法求解即可.

本题考查异面直线的夹角和点到平面的距离，是中档题.

k

-,x>l,/c>0；F(X)=/Q)+5

{2x,x<l

(1)当k=l时，/(x)26可转化为：Ejj26①和{J^J4x26②，

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解①得X、竽，解②得x=l,

因此不等式F(x)>6的解集为｛x|x=1或X>竽｝;

(2)当XS1时，尸(%)=2^+4%单调递增,F⑴=6,

当4>1时，F(x)=-+4x>4Vk,当且仅当彳=渔时等号成立,

X2

显然，当日>1时，F(x)="4坏是增函数，

当当W1，即k=4时,尸(x)=：+4x在(1,+8)上是增函数,

此时产(%)>k+4,

令k+426,即kN2,

综上可得，当2WkW4时，F(x)在R上是增函数.

【解析】(1)直接分段求解即可，

(2)分段研究单调性，再综合即可得到结论.

本题主要考查分段函数的性质以及应用，属于中档题目.

19.【答案】解:(1)设。4=a,OB=b,作。C1AB于点D,

由题意可转xlxJ。加讥12。。，山等曲,

1»

-b~~.

sin。sin(6O°-0)

代入得l=(00<0<60°).

2sin0sin(6O0-O)

(2)由二角公式得'=2si"喈COS"封M=*720=(-29)=2s讥(29+30。)-1，

.•.当28+30。=90。，即8=30。时，分母最大,此时I的值最小,

.•・当。=3。。时，的长度最短，最短距离为券=2技

【解析】(1)04=a,OB=b,作。D14B于点D,利用三角形面积公式可得I=4力，

又。=2，b=进而求出AB的长度/关于。的函数关系式.

smBsm(60—U)6%”

(2)利用三角恒等式化简可得/=,.“建.再结合三角函数的性质即可求解.

zsin(z(7+3U)-1

本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.

2

20.【答案】解：(1)由双曲线小^-y2=1的左焦点尸］(_6,0),右焦点尸2(次,0)，

,：弓61时，：♦0=—y/sk+1,k=，，

•••直线Ly=^x+l,4至4的距离d=*丁=逐

(2)由双曲线一9一丁2=1得两渐近线的方程为丫=±日乃

•・•直线2与「的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,它<k<0,

2

_vz1

由y=三”得交点c的横坐标为否,

(y=kx+l~k

_V2-i

由y一一3”得交点。的横坐标为监，

y=kx+12

1I—IA/2I-

・••S&CDO=■x1x----=I=11-2&，当k=0时取等号，

%-----k—l-k?K

22Z

所以当AC。。的面积最小时，直线CD平行于x轴；

(3)假设存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

设P(m,0),AQi，yi),8(%2而，

由(2_2y2_2，消去y得(1-2k2)x2-4kx-4=0,

A=16k2-4(1-2k2)(-4)>0且1-2k2*0,解得一1<k<1且々羊士争

4k-4

“1+X2=E，X/2=W

4B的中点M(吾心4)，

所以AB的垂直平分线方程为？一』=一*。一总)，令y=0,则m=$,

港•丽=0,则(%1-m,yi)•(%2一犯%)=0,

2

：・(仁2+l)%i%2+(%—m)(%1+x2)+1+m=0,

•••(1+1)X+(k-m)-+1+m2=0，

...-4—4km+(1+m2)(l—2/c2)=0,

…一妹x&+(1+(1)2(1-2k"=°，

4/c4+/c2-3=0,解得k=士圣又k>0,故k=，点P(-3b,0)，

存在实数上=浮，使得APAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时P(-38,0).

【解析】(1)易求焦点坐标，可得尸2到1的距离；

(2)求得两渐近线方程，联立方程可得SACD。=5*1x|石-京］,可证结论；

22

(3)假设存在实数k(k>0),使得APAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设

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P（m,O）,A（xi，y］），8（*2,丫2），联立方程可得h+才2==^，与刀2=广而，由”=BP,

可得m=1条，由P4，PB,得-m,yi）•O2-m,%）=0，求解即可.

本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题.

21.【答案】解：(1)设s,t€N*,s>t,由题意

弓一£)('°gaS-logat)<0,

因为曰<曰[>1,所以，。9—>0,因而a>l；

证明：(2)对任意九，mEN*,n<m9则

2

(am-an)(5m-Sn)