202022下九年级数学专题复习教案数形结合思想在中考数学的应用

福建东侨中学公开课教案授课教师：章杰学科：数学开课类型：新授课级别：校级课题：专题复习——数形结合思想时间：2022年5月23日星期二下午第一节地点：东侨中学初三（2）班教学目标数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的。“以数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。教材分析重点利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。难点利用几何图形解决相关不易求解的代数问题教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教具希沃白板课时1设计说明教学过程简记情景引入华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔列分家万事休.”师：华罗庚先生为什么会有这样的感慨？这句话他想表达什么意思呢？数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。今天我们就通过一些实例，一起来研究和学习数形结合思想在我们初中阶段的一些应用！二、师生活动与探究活动一：以形助数“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的。（一）在数与式中的应用例1：A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（） B． C． D．分析：数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，且在原点的左右两侧.本题利用数轴赋予相反数它的几何意义，来解决代数问题.练习1（2022宁德第10题）已知三个数a、b、c的平均数是0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．练习2：实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简_________。ab0ab0例2、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是____________。Oxy1Oxy1Py=x+by=ax+31、一次函数例3、如果直线经过一、二、四象限，则有（） A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b<0 D.k<0，b>0例4、如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则方程组的解是；不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．练习3:一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞22、反比例函数例5（2022宁德第14题）已知点A（1，y1），B（2，y2）是如图所示的反比例函数y=图象上两点，则y1y2（填“＞”，“＜”或“=”）．例6、若M，N，P三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为例7、如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此观察得到的大小关系为（）B.C. D.练习4：（2022•南平第23题）已知正比例函数y1=ax（a≠0）与反比例函数y2=（k≠0）的图象在第一象限内交于点A（2，1）（1）求a，k的值；（2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答y1＞y2时x的取值范围．解：（1）将A（2，1）代入正比例函数解析式得：1=2a，即a=，故y1=x；将A（2，1）代入双曲线解析式得：1=，即k=2，故y2=；（2）如图所示：由图象可得：当y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞2．5、二次函数例8：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a＜0、b＞0、c＞0；②当x=1和x=3时，函数值相等；③a-b＋c>0，④当x＜2时，函数值随x的增大而减小．其中结论正确的是（）A．①②Ｂ．①②③Ｃ．②③Ｄ．①④练习5（2022福州第11题）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A． B． C． D．（三）在其他方面的应用1、加深对平方差和完全平方公式的记忆xxxqxxxqxppq(1)根据你发现的规律填空：＝（）（）(2)利用(1)的结论将下列多项式分解因式：①②例10、已知、均为正数，且。求的最小值。在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形利用勾股定理进行处理。如图作线段，在上截取，，过点作,且使得,过点作,且使得。这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到,，所以本题中求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和最小。在图形中延长至点，使得,连接，由三角形两边之和大于第三边可知当三点共线时，最短。所以最小值就是线段的长度。下面求解，延长至点，使得且，连接，此时构出一个直角三角形即，在这个直角三角形中,所以的最小值为。师总结：几何图形的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。活动二：以数辅形“以数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。例11、如图在平面直角坐标系中，，，是三角形的三个顶点，求的长。这是人教版九年级上册二次根式练习中的第二题，这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离。而在本题中是直角三角形，所以利用勾股定理可得==。这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式。利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点、，则，两点之间的距离。两点之间的距离公式对求解相关的距离问题是比较常用的“以数助形”的一种方法，能够利用熟练的利用这种思想能够使相关几何中距离问题的求解得到极大的简化。如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴x，x∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=x，x∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC=BC时，∴3=p，p∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质．难点是分类．例12（2022龙岩第25题）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2；（2）存在．当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+2，∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直线BP的解析式为y=x﹣，解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2）①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0），②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），根据中点坐标公式得到：=或=，解得m=或，此时E2（，0），E3（，0），③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0），综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．SHAPE师总结：从“以