4.5.3函数模型的应用课件高一上学期数学人教A版

4.5.3函数模型的应用一、知识回顾

思考探究解决实际应用问题的关键是什么？提示解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.（二）对于一次函数、指数函数、对数函数，函数变化的速度有什么不同？例1.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.二、问题探究（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？设置探究问题：(1)本例中所涉及的数量有哪些?答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的时间t以及1950～1959年我国的人口数据.(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定这种函数模型需要几个因素?答：是；两个,即y0和r.(3)根据表中数据如何确定函数模型?答：先求1951～1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型.(4)对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价?答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上.(5)如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法?答:已知函数值,求自变量的值.解：（1）由题意知y­0=55196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r,根据马尔萨斯人口增长模型，有67201=55196e9r,由计算工具得r≈0.021876.因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为：y=55196et，t∈[0,9].（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196et

可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：下表是1951～1958年我国的人口数据资料：年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994由表和图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（3）将y=130000代入y=55196et，由计算器可t≈39.15.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第40年（即1990年）我国的人口就已达到13亿.例2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回

报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能帮我分析比较三种方案每天回报的多少情况吗？探究1：(1)各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映？请写出各函数的解析式.方案一的函数模型：y=40(x∈N*)；方案二的函数模型：y=10x(x∈N*)；方案三的函数模型：y×2x-1(x∈N*).（2）为了直观表现各方案每天回报的变化情况可用什么方法表示上述三个函数？x/天

方案一

方案二

方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140010

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8…………………3040030010214748364.8107374182.4探究2：（1）根据例1中表格所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（2）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？结论：投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三.：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？身高（cm）体重（kg）o思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？指数型函数模型y=a·bx，因为它的图象与散点的变化趋势最相似.

身高（cm）体重（kg）o思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？身高（cm）体重（kg）o

将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数图像，就可以发现，这个函数模型与已知数据：拟合程度较好.

这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系问题2:若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常？（2）将x=175代入yx得y175，由计算器算得y，所以，这个男生偏胖.思考4:这个例题有什么特点？此类问题由数据不能直接得出确定的函数模型，需要画散点图，通过图象特点选择合适的函数模型，再通过代入点的坐标求出近似模型，再对实际问题作出预测.思考5:你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题YesNo三、课堂练习1．某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为(

)A．70元B．65元

C．60元

D．55元解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000∴当x＝20时，ymax＝9000，此时每件定价为50＋20＝70元.A2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米可由x＝at－t2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有(

)A．4秒 B．5秒

C．6秒

D．7秒解析：已知x＝at－t2，由条件t＝5秒时，x＝245米，得a＝，所以x＝t－t2.子弹保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以t－4.9t2≥245.解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．B3.某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)，其中年固定成本与生产件数无关，a为常数，且4≤a≤8，另外年销售乙产品x件时需上交x2万美元的特别关税.项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产件数甲产品30a10200乙产品50818120(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产件数x(x∈N)的函数关系式；(2)分别写出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可获得大利润？解：由题意，(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，y2＝－x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.(2)∵y1在[0,200]上是增函数，∴y1max＝200(10－a)－30＝1970－200a.∵y2＝－0.05(x－100)2＋450，∴当x＝100时，y2max