交通流理论-排队论

知识点3：排队论概述交通流理论“服务”与“需求”排队论概述定义排队论是研究服务系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务"关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称"随机服务系统理论"。【食堂、医院、超市、银行、买火车票等等】组成排队系统的组成(1)输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如：D—定长输入：顾客等时距到达。M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。组成排队系统的组成(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长大于等于L，顾客就离去，永不再来。组成服务台的排列方式(1)单通道服务系统组成服务台的排列方式(2)多通道服务系统组成服务台的排列方式(3)服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。D—定长分布：每一顾客的服务时间都相等；M—负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。Ek—爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。方式排队模型的表示方法肯道尔(D.G.Kendall)1971年国际排队符号标准会议到达过程/服务过程/服务台数目/在系统中最大顾客数/在顾客源中顾客数/排队规则M/M/1/K/∞/FCFSM/M/1系统及其应用M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务（收费站）μ输出输入λM/M/1系统M/M/1系统及其应用思考：假设在某一个高速公路的收费站，平均每10秒有一辆车到达，收费站发行通行卡的时间平均需要8s，这个收费站是否会出现大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8sM/M/1系统及其应用设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ，则平均服务时间为1/μ；主要参数称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。比率当ρ<1（即λ<μ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当ρ≥1（即λ≥μ），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是ρ<1。M/M/1系统及其应用思考：假设在某一个高速公路的收费站，平均每10秒有一辆车到达，收费站发行通行卡的时间平均需要8s，这个收费站是否会出现大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8s如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。M/M/1系统及其应用其他参数在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有n个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：M/M/1系统及其应用其他参数系统中顾客数的方差：当ρ≥0.8以后，平均排队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。M/M/1系统及其应用其他参数系统中顾客数的方差：当ρ≥0.8以后，平均排队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。M/M/1系统及其应用其他参数排队系统中平均消耗时间：是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。M/M/1系统及其应用其他参数排队中的平均等待时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。M/M/1系统及其应用其他参数平均排队长度：这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。M/M/1系统及其应用其他参数平均非零排队长度：即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。M/M/1系统及其应用其他参数系统中顾客数超过k的概率：M/M/1系统及其应用其他参数系统中排队等候的顾客数超过k的概率：即系统中顾客数超过k+1的概率M/M/1系统及其应用实例分析【例题】某收费公路入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆车的交费时间为7.2秒，汽车到达率为400辆/h，并服从泊松分布。求：收费人员空闲的概率；收费亭前没有车辆排队的概率；收费亭前排队长度超过12辆的概率；平均排队长度；车辆通过收费亭所花费时间的平均值；车辆的平均排队时间。M/M/1系统及其应用解：M/M/1系统，λ=400(辆/h),μ=3600/7.2=500