2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第四十讲对数及其运算性质

第四十讲：对数及其运算性质【教学目标】1.了解对数、常用对数、自然对数的概念；；3.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件；4.掌握换底公式及其推论；5.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．【基础知识】一、对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换；(2)logaN的读法：以a为底N的对数．二、两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.三、对数的性质(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．(4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．四、对数的运算如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．注意点：(1)性质的逆运算仍然成立；(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义；(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.五、换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注意点：(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).【题型目录】考点一：对数的概念考点二：对数式有意义考点三：对数与指数相互转化考点四：简单对数性质的计算考点五：利用对数性质求值考点六：对数运算公式的简单计算考点七：对数运算公式的应用考点八：对数运算公式的化简和求值考点九：对数换底公式的应用考点十：对数运算公式的综合应用考点十一：实际问题中的对数运算【考点剖析】考点一：对数的概念例1．有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，故选：C变式训练1．给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】零和负数没有对数，命题①正确；，不能写成对数式，命题②错误，；以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；以为底的对数叫作自然对数，命题④正确；故正确命题是①③④，故选：C.变式训练2．下列说法中错误的是（） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数【答案】B【详解】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，故选：B变式训练3．对于下列说法：（1）零和负数没有对数；（2）任何一个指数式都可以化成对数式；（3）以10为底的对数叫做自然对数；（4）以e为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解析：只有符合，且，，才有⇔，故（2）错误．由定义可知（3）（4）均错误．只有（1）正确．故选:C.考点二：对数式有意义例2．使有意义的实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C.变式训练1．使对数有意义的的取值范围为（） A．且 B． C．且 D．【答案】B【详解】要使对数有意义，则，解得，故选：B．变式训练2．已知对数式有意义，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B变式训练3．使式子有意义的的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】要使式子有意义，则，即，解得或，所以x的取值范围是.故选：D考点三：对数与指数相互转化例3．已知函数，则（） A．0 B．1 C．1 D．2【答案】D【详解】因为函数，所以，所以，故选：D变式训练1．将转化为对数形式，正确的是（） A．； B．； C．； D．．【答案】C【详解】根据对数的定义和．故选：C．变式训练2．已知，则的值为（） A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】∵，则.故选：D.变式训练3．已知函数，则的值为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】,，又，，，故选：B.考点四：简单对数性质的计算例4．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【详解】对于①，，正确；对于②，，正确；对于③，若，则，故错误；对于④，若，则，故错误，故选：C.变式训练1．有以下四个结论，其中正确的是（） A． B． C．若，则 D．【答案】B【详解】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误．故选：B.变式训练2．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（） A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】A【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确；对③，，错误；对④，，错误.故选：A.变式训练3．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】对于①，因为，故①正确；对于②，因为，故②正确；对于③，因为，所以，故③错误；对于④，因为，∴，故④错误.所以只有①②正确．故选：B.考点五：利用对数性质求值例5．若，则等于（） A． B． C． D．【答案】C【分析】由对数的定义求得，再由幂的运算法则计算．【详解】解析∵，∴，∴，则＝．故选：C．变式训练1．已知，那么=（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为，所以，则.故选：B.变式训练2．设，则的值等于（） A．10 B．13 C．100 D．【答案】B【详解】由对数的性质，得，所以，故选：B.变式训练3．若，则的值是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A考点六：对数运算公式的简单计算例6．求下列各式的值．(1)；(2)；【答案】(1)；(2)；【详解】（1）；（2）；变式训练1．化简的值得（） A． B． C． D．【答案】D【详解】原式.故选：D.变式训练2．计算：的值（） A．0 B． C．2 D．3【答案】B【详解】.故选：B变式训练3．的值为（） A．0 B．1 C． D．【答案】C【详解】.故选：C.考点七：对数运算公式的应用例7．设，，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，所以，故选：C变式训练1．已知，，那么用a，b表示应为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C．变式训练2．已知，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】，又，则故选：B变式训练3．已知，则（） A．3 B．5 C． D．【答案】A【详解】，.故选：A.考点八：对数运算公式的化简和求值例8．计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【详解】（1）；（2）.变式训练1．计算：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【详解】（1）（2）变式训练2．计算(1).(2).【答案】(1)；(2)2【详解】（1）＝＝＝＝（2）=2变式训练3．计算：(1);(2)【答案】(1)2；(2)【详解】（1）原式＝.（2）原式.考点九：对数换底公式的应用例9．已知，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：A.变式训练1．的值为（） A． B．1 C． D．【答案】C【详解】,故选：C变式训练2．设，那么m等于（） A． B．9 C．18 D．27【答案】B【详解】,，，故选：B.变式训练3．若，，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B考点十：对数运算公式的综合应用例10．已知，则（） A．2 B．1 C．1 D．2【答案】B【详解】因为,所以，.故选:B.变式训练1．已知，且，则（）. A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：B变式训练2．已知，则的值为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，，即或（舍去）故选：C变式训练3．已知实数满足，则的最小值是（） A．5 B．9 C．13 D．18【答案】B【详解】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.考点十一：实际问题中的对数运算例11．某科研小组研发一种抗旱小麦品种，已知第1代有40粒种子，若之后各代每粒种子可收获下一代15粒种子，则所得种子重量首次超过1吨（约2400万粒）的是（） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子【答案】A【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为，故种子数量首次超过1吨的是第6代种子．故选：A.变式训练1．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（）（参考数据：，，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年【答案】C【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元，则，由题意得，，即，故，则，故公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年.故选：C变式训练2．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，对于，有，所以，分析选项B中与其最接近.故选：B变式训练3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（）（参考数据：，，） A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍【答案】D【详解】依题意，经过200天的“进步”的值为，“退步”的值为，则“进步”的值与“退步”的值的比，两边取对数得：，因此，所以“进步”的值大约是“退步”的值的55倍.故选：D【课堂小结】1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的运算性质．(5)利用对数的运算性质化简、求值．(6)换底公式．(7)对数的实际应用．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆【课后作业】1．已知函数，则（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】根据函数解析式可知.故选：C2．已知，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，故选：A3．已知函数，若，则（） A． B． C． D．【答案】B【解析】根据函数的解析式，令，从而得到，即可得答案；【详解】令，得，则，.故选：B.4．设，则的值等于（） A．10 B． C．100 D．1000【答案】C【详解】，，解得，故选：C.5．有下列说法:①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④成立.其中正确命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】①零和负数没有对数，显然正确；②错误，如(1)2=1，不能写成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数，故正确；④错误，没有意义.故正确命题是①③.故选：.6．在等式中，实数的取值范围是（） A．或 B．或 C． D．【答案】B【详解】要使有意义，只需：，解得：或∴实数a的取值范围是或故选：B7．方程的根为（） A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】由，得，即，解得，所以方程的根为.故选：B8．下列对数式中，与指数式等价的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，等价于，A错误；对于B，等价于，B错误；对于C，等价于，C正确；对于D，等价于，D错误.故选：C.9．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（） A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：等价于，故A正确；对于选项B：等价于，故B正确；对于选项C：等价于，故C错误；对于选项D：等价于，故D正确；故选：C.10．已知，，则（） A．25 B．5 C． D．【答案】D【详解】由得，即，故选：D.11．已知，，那么的值为（） A．8 B．3 C．1 D．【答案】B【详解】由，得，而，因此，所以故选：B12．方程的解是（） A．1 B．2 C．e D．3【答案】D【详解】∵，∴