2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第十一讲集合中的运算（补集）

第十一讲：集合中的运算（补集）【教学目标】1．了解全集的含义及其符号表示；2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集；3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．【基础知识】一、全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作.二、补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作符号语言图形语言【题型目录】考点一：补集的计算（基础）考点二：补给的运算（提升）考点三：交、并、补的综合运算考点四：集合相关的运算（图）考点五：与补集有关的求参（基础）考点六：与补集有关的求参（提升）【考点剖析】考点一：补集的计算（基础）利用全集的范围，结合集合的范围，从而求解出对应的补集例1．已知集合则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,所以，故选:A.变式训练1设集合，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】集合，故选：B.变式训练2．设全集，集合，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，解得，因为全集，所以，所以.故选：C.变式训练3．设全集，集合，，则（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，因为，所以.故选：D.考点二：补给的运算（提升）通过交集，并集，补集的概念，求解简单的集合中的运算.例2．已知全集,集合,则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】解:由题知,,故或.故选:B变式训练1．已知集合或，，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，.故选：C.变式训练2．已知全集，集合，，则（） A． B． C． D．或【答案】B【详解】由，得或.又，所以，故选：B.变式训练3．设集合，集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，则，选项A正确；，则，选项B错误；，则或，选项C错误；或，则或，选项D错误；故选：A.考点三：交、并、补的综合运算通过交集，并集，补集的概念，从而计算出复杂的集合中的运算；也可以画数轴，Venn图，辅助求解.例3．已知集合，集合，，则（）． A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，或，所以不是的子集，故A错误；，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D变式训练1．已知集合，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为解得或.所以，所以.故选：B.变式训练2．集合，集合，则等于（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，则，那么.用区间可以表示为.故选：B变式训练3．已知集合，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得或，或，故，所以或，故选：A考点四：集合相关的运算（图）根据Venn图，把集合中的元素表示出来，从而求解出阴影部分的集合.例4．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，因为，所以或，，故选：A变式训练1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.故选：B变式训练2．设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（） A．{x|1≤x＜3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1≤x≤3}【答案】D【详解】图中阴影部分表示的集合为，全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，，，故选：D．变式训练3．已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为或，或，所以或或或，或或或.由题意可知阴影部分对于的集合为，所以，或.故选：D.考点五：与补集有关的求参（基础）从过对应先求解补集，然后根据集合的关系，画出数轴进行对应的表示，从而解决参数的取值范围.例5．设集合，，若，则实数的值为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：因为集合，，且，所以1,4是方程的根，所以p=1×4=4，故选B．变式训练1．设全集，集合，，则的值为（） A． B．和 C． D．【答案】C【分析】利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为，集合，，由补集的定义可知的可能取值为3或4，当即时，不满足题意；当即时，，此时满足题意，综上，故选：C变式训练2．设集合，集合，，则实数（） A． B． C． D．【答案】B【分析】由补集运算可求得，则是方程的两根，由韦达定理求得结果.【详解】，，，即是方程的两根，.故选：B.变式训练3．设全集，，若，则B等于（） A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，从而得到，再解方程即可得到答案.【详解】因为，所以，所以，解得，所以，故选：C.考点六：与补集有关的求参（提升）通过计算补集，并利用集合中的运算，转化为集合之间的关系，利用数轴表示出来，确定不等式，从而解决参数问题；注意：空集是任何集合的子集.例6．设全集，，．(1)若，求．(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，，所以或，；（2）全集，，或，，分，两种情况讨论.（1）当时，如图可得，或，或；（2）当时，应有：，解得；综上可知，或，故得实数的取值范围.变式训练1．设集合，全集,若,则有（） A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到.【详解】由，解得，故因为，，所以，又因为，由数轴法得.故选：C.变式训练2．已知集合，，若，且，则实数m的取值范围是（） A． B． C． D．或【答案】C【分析】先求得，根据求得的取值范围.【详解】因为，，所以，，因为，所以.故选：C变式训练3．已知集合，集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）2；（2），或．【详解】（1）因为，所以，所以，所以；（2），或，由已知可得，所以或，所以或，故实数的取值范围为，或．【课堂小结】1．知识清单：(1)全集和补集的概念及运算．(2)并、交、补集的综合运算．(3)与补集有关的参数值的求解．2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．【课后作业】1、已知集合，，，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合，，，所以，所以.故选：C.2、设全集，集合满足，则（） A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件求出集合，进而求解.【详解】因为，，所以.故选：C.3、已知集合，则（） A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合，再进行补集运算，即可得答案；【详解】由题意可得或，则.故选：A.4、已知全集，集合，集合，则集合（） A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的运算定义求解即可.【详解】由解得，所以，因为，所以，所以，故选:B.5、已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（） A． B． C． D．【答案】B【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案.【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为，则或，所以.故选：B.6、已知全集，集合则（） A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，然后利用交集和补集的定义进行求解即可【详解】由可得，解得，所以，因为，所以，.故选：C.7、设全集，集合，，则的值为（） A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可.【详解】由已知得，所以或，解得，故选：D.8、设集合，若，则实数的值为（） A．－6 B．－4 C．4 D．6【答案】D【详解】∵集合，且∴∵∴故选D9、已知集合，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）化简得到和，代入计算得到答案.（2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案.【详解】（1）因为，，所以.（2）因为，所以中有两个元素，即，所以，解得或，由元素的互异性排除可得.10、已知集合，集合．（1）若，求a的取值范围；（2）若全集，且，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2），那么，结合数轴得到满足条件的不等式，即得.【详解】解:，．（1）由，结合数轴（如图所示），可知，因此a的取值范围为．（2）∵，∴，要使，结合数轴（如图所示），可知故a的取值范围为．11、已知集合(1)求集合中的所有整数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1），所以，所以集合中的所有整数为.（2）由（1）得：，所以或①时，即，所以，符合；②时，即，所以，由于，所以，所以.综上，实数的取值范围是.12、设集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）