浅谈中学数学中的逆向思维

浅谈中学数学中的逆向思维摘要：中学是学习的黄金时期，中学阶段的学习既是为了今后的继续学习打下基础，也为了更好地提升自己的能力打下知识基础。逆向思维对于中学的数学学习是非常重要的。对于中学的数学学习来说，想要更好地提升数学能力，培养良好的思维品质，需要学生具有逆向思维能力。本文详细地阐述了中学数学学习过程中的逆向思维问题，以及如何更好地培养学生的逆向思维。关键词：数学；逆向思维；函数；反证法ReversethinkinginmathematicslearningforjuniormiddleschoolstudentsAbstract：Middleschoolisthegoldenageoflearning,andthelearninginmiddleschoolisnotonlythefoundationforfurtherstudy,butalsofortheimprovementoftheknowledgebase.Reversethinkinginmiddleschoolmathematicslearningisveryimportant,formiddleschoolmathematicslearning,tobetterpromotemathematicsability,cultivatethegoodthoughtquality,studentsneedtohavereversethinkingability.Thispaperelaboratesontheproblemofreversethinkinginmiddleschoolmathematicslearningandhowtotrainstudents'reversethinkingbetter.Keyword：Mathematics；Reversethinking；function；Antievidencelaw引言数学是一门非常严谨的学科，而且在生活中数学扮演了极为重要的角色，无论是生活中买卖商品的价格计算，还是大型工程中成本的计算，亦或是各种复杂的建模工程中都是离不开数学的。由此可见数学对于每一个人的生活都是不可缺或的。因此教授数学是一项非常重要的工作，只有让数学的相关知识能够更地传承才能让我们的教育更好地开展。但是从另一角度来看，数学是一门严谨的课程，并不像语文、英语有一定的发散性，能够让学生的学习更加具有灵活性，也不像化学、物理那样可以通过各种试验来积极的增加学生学习趣味性。相比之下数学是繁琐的，慧深莫测的，也是非常难以学习的。从当前数学的实际教学情况来看，数学学科的教学确实存在着一些问题，主要体现在数学教学难以做到让每个学生都能学会，还体现在学生学习数学没有方法上。这种困难尤为集中的体现在初中数学的教育上，初中数学的难度较大，无论是一元一次方程的应用题还是函数等相关问题都是晦涩难懂的，这就使得数学教学的难度非常大，老师教学过程中费心费力，学生却难以真正理解，这种状态下如何更有地解决问题显然就需要我们进行深层次的讨论。初中的数学从具体情况来看显然是需要更多的整体性的研究的，在一定程度上通过逆向思维能够有效的解决这一问题[1]。对于初中数学学科来说，逆向思维是非常重要的，通过逆向思维能够更好地帮助我们找到解决问题的关键思路从而确保无论是教学工作还是学生的学习都能够有更高的效率。由此我们能够看到逆向思维对于中学数学学科的重要意义。本文深入地研究中学数学中的逆向思维的培养，以期培养学生的创新能力，推动学生在中学数学中的逆向思维，培养学生的创新思维和逆向思维解题。文中第一章是对逆向思维的相概述，阐述了逆向思维的基本含义，以及逆向思维培养的必要性。第二章主要研究逆向思维在中学数学中的价值和作用，帮助学生更好地解决数学问题。在第三章主要研究逆向思维的解题策略，充分地利用案例解读逆向思维的解题方法和应用。第四章着重地分析了中学数学逆向思维的影响因素，从多个角度考虑培养中学数学逆向思维的影响思维。在第五章提出相应的解决办法和解决途径。逆向思维相关概述1.1逆向思维的基本含义逆向思维是指在解决问题时，我们不仅要从正面去思考，也要适当地从反面去思考，这种探究问题的思维方式打破了正常的思维方式。在数学学习过程来看，逆向思维就是从根据已知的原理、推论等，推导出满足原理或是推论的已知条件的思维过程[2]。逆向思维的教学方式在中学教学中得到了广泛的应用，主要是由于其具有很强的逻辑性以及高度的严密性，体现了相关知识点间的相互联系以及相关条件间的因果关系[3]。此外，通过逆向思维的教学方式，可以提高学生的抽象思维能力，还可以帮助学生更快地掌握相关知识。1.2中学生逆向思维能力培养的必要性解答数学问题的正确与否，解题速度的快慢，解题路径的弯与直，这些都能较好的体现出一个学生对于自己所学的知识是否掌握得够全面和够熟悉。随着新课程改革的步伐的推进，学生们的合作探究性学习、讨论交流式的学习得到进一步的强化，这也就要求教师要改变以往的态度，要以学生为主体，培养学生的思维能力与创新精神。在学会数学知识、数学的思想方法的时候，也要注意学习社会的实践技能以及思维能力的提升，教师还应当了解学生是怎样思考的，引导学生正确思考，也要打破思维的定势，培养学生从反面来思考问题，即培养学生的逆向思维能力，从而使学生真正地做到用大脑去学习，也可以激发出学生对问题的全面思考，培养学生创新思维能力[4]。另外，逆向思维的培养能够使人们保持一个积极的心态，对于学生们的将来都起着至关重要的作用。在现代教育模式下，学校里存在着以应试教育为主导，以教师的教和学生的学为主的模式，对于学生逆向思维的训练及培养有所欠缺。而且对于很多的中学生面对数学中的某一个命题时，往往只是记住或是证明该命题，而对于从该命题的反面思考却很少，有时候如果在做题中遇到了此种情况，心里却有些疑惑，不知对错。因此，学校该如何正确有效地培养学生的逆向思维能力是一个值得研究的问题。如果学生能够在做题的时候联想起利用逆向思维来解题，那将对于某些题目而言将会提高学生的解题速度和解题能力。2.逆向思维在中学数学中应用的价值2.1能够帮助学生更好地培养解决数学问题逆向思维是一种非常有价值的模式，通过逆向思维能够帮助学生更好的培养解决数学问题的感觉。我们应该看到当前很多的学生在学习数学的过程中往往能够对于计算题有着比较好的理解，对于解决计算题，需要的是学生的认真和细致，只要学生足够认真，细心就能够将计算题做好。但是数学并不是简单地计算，最为复杂的是应用题的解决，当前很多学生对于解决应用题缺少完善的思维。[5]尤其是一元一次方程和二元一次方程更是无从下手，这其实就是由于学生对于应用题缺少思路。但是如果建立了良好的逆向思维则能够较为有效地解决这一问题。如在解决应用题方面显然通过逆向思考是能够有效地解决问题的，如：例1：某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套。显然如果通过正向思维想要解决这一问题是非常困难的，由于题中对于各个问题都没有明确的阐述，因此很难找到解题的思路。但是如果用逆向思维，这种问题就往往很好解答。通过逆向思维，我们首先从其中一个未知量入手，安排若干个人生产大齿轮就可以将整道题进行正向思维的理顺。这就像是一个连带的关系纽带，只要找到“纽带”，就可以“顺藤摸瓜”，找出解题方法。通过分析，我们发现只要明确了生产大齿轮的人数以后，就可以通过大齿轮的人数计算出小齿轮的人数。然后将大齿轮和小齿轮的数量分别表述出来，最后借助解比例的方式就能够将这道题的等量关系找到最终达到解决问题的目的了。因此我们可以通过逆向思维设定加工大齿轮的人数为X，而后分析由于总体的人数为85人，因此生产小齿轮的人数就为85-X人。这两个量固定以后，我们就可以将每天生产的大齿轮和小齿轮的数量进行阐述：每天生产的大齿轮的数量为16X个，而生产的小齿轮的数量则为个。当方程进行到这一步的时候，通过解比例的方法列出方程：，然后通过等式性质2等式两边同时乘以6得到，然后去括号得到根据等时性质1可以得到最终解出。我们发现这道题如果是正向的解题思路显然是比较困难的，但是如果采用逆向思维则能够有效地解决这一问题。通过以上的解题过程，我们可以清晰有效地了解和学习逆向的解题方式，显然这对于初中生的数学学习，甚至于各个学科的学习都是有着非常积极的意义的。2.2帮助学生提升独立思考的能力就目前看来，很多学生的数学学习能力较差，大部分题都需要老师来进行详细的讲解，尤其是缺少举一反三的能力[6]。在解题的过程中，即使是相同类型的问题，很多学生也无法做到全面的了解，这就导致了教师的教学压力大，学生即使努力学习也难以学透、掌握知识并解决问题，但是如果能够通过逆向思维解决问题就能够有效地解决这一问题。逆向思维，重点在于一种思维的培养，有了这种思维以后，遇到类似的题目，若其他方式解题困难，就可以尝试运用逆向思维去思考和解题。这对于学生来说就产生了一种能够独立解决问题的思路，他们的自主学习显然对于自己的成绩的提升有着非常大的帮助[7]。通过逆向思维来找到相关关系，列出相关算式就能够高效地解决问题，而不用再像当前这种解决问题的模式一样，需要靠老师给讲解解题思路。因此，建立中学数学逆向解题思维十分重要，而建立这样的解题思路重点在于对解题思维的转变，在于让学生更加积极地找到题中的数量关系从而解决问题，由此我们看到逆向思维对于学生的独立解题能力的培养是尤为重要的，尤其是为了更好地在高中阶段甚至大学阶段学习，逐渐提升自己的独立学习地能力，这些对于学生的要求就都非常高，只有更为有效的通过逆向思维让学生自己能够发现问题，找到解题思路，最终解决问题，才能让学生适应未来的学习，真正的做到会学习，能学习，能学好习。逆向思维解题的策略3.1反面策略反面策略主要说的是当我们在考虑问题的时候，如果直接从该问题的正面去思考很难找到突破口，不妨放弃此解决路径，从问题的反面，即逆向来思考，再根据知识间的互逆关系，来找到另一种解决问题的办法[8]。例2：证明：是无理数。分析：对于这道题而言，题目虽短，直接去证明它是一个无理数将会有困难，一时间根本找不到好的思路，无从下手，在这个时候，可以联想到反面策略，逆向来思考它。证明：假设是有理数，得出矛盾即可，则由有理数的定义可知：（，均为整数，且,），为一个2的倍数，设,即同理：也是一个2的倍数有一个2的公约数，与互质矛盾，假设不成立，即是无理数。3.2逆序策略逆序策略说的是当我们在解决一道题目的时候，顺向的思路受到阻碍的时候，我们不妨改变下解题的常规顺序，通过灵活的逆向来运用定理法则、定义等，或许会有着不一样的结果，也会使得问题得以更好的解答，并且变得更为简单。例3：设函数，的值域为[-1,4]求实数，的值.分析：对于这道题来说，通常的解法是先求出函数的值域，再根据题目中函数的值域为[-1,4]，比较两个区间的端点，利用解方程的方法即可求出实数，的值，如果我们从另外一个方面来思考，逆向来思考它，将会有着不一样的收获。解：该函数的定义域为全体实数，值域为[-1,4]，所以有，因此，由该不等式可以得到，且,由可得，对于任意实数是恒成立的，并且存在一个使得，所以，可得，，即；由可得，对于任意实数是恒成立的，并且存在一个使得，所以可知，，即；利用逆向思维的逆序策略，不仅能够很好的解决题目，而且会降低题目的难度，将所学的知识融会贯通，最终解出答案。4、影响中学生数学逆向思维能力的因素4.1数学知识的形式大部分的数学课堂，普遍是教师采用给出结论、原则、定理等，然后去证明它，解释它，最后再去应用这个定理、结论[9]。有些时候对这些结论要死记硬背，学生处在了教师的死板以及专横的教学形式之下，这样学生们很难有机会对这些结论的产生以及其中的规律做较为深入的探究。而且目前的教学形式大多数的时候为大班地教学，一个班的人数比较多，对于学校而言，教师能够较大限度地发挥自身的作用，教学的效率相对来说也较高，然而这种形式的教学，教师上课时的内容、教学的思想方法和教学的重难点的把握不可能适合每一个同学，针对性也不会强，上课时与学生的互动也就相对较少，忽视了逆向思维的培养，学生基本上是跟着老师的想法行动，而对于某一个问题，自己的想法却是少之又少，学生难以完成思维的正向与逆向转换。4.2学生的思维过程与能力对于思维的过程而言，由于学生们受到思维定势的影响，很难从正向的思维模式转化成逆向思维模式，学生们也很难从一个方面起作用的单向联想转变为从两个方面都起作用的双向联想。这种转变对于学生来说，是有一定的困难的，并且逆向思维并非只是完完全全地把正向思考的路径逆过来，这在无形中增加了逆向思维的难度。另一方面为学生的思维能力，从直观、具体的形象思维转化为抽象的逻辑思维需要一个过程，受到传统教育的影响，学生只是去记忆和模仿，没有掺杂着自己的思考过程和想法，学生的思维往往会困在一个个的方框之内，难以达到思维的扩散，也就影响了学生的逆向思维能力[10]。4.3教师的观念与能力随着社会的发展和经济的快速增长，以及全国课程改革步伐不断的推进，目前对于教师的要求也越来越高，教师的基本素养和教学的素质的提高已逐步的成为素质教育改革的重点。教师的能力以及教师的思维观念直接影响着学生的思维素质的发展，在学校的学习过程中，学生的发展与教师还是有一定的影响的，学生思维的养成与教师的指导有关系，未来的教育对于教师的要求会越来越高。对于学生思维的培养，若是教师的观念仍然是重视学生成绩的提高，分数的增加，而忽视学生思维的发展，忽视学生思维活跃性的提高，这将对学生未来的发展会有莫大的影响.对于中学生而言，教师的思维模式、行为观念以及执教的能力都无时无刻地影响着学生的发展，有时候会影响学生的一生.因此在培养学生的思维能力的同时，教师自身的教学观念和教学的能力也要相应的提高，才能为学生的逆向思维能力的发展提供强有力的支撑，为社会培养出思维能力与学习能力都强大的创新型人才[11]。5、中学数学教学中培养逆向思维能力的途径和建议5.1数学定义教学中逆向思维能力的培养对于中学数学而言，数学定义的教学是非常之普遍的，对于数学的学习也是非常之重要的.它是数学学习的基础，在中考、高考等考试中都会涉及对数学定义的考查[12]。因此在数学的学习过程中，数学定义的教学将占据重要的地位，在中学数学的学习过程中，运用数学定义来解题是很常见的.并且在解题的过程中，对于数学定义的逆向运用也是一种很重要的解题手段，通过对数学定义进行合理的逆向思维，将会使得某些数学问题变得更加简单，从而在某种程度上能够提高学生的解题能力以及解题的效率，增加学生学习数学的兴趣。例4：已知，求的值。分析：对于这道题而言，已知条件是只含有一个未知数的等式，所求解的式子也是只含有同一个未知数.通过已知条件解出x的值，然后代入后面的式子中来求解，确实可以.但是这方法的计算量很大，解题过程很复杂，效率不高，一般不用此类方法.那就要找两个式子之间的关系，作整体的代换，如果能把所求的式子变为与已知条件联系紧密的式子，那就可以了.所求式子是一个分式，我们考虑如果分式的分母是单项式，分子是多项式，那就可以把它拆开来达到化简的目的。解：这时我们考虑求原式的倒数，且由已知可得：，=原式等于5.2数学公式教学中的逆向思维能力的培养对于数学公式的逆向思维的例子有很多，就拿初中的平方差、完全平方公式来说.在初中对于这两个公式：，，教学中，学生从左至右来运用这两个公式基本上是没问题的，即正面来思考问题是容易做到的，但是如果要从公式的反面来思考，来运用此公式，那是比较难以接受的.特别是在具体的题目中，更加难以找到正确的思路，如果在我们的教学的过程中，不对该公式的逆向思考作一个理解和训练，那么学生对于这类型题目将很难下笔.如果学生对此公式的逆向能够理解，或者在做题时能够有意识的联系起来，那么学生在解决问题的过程中，将会更加顺畅.他的思路也会更加的开阔、清晰，解题的做法也会更加的新颖，一旦把该公式的逆向运用用到合适的地方，将会使得题目的解答更加简单明了，有着另一番风景[13]。例5：计算：分析：如果按一般的做法，直接去括号，那么将是非常的复杂.因此要寻找另外的解决办法，我们从题目的构成形式来看，x的次数是以平方增加的，并且都是1+a的形式，那么大家可以联想到逆向的平方差公式，因此在原等式的左右两边都乘上一个因式（1-x），再逆用平方差公式来求解，将会简化解题的过程：解：====当x=1时，，当时，，综上所述，反之可得：时，x=1，当时，。5.3数学定理、法则教学中的逆向思维能力的培养在中学数学的学习中，数学定理、法则的学习是非常重要的，对于这些定理、法则的灵活运用可以增加解题的速度，提高解题的效率.在中学数学中，有着许多重要的数学定理及法则，如：余弦定理、勾股定理、韦达定理、集合的补集思想、正难则反的原则、相交弦定理等等.在我们解决数学问题的过程中，对于这些定理、法则的逆向运用，有时会让我们得到意想不到的结果，并且为我们分析以及快速解决该问题提供很好的思路[14]。同时这也对于学生的逆向思维能力的培养有着重要的作用，在很多情况下，大部分同学做题时，总是习惯于正向地运用定理与法则，这也跟学生的定势思维有联系.但是在很多的情况下，解决此道问题要学生们逆向运用定理与法则.因此，在中学数学的教学过程中，教师应当教会学生逆向来思考问题，并且逐渐来打破学生们固有的定势思维。例6：已知实数a,b,c满足，求实数a,b,c的值。分析：当学生们拿到此题时，大部分的同学由于受到定势思维的影响，要求解实数a,b,c的值，并且a,b,c满足方程组，那肯定是通过求解此方程组来解决，把a,b,c的值都解出来.这种思路是很简单的，但是所求的未知数有三个，而满足的方程却只有两个，那么实数a,b,c满足的第三个方程在哪儿呢？这时大家不妨换一种思路，可以逆向的来思考下.通过仔细的观察，以及把方程组进行适当变形，就不难发现该方程组中隐含了a+b和ab，那么就可以联想到韦达定理的逆定理。解：，实数a,b为一元二次方程的两个根，，即，，，该一元二次方程有两个相等的实数根a=b，a=b=2,c=0.结束语逆向思维是属于发散思维的一种，从某种角度来说，对于学生创新性思维的培养、思维灵活性的培养有一定作用.逆向思维无论在学习还是生活中都有很大的用处，学生们应当学会观察生活中的实例，发现生活以及学习上的规律，加强自身思维的学习，掌握正确的学习方法，注意适当的思维训练[15]。本文在经过了选择论文题目、收集相关资料、撰写正文、修改论文等等一系列的工作之后，已经基本完成.本文主要的研究内容为：利用逆向思维解题的策略研究、培养学生逆向思维能力的一些途径和方法.首先，在策略的研究过程中，对具体的例子进行分析，来更好的帮助学生们理解解题的策略，论文中的每一道例题，并非是简单讲述解答的过程，而是注重问题的分析过程；最后参考一些文献资料，整理出培养逆向思维能力的途径，在这其中加入了另外一种从数学结果中培养的途径，对于以前的参考资料作一个补充。就本人来说，还未曾真正进入到工作岗位，真正去体会教学的实际过程和开展实验的时间并不是很长，