2022中考数学压轴题汇编2

【2022·河南·22题】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是；（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想。（3）拓展研究：已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）。若射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长。解：（1）①DE∥AC（易证△ACD是等边三角形）②S1=S2。易证DF是△ACB的中位线S1=BC·DF=·2CF·DF=CF·DFS2=AC·CF=·2DF·CF=DF·CF∴S1=S2（2）∵∠ACB=90°∴∠ACN+∠BCN=90°∵∠DCE=90°，即∠DCN=90°∴∠DCM+∠BCN=90°∴∠ACN=∠DCM∵∠ANC=∠DMC=90°，AC=DC∴△CAN≌△CDM∴AN=DM∵S1=BC·DM，S2=CE·AN，BC=CE∴S1=S2（3）过点D作DK⊥BC于K。∵AB平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠CBD=∠ABD=30°∵BD=4∴DK=2，BK=2∵DE∥AB∴∠ABD=∠BDE=30°∴∠CBD=∠BDE=30°∴∠DEK=∠CBD+∠BDE=60°∴EK==∴BE=BK-EK=2-=∴S△BDE=BE·DK=··2=延长CD交BA于H，易证得CH⊥AB∴S△DCF=DC·FH=·4·FH=∴FH=易得BH=BK=2由题意知，点F可以在点H的上方或下方∴BF=或

【2022·河南·23题】如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标。解：（1）由题意知，点C是y=x+2与y轴的交点∵当x=0时，y=2∴C（0，2）将C、D坐标代入抛物线解析式得：解得b=，c=2∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2（2）∵PF∥OC∴当四边形OCPF是平行四边形时，PF=OC=2由题意得，P（m，-m2+m+2），F（m，m+2）∵点P在y轴右侧∴m＞0∴PF=|-m2+m+2-(m+2)|=|-m2+3m|=2当P在CD上方时，-m2+3m=2则m2-3m当P在CD下方时，-m2+3m=-2则m2-3m-解得m=或(舍去)故，当m=1或2或时，四边形OCPF是平行四边形（3）点P坐标为（，）或（，）①当P在CD上方时，PF=-m2+3m，如下左图。由△PKF∽△CHF∽△GOC可求得：PK=(6m-2m2)，FK=(3m-m2)，CF=∵∠PCF=45°∴PK=CK=CF+FK则(6m-2m2)=(3m-m2)+整理得2m2解得m=0(舍去)或∴P（，）②当P在CD下方时，PF=m2-3m与①同理，可求得：PK=(2m2-6m)，FK=(m2-3m由PK=CK=CF-FK得(2m2-6m)=m-(m2-整理得6m解得m=0(舍去)或∴P（，）

【2022·山西·25题】数学活动——求重叠部分的面积。问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积。（1）独立思考：请解答老师提出的问题。（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程。（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，在提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE、DF分别交AC于点M、N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积。任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是；②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。解：（1）∵D是斜边AB的中点∴CD=AD=BD=AB∴∠B=∠BCD∵∠B=∠EDF∴∠EDF=∠BCD∴DG∥BC∵AC⊥BC∴DG⊥AC∵D是AB的中点∴G是AC的中点∴CG=AC=4，DG=BC=3∴S△DCG=CG·DG=·4·3=6（2）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8∴AB=10∵D是AB的中点∴AD=BD=5∵DE⊥AB∴∠ADH=∠C=90°∵∠BAC=∠HAD∴△ADH∽△ACB∴，∠B=∠AHD∴DH==过点G作GK⊥DH于K。∵∠B=∠GDH∴∠GDH=∠AHD∴HK=DK=DH=·=∵∠GHK=∠B∴Rt△GHK∽Rt△ABC∴∴GK=·=∴S△DGH=DH·GK=··=（3）①S△DMN=。（提示：过点M作MK⊥DN于K，连接CD。易证△CDN是Rt△，MK是其中位线，得MK=。易证△DKM∽△BCA，可求得DK=，则DN=，即可求得△DMN的面积）②如图4，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC，DE交BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形△MCN）的面积。

【2022·山西·26题】如图，抛物线y=x2-x-4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，以点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存，请说明理由。解：（1）当y=0时，x2-x-4=0，解得x=-2或8∵点B在点A的右侧∴A的坐标为（-2，0），B的坐标为（8，0）∵当x=0时，y=-4∴C的坐标为（0，-4）（2）∵菱形BDEC以点O为对称中心∴OD=OC=4，CD=8∴D（0，4）易得直线BD的解析式为y=-x+4由题意得，M（m，-m+4），Q（m，m2-m-4）∴MQ=-m+4-m2+m+4=-m2+m+8因为MQ∥CD，所以当四边形CQMD为平行四边形时，MQ=CD=8∴-m2+m+8=8，解得m=0或4∵当m=0时，MQ与CD重合，不能构成四边形∴当m=4时，四边形CQMD为平行四边形易得直线BD的解析式为y=x-4当m=4时，M（4，2），N（4，-2），Q（4，-6）∴MN=QN=4∵OP=PB，PN∥OC∴BN=CN∵四边形CQBM的对角线BC、QM互相平分∴四边形CQBM是平行四边形（3）由(2)得，BD2=OB2+OD2=64+16=80BQ2=PB2+PQ2=(8-m)2+(m2-m-4)2过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=|m|，DH=|4-m2+m+4|=|-m2+m+8|∴DQ2=QH2+DH2=m2+(-m2+m+8)2若△BDQ为直角三角形，则存在如下三种情况：①当BQ2=BD2+DQ2时，则(8-m)2+(m2-m-4)2=m2+(-m2+m+8)2+80整理得m2-14m-32=0，解得m=-∴Q的坐标为（-2，0）②当DQ2=BD2+BQ2时，则m2+(-m2+m+8)2=(8-m)2+(m2-m-4)2+80整理得m2-14m+68解得m=6或8(舍去)∴Q的坐标为（6，-4）③当BD2=BQ2+DQ2时，不难发现，以BD为直径的圆过点O，与抛物线只有交点B，故不存在满足题述条件的点Q。综上所述，当点Q的坐标为（6，-4）或（-2，0）时，△BDQ为直角三角形。

【2022·河北·25题】某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩。Q=W+100。而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关（不考虑其他因素），W由两部的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比。试行中得到了表中的数据。（1）用含x和n的式子表示Q；次数n21（2）当x=70，Q=450时，求n的值；速度x4060（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；指数Q420100（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0），同时x减小m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值，若不能，请说明理由。参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，）解：（1）由题意设：W=ax2+bnx，其中a、b为不等于0的常数则Q=W+100=ax2+bnx+100由表中数据可得：解得∴Q=-x2+6nx+100（2）当x=70，Q=450时，有450=-490+420n+100即420n=840∴n=2（3）当n=3时，则Q=-x2+18x+100=-(x-90)2+8200∵-＜0∴当x=90时，Q有最大值，最大值为8200故，当n=3时，要使Q最大，x=90（4）能。由题意得：n=2(1+m%)，x=40(1-m%)设k=m%（k＞0）则Q=-[40(1-k)]2+6·2(1+k)·40(1-k)+100=-640k2+320k+420当Q=420时，-640k2+320k+420=420即-2k2+k=0解得k=0（舍去）或∴m%=∴m=50

【2022·河北·26题】一透明的正方体容器ABCD—A’B’C’D’装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）。探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB’交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示，解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是；BQ的长是dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBQC×高AB）（3）求α的度数。（注：sin49°=cos41°=，tan37°=）拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图。若液面与棱C’C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y，分别就图3和图4，求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围。延伸：在图4基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC，继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3。解：探究：（1）CQ∥BE；由CQ=5，BC=4得，BQ=3cm（2）V液=S△BQC·AB=BC·BQ·AB=·4·3·4=24dm3（3）∵CQ∥BE∴∠BCQ=α∵tanα=tan∠BCQ==∴α=37°拓展：①对图3，由液体体积不变得：V液=(BQ+PC)·BC·AB=24∴(y+x)·4·4=48，即y+x=3∴y与x的函数关系式为y=3-x此时，0°≤α＜37°②对图4，由液体体积不变得：V液=BP·BQ·AB=4S△BPQ=24∵BP=BC-PC=4-x∴y(4-x)·4=48，即y(4-x)=12∴y与x的函数关系式为：y=当BQ=BB’=4时，液体刚好不溢出此时，BP·BQ·AB=8BP=24，得BP=3∵tan∠BQP==∴∠BQP=37°∴α=∠BPQ=90°-∠BQP=53°∴37°≤α≤53°延伸：当α=60°时，由图5a可得，PB=则PM=-2，∴QM=4-2＜NM=1故，此时液面情况应如图5b所示，易求得：S△FMN=NM·FM=S梯形MBB’Q=(QM+BB’)·BM=8-2∴留在容器中的液体的体积为：V留=(S△FMN+S梯形MBB’Q)·AB=32-∴溢出容器的液体的体积为V溢=V液-V留=-8＞4故，溢出容器的液体能达到4dm3。

【2022·呼和浩特·24题】如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF∶FD=4∶3。（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长。解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∵∠B=∠CAE∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE∵∠BAD+∠B=∠ADE∠CAD+∠CAE=∠DAE∴∠ADE=∠DAE∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形∵DE是⊙C的直径∴∠DFE=90°，即EF⊥AD∴F是AD的中点（2）连接DM。∵DE是⊙C的直径∴∠DME=90°，即DM⊥AE∴cos∠AED=由EF∶FD=4∶3，设EF=4m，FD=3m∴DE==5m，AE=5m∵F是AD的中点∴AD=2FD=6m∵S△ADE=AD·EF=AE·DM∴DM=m∴ME==m∴cos∠AED==m÷5m=（3）∵∠B=∠CAE，∠AEB=∠CEA∴△ABE∽△CAE∴，即AE2=BE·CE由（2）知，AE=5m，CE=DE=m∵BD=10∴BE=DE+BD=5m+10∴25m2=(5m+10)·m即m2-2m解得m=0(舍去)或2∴CD=DE=m=5

【2022·呼和浩特·25题】如图，已知二次函数的图象经过点A(6，0)、B(-2，0)和点C(0，-8)。（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O—A—C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O—C—A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动。设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S。①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC。若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0时②中函数S的最大值，直接写出S0的值。解：（1）∵二次函数图象过点A(6，0)、B(-2，0)∴可设二次函数解析式为y=a(x-6)(x+2)由点C(0，-8)得，-8=-12a∴a=∴二次函数解析式为y=(x-6)(x+2)=x2-x-8（2）取点C(0，-8)关于x轴的对称点C’(0，8)，连接C’M交x轴于点K，易证此时△KCM的周长最小。由y=x2-x-8=(x-2)2-得，M（2，-）可求得C’M的解析式为y=-x+8∵当y=0时，x=∴K（，0）（3）易得OA=6，OC=8，AC=10设t0时P、Q两点相遇，由题意易得t0=①要使PQ∥OC，则，即5OP=3CQ∵OP=3t，CQ=8t-8∴15t=24t-24，得t=∵＞∴P、Q两点在运动过程中，不存在PQ∥OC②当0＜t≤1时，P在OA上，Q在OC上此时，S=OP·OQ=·3t·8t=12t2当1＜t≤2时，P在OA上，Q在CA上过点Q作QH⊥x轴于H。∵CQ=8t-8∴AQ=18-8t，则QH=(18-8t)此时，S=OP·QH=·3t·(18-8t)=-t2+t当2＜t≤时，P、Q都在CA上过点Q作QH⊥x轴于H，作PE⊥x轴于E。∵PA=3t-6∴PE=(3t-6)此时，S=OA·(QH-PE)=·6·(24-11t)=t③当0＜t≤1时，S0=12当1＜t≤2时，S=-(t-)2+，则S0=当2＜t≤时，S0=∵＞12＞∴S0=

【2022·陕西·24题】在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点。（1）写出这个二次函数图象的对称轴；（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB。当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。解：（1）二次函数图象的对称轴为x=2（2）∵二次函数图象经过A（1，0）、B（3，0）两点∴可设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3)，其中a≠0∵当x=2时，y=-a∴顶点D的坐标为（2，-a）∵二次函数图象的对称轴与x轴交于点E∴点E的坐标为（2，0）∵当x=0时，y=3∴点C的坐标为（0，3a∴OA=1，OC=|3a|，BE=1，DE=|a∵∠AOC=∠BED=90°∴当△AOC与△DEB相似时，存在如下两种情况：①当时，则OC=DE∴|3a|=|a∴a=0，显然不可能②当时，则OA·BE=OC·DE∴|3a|·|a|=1，即3a∴a=或-故，二次函数的表达式为：y=(x-1)(x-3)=或y=-(x-1)(x-3)=

【2022·陕西·25题】问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M时正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条必须过点M），使它将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由。问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点。如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，请说明理由。解：（1）如图①所示。（2）连接AC、BD交于点O，连接MO交AD于E、交BC于F，过点O作EF的垂线交AB于G、交CD于H，如图②所示，则直线EF、GH将正方形ABCD的面积四等分。理由如下：∵点O是正方形ABCD对角线的交点∴OA=OD，∠AOD=90°，∠OAB=∠ODA=45°∴∠AOE+∠EOD=90°∵EF⊥GH，即∠GOE=90°∴∠AOE+∠AOG=90°∴∠EOD=∠AOD∴△AOG≌△DOE（ASA）同理可证△AOG≌△DOE≌△BOF≌△COH且△AOE≌△DOH≌△BOG≌△COF∴S四边形AGOE=S四边形DEOH=S四边形CHOF=S四边形BFOG∴直线EF、GH将正方形ABCD的面积四等分（3）存在满足条件的点Q。连接BP延长交CD的延长线于E，连接CP延长交BA的延长线于F，连接EF。∵AB∥CE∴∠PAE=∠PDE，∠PBA=∠PED∵P是AD的中点∴PA=PD∴△PAB≌△PDE∴AB=DE=a同理可证△PCD≌△PEA∴CD=AF=b∵BF=AB+AF，CE=CD+DE∴BF=CE=a+b∵BF∥CE∴四边形BCEF是平行四边形∵BC=AB+CD=a+b，即BF=BC=CE∴四边形BCEF是菱形过点P任作直线PQ交BC于Q，过点P分别作CE、CB、BF的垂线，垂足分别为G、H、K。∵点P是菱形BCEF的对称中心∴PG=PH=PK=h∴S四边形ABQP=S△ABP+S△BQP=(AB+BQ)·hS四边形CDPQ=S△CDP+S△CQP=(CD+CQ)·h要使S四边形ABQP=S四边形CDPQ则有AB+BQ=CD+CQ∵AB=a，CD=b，CQ=BC-BQ=a+b-BQ∴a+BQ=b+a+b-BQ∴BQ=b故，边BC上存在点Q，且当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分。

【2022·济南·23题】（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE。连接BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE。连接BE，CD。BE与CD有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE．求BE的长。解：（1）完成图形如图1。∵△ABD、△ACE是等边三角形∴AB=AD，AC=AE∠BAD=∠CAE=60°∵∠BAE=∠BAC+∠CAE∠DAC=∠BAC+∠BAD∴∠BAE=∠DAC∴△ABE≌△ADC（SAS）∴BE=CD（2）BE=CD。理由如下：∵ABFD、ACGE是正方形∴AB=AD，AC=AE∠BAD=∠CAE=90°与(1)同理可证∠BAE=∠DAC∴△ABE≌△ADC（SAS）∴BE=CD（3）以A为直角顶点，AB为直角边向外作等腰直角△ABD，连接CD。与(1)(2)同理可得，∠BAE=∠DAC∵AB=AD，AE=AC∴△BAE≌△DAC∴BE=CD∵△ABD是等腰直角三角形∴∠ABD=45°∵AB=AD=100∴BD2=AB2+AD2=20000∵∠ABC=45°∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=90°∴CD2=BC2+BD2∵BC=100∴CD2=10000+20000=30000∴CD=100∴BE=100

【2022·济南·24题】如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原