高考数学二轮复习 第一部分 小题强化练 小题强化练（四）（含解析）试题

小题强化练(四)一、选择题1．设集合A＝{y|y＝log2x，0<x≤4}，B＝{x|ex>1}，则A∩B＝()A．(0，2) B．(0，2]C．(－∞，2) D．R2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝|1－i|＋i，则z的虚部为()A.eq\f(\r(2)－1,2) B.eq\r(2)－1C.eq\f(－\r(2)＋1,2)i D.eq\f(1－\r(2),2)3．设随机变量X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.A．6038 B．6587C．7028 D．75394．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为()A.eq\f(13,3)升 B.eq\f(17,6)升C.eq\f(19,9)升 D.eq\f(25,12)升5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，则△ABC面积的最大值是()A．1 B.eq\r(3)C．4 D．67．已知非空集合A，B满足以下两个条件：①A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对(A，B)的个数为()A．10 B．12C．14 D．168．设3x＝2，y＝ln2，z＝5－eq\f(1,2)，则()A．x<y<z B．y<z<xC．z<x<y D．z<y<x9．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝eq\f(2π,3)，AP＝3，AB＝2eq\r(3)，Q是BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为eq\f(π,3)，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为()A．45π B．57πC．63π D．84π10．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)＝ex(2x＋3)＋f(x)(e是自然对数的底数)，f(0)＝1，若不等式f(x)－k<0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)，0))11．(多选)若直线3x－y＋c＝0向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆x2＋y2＝10相切，则c的值为()A．14 B．12C．－12 D．－612．(多选)已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，下列结论正确的是()A.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq\r(3)B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq\r(3)D.eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))13．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则()A．a8＞0B．a9＜0C.eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，…，eq\f(S15,a15)中最大的项为eq\f(S9,a9)D.eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，…，eq\f(S15,a15)中最大的项为eq\f(S8,a8)二、填空题14．已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝________．15．已知奇函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝________．16．已知抛物线y2＝4x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO的面积的最小值是________．17．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)asin2x－(a＋2)cosx－(a＋1)x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上无极值，则a＝________，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的最小值是________．小题强化练(四)1．解析：选B.A＝(－∞，2]，B＝(0，＋∞)，则A∩B＝(0，2]．2．解析：选D.由题意得z＝eq\f(\r(2)＋i,1＋i)＝eq\f(（\r(2)＋i）（1－i）,2)＝eq\f(\r(2)＋1,2)＋eq\f(1－\r(2),2)i，则z的虚部为eq\f(1－\r(2),2).3．解析：选B.由正态分布的概率分布特点可得P(1<X≤2)＝eq\f(1,2)P(0<X≤2)＝eq\f(1,2)×0.6827＝0.34135.又正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为0.65865，所以向正方形ABCD中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点估计有6587个．4．解析：选B.设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{an}，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，解得a1＝eq\f(13,22)，d＝eq\f(7,66)，则第1，3，9节的容积之和为a1＋a3＋a9＝3a1＋10d＝eq\f(39,22)＋eq\f(70,66)＝eq\f(17,6)(升)．5．解析：选B.某人由小区A到小区H的最短路径有6条，分别为ABCEH，ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFGH，其中经过市中心O的有ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4条，故所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).6．解析：选B.由2bcosB＝acosC＋ccosA和正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA，则2sinBcosB＝sin(A＋C)＝sinB．因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosB＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3).由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，则4＝a2＋c2－ac≥ac，当且仅当a＝c＝2时取等号．则△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\r(3)，即△ABC面积的最大值是eq\r(3).7．解析：选A.对非空集合A，B中的元素按个数分类：(1)当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则A＝{5}，B＝{1，2，3，4，6}，只有1种可能；(2)当集合A中有2个元素时，集合B中有4个元素，则A中必有元素4，B中必有元素2，则A＝{1，4}，B＝{2，3，5，6}或A＝{3，4}，B＝{1，2，5，6}或A＝{4，5}，B＝{1，2，3，6}或A＝{4，6}，B＝{1，2，3，5}，共4种可能；(3)集合A中不可能有3个元素；(4)当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，与情况(2)相同，只需A，B互换即可，共4种可能；(5)当集合A中有5个元素时，集合B中有1个元素，与情况(1)相同，只需A，B互换即可，共1种可能．综上可得，有序集合对(A，B)的个数为10.8．解析：选C.由3x＝2得x＝log32，则2>eq\f(1,x)＝logeq\o\al(3,2)>log2e＝eq\f(1,y)>1，则eq\f(1,2)<x<y<1.又z＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，则z<x<y.9.解析：选B.设直线PQ与平面ABC所成的角为θ，三棱锥P­ABC外接球的球心为O，半径为R，如图所示，则0<sinθ＝eq\f(PA,PQ)＝eq\f(3,PQ)≤eq\f(\r(3),2)，所以PQ≥2eq\r(3)，则PQ的最小值为2eq\r(3)，AQ的最小值是eq\r(3)，即点A到BC的距离为eq\r(3)，所以∠BAQ＝eq\f(π,3).因为∠BAC＝eq\f(2π,3)，所以∠CAQ＝eq\f(π,3)，所以AB＝AC＝2eq\r(3)，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·coseq\f(2π,3)＝(2eq\r(3))2＋(2eq\r(3))2－2×2eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝36.所以BC＝6.取△ABC的外接圆的圆心为O′，则圆O′的半径r＝eq\f(1,2)×eq\f(6,sin\f(2π,3))＝2eq\r(3).连接OO′，作OM⊥PA于点M，则点M为PA的中点，所以R2＝OA2＝OP2＝(2eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(57,4)，故三棱锥P­ABC的外接球O的表面积S＝4πR2＝57π.10．解析：选C.令g(x)＝eq\f(f（x）,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′（x）－f（x）,ex)＝2x＋3，则g(x)＝x2＋3x＋c，c∈R，所以f(x)＝ex(x2＋3x＋c)，则f(0)＝c＝1，所以f(x)＝ex(x2＋3x＋1)，f′(x)＝ex(x2＋5x＋4)＝ex(x＋4)·(x＋1)．当x<－4或x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－4<x<－1时，f′(x)<0，所以f(x)在(－4，－1)上单调递减．由f(x)＝ex(x2＋3x＋1)＝0，得x2＋3x＋1＝0，由Δ>0，可知f(x)只有2个零点．由f(－4)＝eq\f(5,e4)>0，f(－3)＝eq\f(1,e3)>0，f(－2)＝－eq\f(1,e2)<0，f(－1)＝－eq\f(1,e)<0，f(0)＝1>0，且x→－∞时，f(x)→0＋，则可作出函数f(x)的大致图象如图．若不等式f(x)<k的解集中有2个整数时，则这2个整数是－1，－2.又f(－2)＝－eq\f(1,e2)，则－eq\f(1,e2)<k≤0.11．解析：选AD.圆x2＋y2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径r＝eq\r(10)，直线3x－y＋c＝0，变形为y＝3x＋c，根据平移规律得到平移后直线的解析式为y＝3(x－1)＋c－1，即3x－y＋c－4＝0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d＝eq\f(|c－4|,\r(10))＝r＝eq\r(10)，解得c＝14或－6.12.解析：选BCD.由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故C正确．因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，故B，D正确．13．解析：选ABD.由S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8＞0，得a8＞0.A正确．由S16＝eq\f(15（a1＋a16）,2)＝eq\f(15（a9＋a8）,2)＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0.B正确．所以数列{an}为递减的数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15＞0，S16，…，Sn＜0，则eq\f(S9,a9)＜0，eq\f(S10,a10)＜0，…，eq\f(S8,a8)＞0，又S8＞S1，a1＞a8，所以eq\f(S8,a8)＞eq\f(S1,a1)＞0，所以eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，…，eq\f(S15,a15)中最大的项为eq\f(S8,a8)，C错误，D正确．14．解析：b·(a＋b)＝a·b＋|b|2＝3，又|b|＝2，则a·b＝－1，所以|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)15．解析：由f(x)＝Acos(ωx＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝eq\f(π,2)，则f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx，f′(x)＝－Aωcosωx，由题知E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，则Aω＝eq\f(\r(3),2)，最小正周期T＝2，则ω＝eq\f(2π,T)＝π，A＝eq\f(\r(3),2π)，则f(x)＝－eq\f(\r(3),2π)·sinπx，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－eq\f(\r(3),2π)sineq\f(π,3)＝－eq\f(3,4π).答案：－eq\f(3,4π)16．解析：由题意可设直线AB：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)．因为点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2<0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝