2022版高中数学复习方略课时作业：应用举例

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)一、选择题1.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小()(A)QUOTE6943(B)1(C)(D)22.某水库大坝的外斜坡的坡度为QUOTE512,则坡角α的正弦值为()(A) (B)QUOTE513(C)QUOTE512(D)3.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为()(A)20(QUOTE6+QUOTE2)海里/小时(B)20(QUOTE6-QUOTE2)海里/小时(C)20(QUOTE6+)海里/小时(D)20(QUOTE6-)海里/小时4.(2022·广州模拟)据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是()(A)QUOTE2063米 (B)20QUOTE6米(C)QUOTE1063米 (D)10QUOTE6米5.(2022·安阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是()(A)10QUOTE3 (B)30 (C)20QUOTE3 (D)15QUOTE36.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=,tanβ=,则H=()(A)100m(B)110m(C)124m(D)144m二、填空题7.若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边长AB的长度等于.8.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔的高度,测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上,则电视塔的高为米.9.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=.三、解答题10.(2022·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(1)求证:a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.11.在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?12.(能力挑战题)如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为QUOTE3米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN取最大值时cosθ的值;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°,整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤,∴当x=QUOTE7043时y2最小,即y最小.2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tanα=QUOTE512,得QUOTE125sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=QUOTE513.3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS中利用正弦定理可得,∴MN=(海里),∴货轮航行的速度v=QUOTE10(6-2)12=204.【解析】选A.如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,∴AO=QUOTE2063米.5.【解析】选D.由△ABC三边长构成公差为4的等差数列,设△ABC的三边长分别为a,a+4,a+8,因为△ABC的一个内角是120°,所以(a+8)2=a2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,化简得a2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或a=6.因此△ABC的面积S=QUOTE12×6×10×sin120°=15.【变式备选】在△ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=QUOTE3,B=QUOTEπ3,则△ABC的面积为()【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=QUOTE3,则ac=3,又B=,∴S△ABC=QUOTE12acsinB=QUOTE12×3×QUOTE32=6.【思路点拨】用H,h表示AD,AB,BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】选C.由AD=QUOTEHtanβ及AB+BD=AD,得解得H=QUOTE4×1.241.24-1.20=124(m).因此,算出的电视塔的高度H是124m.【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由△ABC面积为3,得QUOTE12absin60°=3,得ab=4QUOTE3,又BC=a=2,故b=2QUOTE3,∴c2=a2+b2-2abcosC=4+12-2×2×2QUOTE3×QUOTE12=16-4QUOTE3,∴c=QUOTE4-3.答案:QUOTE4-38.【解析】如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,则AE==120+60QUOTE3,在Rt△AEC中,CE=AE·tan30°=(120+60QUOTE3)×QUOTE33=60+40QUOTE3,∴BC=CE+BE=60+40QUOTE3+60=(120+40QUOTE3)米,所以塔高为(120+40QUOTE3)米.答案:120+40QUOTE39.【解析】在△ABC中,在△BCD中,sin∠BDC=QUOTEBCsin∠CBDCDQUOTE50(6-2)sin45°50=QUOTE3-1.又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=QUOTE3-1.答案:QUOTE3QUOTE3-110.【思路点拨】(1)先利用切化弦,将已知式子化简,再利用和角公式,三角形内角和定理,正弦定理化成b2=ac.(2)利用(1)的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.【解析】(1)由已知得:sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,sinBsin(A+C)=sinAsinC,sin2B=sinAsinC.由正弦定理可得:b2=ac,所以a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,则b2=ac=2,∴cosB=sinB=∴△ABC的面积S=QUOTE12acsinB=×1×2×QUOTE74=.11.【解析】如图,设缉私船t小时后在D处追上走私船,则有CD=10QUOTE3t,BD=10t.在△ABC中,AB=QUOTE3-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=QUOTE6.由正弦定理,得sin∠ABC=QUOTEACBCsin∠BAC=得∠ABC=45°,即BC与正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花QUOTE610小时.12.【解析】(1)如图,作SC⊥OB于C,依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=QUOTE3,故在Rt△SAB中,可求得AB=QUOTESAtan30°=3,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan30°=QUOTE3QUOTE3,又BC=SA=QUOTE3QUOTE3,故OB=2QUOTE3QUOTE3,即立柱的高度OB为2QUOTE3米.(2)方法一:如图,以O为原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系,连接SM,SN,设M(cosα,sinα),α∈[0,2π),则N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-QUOTE3).故QUOTESM→=(cosα-3,sinα+QUOTE3),QUOTESN→=(-cosα-3,-sinα+QUOTE3QUOTE3),∵QUOTESM→·QUOTESN→=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+QUOTE3)·(-sinα+QUOTE3QUOTE3)=11.|QUOTESM→|·|QUOTE