高等数学B（下）：ch5-1,2向量及其线性运算＆点的坐标与向量的坐标

教学安排第五章向量代数与空间解析几何10学时第六章多元函数微分学

18学时第七章重积分

18学时第八章曲线积分与曲面积分

18学时第九章无穷级数

16学时(期中考

复习2学时)期末总复习6学时本学期授课内容从第五章至第九章(共五章).

11/28/2023Hopeisagoodthing,maybethebestofthings,andnogoodthingeverdies.希望是美好的，也许是人间至美；美好的事物永不消逝。11/28/2023第五章第一部分向量代数向量代数与空间解析几何数量关系

—在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）第二部分空间解析几何

11/28/2023一、空间直角坐标系

第一节向量及其线性运算二、向量的概念三、向量的加减法四、向量与数的乘法五、小结

第五章

11/28/2023横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系11/28/2023Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ11/28/2023空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点P,Q,R

分别是M点在x,y,z

轴上的投影点(M点在xoy

面上的投影点)(过M点作一平面与轴垂直相交的点,称为轴上投影点)(过M点作一直线与平面垂直相交的点,称为面上投影点)1、空间点的坐标:11/28/20232、空间两点间的距离长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和(平面?)11/28/2023空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为11/28/2023解设P点坐标为∴所求点为11/28/2023与同向的单位向量,(方向不确定)向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.||向量的模(norm):向量的大小.单位向量：二、向量(vector)的概念或或纯量：只有大小的量.运算规则同实数≥0

或记为零向量：模长为0的向量.自由向量：不考虑起点位置,只考虑它的大小与方向的向量.

(研究对象)11/28/2023规定:零向量与任何向量平行;若向量a

与b大小相等,方向相同,则称a

与b

相等,若向量a

与b

方向相同或相反,则称a

与b

平行,

a∥b

;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上，

故两向量平行又称

两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k

个向量共面

.记作－a;记作a＝b

;

11/28/2023向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量

这里,称为M点(关于原点)的向径.11/28/2023[1]加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）三、向量的加减法11/28/2023向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法（也适合于n个向量的相加）思考:

若，则以a,b为邻边的四边形是矩形☆11/28/2023四、向量与数的乘法同向的单位向量：设

a是一个非零向量，则向量为与向量同向的单位向量.

a思考

若，则？若，则？11/28/2023数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：例2

化简解原式11/28/2023例3

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证即与平行且大小相等,所以结论得证.11/28/2023两个向量的平行关系(证明详见书P6)tt11/28/2023以分别表示沿轴正向的单位向量.设M的坐标为（ax,ay,az)(基本单位向量)由前页推论可得P,Q,R

分别是M点在x,y,z

轴上的投影点11/28/2023按基本单位向量的标准分解式：在三个坐标轴上的分向量：有序数组1-1对应把称为的坐标，(向量的坐标表达式)记作综上所述若M的坐标为（ax,ay,az),则说明:当向量始点在原点时,该向量的坐标就是其终点的坐标.11/28/2023向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式11/28/2023平行向量对应坐标成比例:11/28/2023平行向量对应坐标成比例:例如，不能同时为零，但允许两个为零，11/28/2023例1

求向量的坐标表示式，其中M1的坐标是，M2的坐标是。11/28/2023解设为直线上的点，

(即书P11

例4)由题意知：∵11/28/2023由题意知：11/28/2023非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.六、向量的模与方向余弦的坐标表示式称为向量

的方向余弦11/28/2023由图分析可知向量的方向余弦注：方向余弦通常用来表示向量的方向.P,Q,R

分别是M点在x,y,z

轴上的投影点向量模长的坐标表示式(坐标平方和的平方根)11/28/2023当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征注：∵故的同向单位向量的坐标就是的方向余弦(方向余弦=坐标除以模)11/28/2023向量模长的坐标表示式一般：向量方向余弦的坐标表示式(即坐标除以模)(坐标平方和的平方根)11/28/2023解11/28/2023解11/28/2023211/28/2023向量的投影向量

在向量上的投影:设向量，,

≠0,且

过M点作平面垂直于所在的直线并交该直线于点M’(如图)，则称有向线段为在向量上的投影向量.（数量）PrjbaPrjba(注：投影有正有负)(问:投影=投影向量的模吗？)与

b

同向吗?11/28/2023解11/28/2023空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与纯量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）向量的坐标表示内容小结方向角与方向余弦

11/28/2023向量模长的坐标表示式

单位向量的坐标就是的方向余弦

设向量运算加减:数乘:

(预习:书P317

附录：矩阵与行列式简介)

(及书§5.3内容)11/28/2023空间两点间距离公式

向量模长的坐标表示式的坐标就是的方向余弦

设加减:数乘:

复习的同向单位向量(坐标除以模即为方向余弦)11/28/2023叉积:点积:

向量关系:

叉积几何意义

11/28/2023xyo①

轴与面:关于哪个量对称，哪个量就不变;②

原点:

都变求关于面、轴、原点