2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为(

)A.(x−3)2=14 B.(x−3)2=42.一元二次方程x−52+1=0的根的情况是

(

)A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根3.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(

)A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm4.在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是

(

)

A.▵ACD的外心 B.▵ACD的内心 C.▵ABC的外心 D.▵ABC的内心5.已知⊙O的半径是1，弦AB=3，点C为⊙O上的一点(不与点A、B重合)，则∠ACB的度数为

(

)A.60∘ B.30∘ C.60∘或120∘ 6.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC=PD=BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO=AB；(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.方程x2=4的解是_____．8.已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与⊙O的位置关系为______．9.若x=2是一元二次方程x2−mx+8=0的一个根，则m的值是______．10.某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程______．11.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．

12.一元二次方程x2+3x−1=0的两个根分别是a和b，则a−2b−2=13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若∠ADC=64∘，则∠AEC=______°．

14.如图，在▵ABC中，AB=8，DE⊥AB于D，若▵ABC的外心O在线段DE上．∠BOC=120∘，则DE=______．

15.如图，在直角坐标系中，点B−7,0，C7,0，AB−AC=2，则▵ABC的内切圆圆心M的横坐标为______．

16.在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=n∘，点D在AB上，CD=12AB，若点D是AB三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)解下列方程：(1)x(2)x−1218.(本小题8.0分)

解关于x的方程：−x2+m−119.(本小题8.0分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD // BC，求证：AB=CD．

20.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程x2−22mx+m2+m−1+k=0(m21.(本小题8.0分)如图，▵ABC内接于⊙O，与⊙O相切于点A，D是AC⌢上一点．过点A作AE/​/BC，交CD的延长线于点E.连接AD、BD.求证：∠BDA=∠EDA

22.(本小题8.0分)如图，⊙O是▵ABC的外接圆，E是BC⌢的中点，AD是▵ABC的高，连接(1)求证：∠OAE=∠DAE；(2)若∠BAC=84∘，∠ABC=30∘，则∠OAE=23.(本小题8.0分)某养殖场计划用96m的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG:BG=3:2，其中BG的长不超过3m.设BG的长为2x m．

(1)用含x的代数式表示DF=______；(2)当x为何值时，区域③的面积是180m224.(本小题8.0分)

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产某档次的产品一天总利润为960元，求该产品的质量档次．25.(本小题8.0分)如图，在▱ABCD中，∠ACD=∠B，⊙O是▵ABC的外接圆．(1)求证CD与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为5，弦BC长为53，则圆内阴影部分面积为______26.(本小题8.0分)如图1，在▵ABC中，AB=AC，⊙O是▵ABC的外接圆，D为弧AC的中点，连接AD并延长交BC延长线于点E．(1)求证：AC=CE；(2)连接DO并延长交直线BC于点F，若BF=CE，试画出图形并直接写出∠BAC的度数．27.(本小题8.0分)【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】(1)如图①，已知▵ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB=12【应用模型】已知▵ABC是⊙O的内接三角形．(2)如图②，若⊙O的半径r=5，AB=8，求AC+BC的最大值并说明理由．(3)如图③，已知线段MN，AB为⊙O的弦，用直尺与圆规作点C，使AC+BC=MN.(不写作法，保留作图痕迹)

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．【详解】解：移项得：x2两边同时加上9得：x2即(x−3)故选A．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键．2.【答案】D

【解析】【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断．【详解】解：将原方程可变形为：x−52∵x−5∴原方程没有实数根，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法．3.【答案】C

【解析】【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：圆锥的侧面展开图弧长为：240π×18180∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，故选C．4.【答案】A

【解析】【

分析】根据网格利用勾股定理得出OA=OD=OC=【详解】解：由勾股定理可知：OA=OD=OC=所以点O是▵ACD的外心，故选：A．【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出OA=OD=OC．5.【答案】C

【解析】【分析】根据题意画出对应几何图即可求解．【详解】解：如图：作OF⊥AB

则AF=∵OA=1∴OF=∴∠OAF=∴∠AOF=∴∠AOB=2∠AOF=∠ACB=∠AC′B=故选：C【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识点．根据题意画出对应几何图是解题关键．6.【答案】D

【解析】【分析】(1)利用切线的

性质得出∠PCO=90∘，进而得出▵PCO≌▵PDO(SSS)，即可得出(2)利用(1)所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出▵CPB≌▵DPB(SAS)，即可得出答案；(3)利用全等三角形的判定得出▵PCO≌▵BCA(ASA)，进而得出CO=1(4)利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30∘，则DP=DB，则【详解】(1)连接CO、DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90在△PCO和△PDO中，CO=DO∴▵PCO≌▵PDO(SSS)，∴∠PCO=∠PDO=90∴PD与⊙O相切，故(1)正确；(2)由(1)得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和▵DPB中，PC=PD∴▵CPB≌▵DPB(SAS)，∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故(2)正确；(3)连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90在△PCO和▵BCA中，∠CPO=∠CBP∴▵PCO≌▵BCA(ASA)，∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60∴∠CPO=30∴CO=1∴PO=AB，故(3)正确；(4)∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30∴

DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30∴

∠PDB=120故(4)正确；正确个数有4个．故选D．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．7.【答案】x=±2

【解析】【分析】直接运用开平方法解答即可．【详解】解：∵∴x=±故答案为x=±2．【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．8.【答案】相离

【解析】【分析】首先求得⊙O的半径是5cm，再将圆心到直线的距离与圆的半径比较，则可判断出直线和圆的位置关系．【详解】由题意可知⊙O的半径为5cm，∵5cm<10cm，∴直线l与⊙O的位置关系为相离．故答案为：相离．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握圆心与直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离．9.【答案】6

【解析】【分析】将x=2代入x2【详解】解：将x=2代入x2−mx+8=0，得：解得：m=6．故答案为：6．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．10.【答案】161+x【解析】【分析】根据题意可求出9月份利润为161+x，进而可求出10月份利润为8【详解】解：设月平均增长率为x，∴9月份利润为161+x∴10月份利润为161+x∵要使10月份利润达到25万元，∴可列方程为161+x故答案为：161+x【点睛】本题考查由题意抽象出一元二次方程．解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．11.【答案】45

【解析】【分析】连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG、GE、EC，如图所示：∵八边形ABCDEFGH是正八边形∴AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHA=∠HAB=∴ΔABC≅ΔCDE≅ΔEFG≅ΔGHA∴AC=CE=EG=GA∴四边形ACEG是菱形又∠BAC=∠BCA=12∴∠CAG=∠BAH−∠BAC−∠HAG=∴四边形ACEG为正方形，∵AE是正方形的对角线，∴∠CAE=1故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．12.【答案】9

【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=−3，ab=−1.将所求式子变形为ab−2a+b【详解】解：∵一元二次方程x2+3x−1=0的两个根分别是a和∴a+b=−31=−3∴a−2故答案为：9．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x13.【答案】84

【解析】【分析】连接BD、BC，连接CO并延长与圆交于点F，连接BF.根据圆周角定理得出∠BDC=∠ADB=12∠ADC=32∘【详解】解：连接BD、BC，连接CO并延长与圆交于点F，连接BF．∵B是AC⌢∴AB∴∠BDC=∠ADB=1∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180∵∠ABC+∠EBC=180∴∠EBC=∠ADC=64∵EC是⊙O的切线，∴∠BCE+∠BCF=90∵CF是⊙O的直径，∴∠CBF=90∴∠BFC+∠BCF=90∴∠BCE=∠BFC，∵BC∴∠BFC=∠BDC，∴∠BCE=∠BDC=32∴∠BEC=180故答案为84．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．14.【答案】4【解析】【分析】由三角形外心的性质结合DE⊥AB可得出AD=BD=12AB=4，再根据圆周角定理可得出∠BAC=12∠BOC=60【详解】解：∵点O为▵ABC的外心，∴∠BAC=1∵DE⊥AB，∴∠AED=30∘，∴AE=2AD=8，∴DE=故答案为：4【点睛】本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．15.【答案】1

【解析】【分析】设▵ABC的内切圆的各切点分别为D、E、F，连接DM，根据三角形内切圆的性质可得出DM⊥BC，根据切线长定理可得出AF=AE，BF=BD，CE=CD.结合题意可求出BD−CD=2，BD+CD=14，从而得出BD=8，CD=6，进而可求出OD=OC−CD=1，即圆心M的横坐标为1．【详解】解：如图，设▵ABC的内切圆的各切点分别为D、E、F，连接DM，∴DM⊥BC，AF=AE，BF=BD，CE=CD．∵AB−AC=2，即AF+BF−∴BF−CE=2，∴BD−CD=2．∵B−7,0，C∴OB=7，OC=7，∴BC=14，即BD+CD=14，∴BD=8，CD=6，∴OD=OC−CD=1，∴圆心M的横坐标为1．故答案为：1．【点睛】本题考查圆内切三角形的性质，切线长定理，坐标与图形．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．16.【答案】0<n≤30或60≤n<90##60≤n<90或0<n≤30

【解析】【分析】当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点(点A、B除外)，则点D必为AB的中点，可得BC≤12AB或AC≤【详解】解：当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点(点A、B除外)，则点D必为AB的中点，∴BC≤CD或AC≤CD．∵CD=1∴BC≤12AB当BC≤1若∠A=30∘，则∴此时∠A≤30∘，即当AC≤1若∠B=30∘，则∴此时∠B≤30∴此时∠A≥60∘，即综上所述，n的取值范围是0<n≤30或60≤n<90．故答案为：0<n≤30或60≤n<90．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．利用分类讨论的思想也是关键．17.【答案】(1)x1=(2)x1

【解析】【分析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：x2∴a=1,b=3,c=−2，∴Δ=b∴x=−b±∴x1=【小问2详解】解：x−12x−12x−12x−1−3x−1x−4x−1∴x−4=0或x−1=0，∴x1=4【点睛】本题考查解一元二次方程．根据方程特点选择合适的方法求解是关键．18.【答案】x1【解析】【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：−x∴−x+m即−x+m=0,x+1=0，解得：x1【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.【答案】证明见解析

【解析】【分析】由平行线的性质和圆内接四边形的性质可求得∠B=∠C，可证得四边形ABCD为等腰梯形，则可证得AB=CD．【详解】∵AD // BC，∴∠A+∠B=180°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∴∠B=∠C，又∵AD // BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD．【点睛】本题主考查了圆内接四边形的对角互补的性质，得出∠B=∠C是解题的关键．20.【答案】见解析

【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2−22mx+∴Δ=−2整理得k=m∴k=m【点睛】本题考查了根的

判别式以及配方法的应用，解题的关键是：牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”．21.【答案】见解析

【解析】【分析】先由切线证明AB⌢=AC⌢，得到∠ABC=∠ACB，再由圆内接四边形得到∠EDA=∠ABC，由圆周角得到【详解】连接AO并延长交BC于F，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE=90∵AE//BC，∴∠OAE=∠AFB=90∘，即∴AB∴∠ABC=∠ACB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EDA=∠ABC，∵∠ACB=∠BDA∴∠EDA=∠ABC=∠ACB=∠BDA，即∠BDA=∠EDA．【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及到垂径定理及其推论、圆内接四边形性质、切线性质、圆周角定理，涉及的知识点比较多但是比较简单，解题的关键是根据切线正确的作出辅助线．22.【答案】(1)见解析

(2)18

【解析】【分析】(1)连接OE，由垂径定理可知OE⊥BC，结合AD是▵ABC的高，可推出AD//OE；再由OA=OE即可求证；(2)连接OB，利用∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可进一步求出∠OAB，再由∠OAD=∠BAD−∠OAB可求∠OAD，结合(1)中结论即可求解．【

小问1详解】证明：连接OE∵E是BC⌢∴OE⊥BC∵AD⊥BC∴AD//OE∴∠DAE=∠OEA∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA∴∠OAE=∠DAE【小问2详解】解：连接OB，如图所示：∵∠BAC=84∘∴∠ACB=∴∠AOB=2∠ACB=∵OA=OB∴∠OAB=∵∠BAD=∴∠OAD=∠BAD−∠OAB=∵∠OAE=∠DAE∴∠OAE=故答案为：18【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理等相关知识点．熟记相关结论，作出正确的辅助线是解题关键．23.【答案】1)48−12x

(2)x

为

1或3

【解析】【分析】(1)将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以2可得DF的长度；(2)将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；【小问1详解】解：∵AG:BG=3:2，BG的长为2x m，∴AG=3xm，∵区域①为正方形，∴AF=FH=GH=3xm，∵区域②和③为矩形，∴BE=GH=3xm，HE=BG=2xm，∴DC=FE=3x+2x=5xm，DF=EC，∴DF=96−3×3x−3×5x【小问2详解】解：由(1)可知：DC=5xm，DF=48−12xm，则区域③的面积为：DC⋅DF=5x48−12x当−60x解得：x1=1，所以当x为1或3时，区域③的面积为180m【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式．24.【答案】该产品的质量档次为第4档次

【解析】【分析】设该产品的质量档次为x(1≤x≤10，且为整数)，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之，再舍去不合题意的解即可．【详解】解：设该产品的质量档次为x(1≤x≤10，且为整数)，根据题意有：6+2x−1整理，得：x2解得：x1=4，x2答：该产品的质量档次为第4档次．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题关键．25.【答案】(1)见解析

(2)25π【解析】【分析】(1)连接CO并延长，交⊙O于点E，连接BE.由直径所对圆周角为直角可得出∠CBE=90∘，即得出∠ABE+∠ABC=90∘；由同弧所对圆周角相等得出∠ABE=∠ACE，从而得出∠ACE+∠ACD=90∘，即(2)在(1)基础上，延长AO并延长交⊙O于点G，设CE与AB交于点F.由平行四边形的性质结合题意可证BC=AC=53.根据外接圆的性质可得出CF⊥AB，AF=BF，∠AOF=∠BOF.设OF=x，BF=y，则CF=5+x，EF=5−x.由勾股定理可求出y2+5+x2=532.又易证▵BFE∽▵CFB，得出EFBF=BFCF，即5−x【小问1详解】证明：如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接BE．∴CE为直径，∴∠CBE=90∴∠ABE+∠ABC=90∵AE∴∠ABE=∠ACE．∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACE+∠ACD=90∴∠ECD=90∘，即∴CD与⊙O相切；【小问2详解】解：如图，在(1)基础上，延长AO并延长交⊙O于点G，设CE与AB交于点F．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ACD=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=5∵⊙O是▵ABC的外接圆，且CE为直径，∴CF⊥AB，∴AF=BF，∠AOF=∠BOF．设OF=x，BF=y，则CF=5+x，EF=5−x．在Rt▵BCF中，BF∴y∵BC∴∠BEF=∠BAC，∴∠BEF=∠CBF．又∵∠BFE=∠CFB=90∴▵BFE∽▵CFB，∴EF∴5−xy=联立y解得：x=2.5，∴OF=2.5，∴OF=1∴∠FAO=30∴∠BOF=∠AOF=60∴∠AOB=120∘∴S扇形AOB=∴∠BOC=120∵OB=OC，∴∠OBG=∠OCG=30∴∠ABC=60∴▵ABC为等边三角形，∴OG=OF=2.5，BG=CF=12BC=∴S∴圆内阴影部分面积=S故答案为：25π3【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识．正确作出辅助线是解题关键．26.【答案】1)见解析

(2)36【解析】【分析】(1)连接CD，由圆内接四边形的性质可得出∠B+∠ADC=180∘，结合∠CDE+∠ADC=180∘，得出∠B=∠CDE.再根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质得出∠CAE+∠E=∠CAE+∠ACD.最后根据等弧对等角可求出(2)画出图形，再连接AF、AO、CO、DO，由(1)可设∠E=∠CAE=∠ACD=x，结合题意分别求出∠EAF=3x，∠AFB=x，再根据三角形内角和定理列出关于x的方程，解出x的值即可求解．【小问1详解】证明：如图，连接CD，∴四边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠B+∠ADC=180∵∠CDE+∠ADC=180∴∠B=∠CDE．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=∠CDE．∵∠ACB=∠CAE+∠E，∠CDE=∠CAE+∠ACD，∴∠CAE+∠E=∠CAE+∠ACD．∵D为弧AC的中点，∴∠CAE=∠ACD，∴∠E=∠CAE，∴AC=CE；【小问2详解】解：画出图形如图，连接AF、AO、CO、D