2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(

)A.打喷嚏捂鼻子 B.喷嚏后慎揉眼

C.戴口罩讲卫生 D.勤洗手勤通风2.据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为(

)A.144×104 B.1.44×106 C.3.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是

(

)A.∠A−∠B=∠C B.a=5，b=12，c=13

4.若[a]表示数a的整数部分，例如[π]=3，则[24]=A.4 B.5 C.6 D.75.下列命题中正确的是(

)A.数轴上的点与实数一一对应 B.无理数是带根号的数

C.无限小数都是无理数 D.零是最小的实数6.将一张长方形纸片折叠，如图所示，若AB=4，BC=3，则AC的长为

(

)

A.3 B.4 C.5 D.67.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC的长是

(

)

A.2 B.3 C.4 D.58.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2DA.122020⋅75° B.129.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是

(

)

A.4 B.3 C.5 D.4.510.如图，点P是∠AOB内一点，OP=m，∠AOB=α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，下列结论：①∠OTQ=90°−α；②α=30°时，△PMN的周长为m；③0<QT<A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④二、填空题（本大题共7小题，共21分）11.364的平方根为____12.在2，−34，0.32，227，π3，(2−1)013.把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是___．14.若二次根式a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围为________．15.如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为_____cm2．

16.如图所示，AB//CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OA=12，OE=5，则AB与CD之间的距离等于____．

17.如图，已知△ABC中，AB=8，BC=10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE=3，则AF=_____三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题8.0分)如图，∠ABC=90°，AE⊥BD，BE=3，AB=BC，则

19.(本小题8.0分)计算：(1)(2)2−120.(本小题8.0分)求下列式子的x的值．(1)4x(2)2(x−1)321.(本小题8.0分)方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．(1)在图1中确定格点C，使△ABC为等腰三角形．(如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C(2)在图2中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC.(不写画法，保留画图痕迹)22.(本小题8.0分)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：(1)试说明a2(2)如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求(a+b)223.(本小题8.0分)如图，在△ABC中，AB<AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G(1)求证：BG=CF；(2)若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．

24.(本小题8.0分)如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD(1)求证：∠A=90°；(2)若AB=8，AD：BD=3：5，求AC的长．

25.(本小题8.0分)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD=AE．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，过E作EF⊥AC于点F．①求证：AF=CD；②若BC=6，AB=10，则线段DE的长为_______．26.(本小题8.0分)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．(1)如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC(AB>BC)，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条内好线，则∠BDC=___________度；(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是ABC的一条内好线；(3)如图3，已知△ABC是内好三角形，且∠A=24°，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为___________(直接写答案)27.(本小题8.0分)已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，解答下列问题：(1)用含t的代数式表示线段AP=______；(2)当t为何值时，点E在∠A(3)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？(4)连接PE，当t=1s时，求四边形APEC的面积．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.【答案】B

【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，【详解】1437000≈1440000=1.44×10故选：B．【点睛】本题主要考查了科学记数法与有效数字，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，要对这个数用科学记数法表示．3.【答案】D

【解析】【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．【详解】解：∵∠A−∠∴∠∴△ABC为直角三角形，故A不符合题意；∵a=5，b=12，c=13，∴a∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；∵(c+b)(c−b)=a即c2∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；∵a=1∴c∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．4.【答案】A

【解析】【分析】根据题意得出4<24【详解】解：∵∴4<∴[故选A．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键．5.【答案】A

【解析】【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意；B、无理数是无限不循环小数，例如π，故B选项错误，不符合题意；C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意；D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键．6.【答案】B

【解析】【分析】延长原长方形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1=∠ABC，从而得到∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边可得AC=AB，从而得解．【详解】解：如图，延长原长方形的边，∵长方形的对边平行，∴∠1=∠ACB，由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=4，∴AC=4．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键，难点在于作出辅助线．7.【答案】C

【解析】【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DF=DE=2，再根据∵S【详解】如图，过D点作DF⊥AC于∵AD平分∠BAC，∴DF=DE=2∵S∴112解得AC=4．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握这一性质是解题的关键．8.【答案】A

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得∠BA1C的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠D【详解】解：∵∠B=30°，∴∠B∵A∴∠D同理得：∠EA3A2一般地，第n个等腰三角形的底角的度数是12∴第2021个等腰三角形的底角度数是12故选：A．【点睛】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．9.【答案】B

【解析】【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，∵△DAB的面积为10，DA=5，∴1∴BC=4，∴CD=故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．10.【答案】D

【解析】【分析】根据轴对称的性质可得OQ=OP=OT=m,∠POA=∠QOA,∠POB=∠TOB，由此可得∠QOT=2α，再根据等腰三角形的性质可得∠OTQ=∠OQT=90°−α，当α=30°时，则∠QOT=2α=60°，根据等边三角形的判定与性质可得QT=OT=m【详解】解：∵点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，∴OA、OB分别垂直平分PQ,PT，∴OQ=OP=OT=m,∠∴∠∵OQ=OT，∴∠OTQ=∠当α=30°时，则∠又∵OQ=OT，∴△OQT为等边三角形，∴QT=OT=m，∵OA、OB分别垂直平分PQ,PT，点M、N分别在OA、OB上，∴PM=QM,PN=TN，∴△PMN的周长=PM+MN+PN=QM+MN+TN=QT=m，故②正确；∵OQ=OT，∴OQ−OT<∴0<QT<如图，∵OA⊥∴∠又∵∠∴∠∴在△PQT中，∠PQT∵PM=QM,PN=TN，∴∠∴∠MPN=∠综上所述，正确的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键．

11.【答案】±2

【解析】【分析】根据立方根的定义可知64的立方根是4，而4的平方根是±2，由此就求出了这个数的平方根．【详解】解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．4的平方根是±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．12.【答案】4

【解析】【分析】根据无理数的概念求解即可．【详解】解：在所列实数中，无理数有2，−34，π3，故答案为：4【点睛】此题要熟记无理数的概念及形式，初中范围内学习的无理数有：π，2π等，开方开不尽的数，以及像0.13.【答案】0.35

【解析】【分析】根据题意“精确到0.01”把千分位上的数字4进行四舍五入即可．【详解】解：把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是0.3549≈0.35．故答案为0.35．【点睛】本题考查近似数和有效数字，明确精确位数，再根据精确位数的后一位四舍五入．14.【答案】a≥1

【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：由题意得：a−1≥0，解得a≥1，故答案为：a≥1．【点睛】跟他考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．15.【答案】152【解析】【分析】过点E作EH⊥BC于点H，由四边形ABCD是长方形和折叠知【详解】解：过点E作EH⊥BC于点过点E作EH⊥BC于点∴∠EHB=90∵四边形ABCD是长方形∴∠A∴四边形ABHE是长方形设BE=xcm由折叠知DE=BE，∴AE=AD−ED=9−x在Rt△ABE中，∴x解得x=5，∴DE=BE=5cm，∵AD/\!/BC，∴∠EFB又∵∠BEF∴∠BEF∴BF=BE=5∴△BEF的面积为12故答案为：15【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．16.【答案】10．

【解析】【分析】过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解．【详解】如图，过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB // CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=5，∴OM=OE=5，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=5，∴MN=OM+ON=10，即AB与CD之间的距离是10．故答案为10．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．17.【答案】275【解析】【分析】过点D作DH⊥BC，根据角平分线的性质得到【详解】解：过点D作DH⊥∵BD平分∠ABC，DH∴DH=DE=3，∵BC=10，∴S∵S∴1∴1∴AF=27故答案为：275【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．18.【答案】92【解析】【分析】过点C作CF⊥BD，交BD延长线于点F，首先证明△ABE≌△BCF(AAS【详解】解：如下图，过点C作CF⊥BD，交BD延长线于点

∵∠ABC=90°，AE∴∠∴∠∵CF⊥∴∠在△ABE和△BCF中，∠∴△ABE≌△BCF(AAS∴CF=BE=3，∴S故答案为：92【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．19.【答案】(1)(2)

【解析】【分析】(1)根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的性质计算即可；(2)根据负指数幂、立方根、绝对值的性质计算即可．【详解】(1)解：原式=3+1−=7(2)解：原式==3【点睛】本题考查了实数的运算，熟知运算法则是解题的关键．

20.【答案】(1)x=±【解析】【分析】(1)根据平方根的性质即可化简求解；(2)根据立方根的性质即可化简求解．【详解】解：(1)4x∴x=(2)2(x−1(x−1x−1=−3∴x=−2．【点睛】此题主要考查平方根、立方根的应用，解题的关键是熟知实数的性质化简各方程求解．21.【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义作出图形即可．(2)取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求．【详解】(1)解：如图，△ABC1，AB=BC1；△ABC2，AC2=B∴C1，C2，C(2)解：如图，点P即为所求．∵△ABR是等边三角形，∴BP是对边AR的中线，垂线，是∠ABC∴点P即为所求．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．22.【答案】(1)证明见解析(2)20

【解析】【分析】(1)根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；(2)由图可得到(b−a)2和2ab的值，代入【详解】(1)证明：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为2ab，小正方形面积为(b−a∴∴c(2)解：由图可知，(b−a)2∴2ab=8，∴∴(a+b)【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确a,b,c与面积的关系．23.【答案】(1)见解析；(2)2．

【解析】【分析】(1)连接DB，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG，即可求证；(2)证明△ADG≌△ADF，再利用线段的和差即可求解．【详解】(1)证明：如图所示，连接DB，∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA∴DF=DG∵DE垂直平分BC∴DC=DB在Rt△CDF与Rt△BDG中DF=DG∴Rt△CDF≌Rt△BDG(HL)，∴BG=CF(2)解：∵∠GAD=∠FAD，∠∴在△ADG与△ADF中∠GAD∴△ADG≌△ADF(AAS)∴AG=AF∵BG=CF∴AC−AB=AF+FC−AB=AF+BG−AG=AF+AG=2AG∴AG=【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键．24.【答案】(1)见解析；(2)AC=4

【解析】【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；(2)首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】(1)证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD=DB，∵BD∴CD∴CD∴△ACD是直角三角形，且∠A=90°；(2)解：∵AB=8，AD：BD=3：5，∴AD=3，BD=5，∴DC=5，∴AC=【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．25.【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②25【解析】【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ADE，然后根据等角的余角相等得到∠DBC=∠ABE，即可证明BD平分∠ABC；(2)①过D作DH⊥AB于H，首先根据角平分线的性质定理得到CD=DH，然后根据同角的余角相等得到∠AEF=∠DAH，利用AAS证明△ADH≌△EAF，根据全等三角形的性质得到AF=DH，即可证明AF=CD；②首先根据勾股定理求出AC的长度，然后证明Rt△BCD≌Rt△BHD(HL)，根据全等三角形对应边相等得到BH=BC=6，设AF=CD=x，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF=CD=3，即可得到DF的长度，最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的长．【详解】(1)证明：如图1，∵AD=AE，∴∠E=∠ADE，∵∠ADE=∠BDC，∴∠E=∠BDC，∵EA⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠E+∠ABE=90°，∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC=∠ABE，∴BD平分∠ABC；(2)①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴CD=DH，∵EA⊥AB，EF⊥AC，∴∠EAB=∠AFE=∠AHD=90°，∴∠AEF+∠EAF=∠EAF+∠DAH=90°，∴∠AEF=∠DAH，在△ADH与△EAF中，∠∴△ADH≌△EAF(AAS)，∴AF=DH，∴AF=CD；②解：∵BC=6，AB=10，∠C=90°，∴AC=∵CD=DH，BD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BHD(HL)，∴BH=BC=6，∴AH=AB−BH=10−6=4，∵△ADH≌△EAF，∴EF=AH=4，设AF=CD=x，∴AE=AD=8−x，∵EF⊥AC，∴AE∴(8−x)∴x=3，∴AF=CD=3，∴DF=AC−AF−CD=8−3−3=2，∴DE=故答案为：2【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识．26.【答案】(1)72(2)证明过程见解析(3)148°或144°或117

【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；(2)只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可；(3)当BD是内好线时，分三种情形讨论，当AD是内好线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为内好线时，不合题意．【详解】(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠∵BD是△ABC的一条内好线，∴△ABD和△BCD是等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°即x+2解得：x=36°∴∠故答案为：72．(2)证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=