新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题（含解析）

专题3-1利用导数解决切线（公切线）问题目录TOC\o"1-1"\h\u 1题型一：“在”型求切线 1题型二：“过”型求切线 5题型三：已知切线条数求参数 9题型四：判断切线条数 13题型五：公切线问题 16题型六：距离最小值 19题型七：等价转化为距离 23 27题型一：“在”型求切线【典型例题】例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，切线的斜率SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：C例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替换SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.【提分秘籍】已知SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程步骤：①求SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，则x＞0时，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，即(1，0)处的切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0﹒故选：C．2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0的图象经过坐标原点，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0的图象经过坐标原点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A.3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点（3，－6）处的切线方程为（

）A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21【答案】D【详解】解：因为函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线的斜率为SKIPIF1<0.所以曲线SKIPIF1<0在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），即y＝－9x＋21.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所求切线方程为：SKIPIF1<0.故选：A题型二：“过”型求切线【典型例题】例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，则切线方程为A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设切点为（m，m3-3m），SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，可得切线斜率k＝3m2-3，由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），代入点SKIPIF1<0可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3，当m=0时，切线方程为SKIPIF1<0，当m=3时，切线方程为SKIPIF1<0，故选A．例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标为______________.【答案】0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0的坐标有SKIPIF1<0，整理为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【提分秘籍】函数SKIPIF1<0图象过点SKIPIF1<0处的切线方程：①设切线坐标SKIPIF1<0，②求出切线方程为SKIPIF1<0，③代入SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，从而得切线方程．【变式演练】1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点SKIPIF1<0的直线与函数SKIPIF1<0的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则切线方程为：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以切点横坐标之和为SKIPIF1<0故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，则切线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，∴切线方程为SKIPIF1<0，∵切线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴−ex0＝ex0(e−x0)，解得：SKIPIF1<0．∴切线方程为SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.故选C.．3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设切点坐标为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入并整理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故切线斜率为SKIPIF1<0．故选：C．4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线方程是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可得点SKIPIF1<0不在曲线SKIPIF1<0上，设切点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，∴所求切线的斜率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0是切点，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，则所求切线的斜率SKIPIF1<0，故所求切线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型三：已知切线条数求参数【典型例题】例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，若过点SKIPIF1<0可以作出三条直线与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设切点坐标为SKIPIF1<0，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过SKIPIF1<0得关于SKIPIF1<0的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为SKIPIF1<0，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得SKIPIF1<0的范围．【详解】设切点坐标SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0切线过点SKIPIF1<0切线斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的三条切线，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有3个解．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0轴有3个交点，SKIPIF1<0的极大值与极小值异号，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或2，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0是极大值，SKIPIF1<0是极小值，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D.例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0三条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设切点为SKIPIF1<0，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点SKIPIF1<0，转化为方程有3个根，构造函数SKIPIF1<0，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在切线上，所以代入切线方程得SKIPIF1<0，则关于t的方程有三个不同的实数根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：A【提分秘籍】过点SKIPIF1<0可做函数SKIPIF1<0的一条（或两条或三条）切线问题步骤：①设切点SKIPIF1<0，求斜率SKIPIF1<0②求切线SKIPIF1<0③将点SKIPIF1<0代入切线SKIPIF1<0方程中得SKIPIF1<0④则问题转化为关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.【变式演练】1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过SKIPIF1<0可做SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设切点为SKIPIF1<0，切线的斜率SKIPIF1<0，则切线方程为：SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，则此方程有大于0的两个实数根．则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：A．2．（2022·辽宁·高二期末）若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设切点坐标为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此切线方程为SKIPIF1<0，又切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，函数定义域是SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个不同的交点，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，结合图像知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的三条切线，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切线的斜率为SKIPIF1<0，又因为切线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大小值SKIPIF1<0，因为过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的三条切线，所以方程SKIPIF1<0有3个解，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D题型四：判断切线条数【典型例题】例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，则可作切线的最多条数是______．【答案】3【详解】∵点SKIPIF1<0不在函数SKIPIF1<0的图象上，∴点SKIPIF1<0不是切点，设切点为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则切线的斜率SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故切线有3条.故答案为：3.【提分秘籍】过点SKIPIF1<0可做函数SKIPIF1<0的几条切线问题步骤：①设切点SKIPIF1<0，求斜率SKIPIF1<0②求切线SKIPIF1<0③将点SKIPIF1<0代入切线SKIPIF1<0方程中得SKIPIF1<0④解出SKIPIF1<0即可判断切线为几条.【变式演练】1．（2022·全国·模拟预测（理））过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，当SKIPIF1<0时，切线的条数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线方程为：SKIPIF1<0；又切线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0图象如下图所示，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个不同的交点，即当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有三个不同的解，SKIPIF1<0切线的条数为SKIPIF1<0条.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，所以在切点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在切线上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的切线的条数为2.故选：C．题型五：公切线问题【典型例题】例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公切线，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象相切于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0的图象相切于点SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0在切线上，得切线方程，进而即得.【详解】设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象相切于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0的图象相切于点SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在切线上，得切线方程为SKIPIF1<0；由点SKIPIF1<0在切线上，得切线方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公切线，则实数SKIPIF1<0的值是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别相切于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求出曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，以及曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，可得出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组，解出这两个量的值，即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别相切于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【提分秘籍】SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公切线问题：①设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0则，求出切线方程SKIPIF1<0②设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0则，求出切线方程SKIPIF1<0③联立两切线求解.【变式演练】1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的公切线，则l的纵截距SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．e D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设l与SKIPIF1<0的切点为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.同理，设l与SKIPIF1<0的切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，所以l为SKIPIF1<0时不成立.故SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的公切线（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0），则实数b=___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0##SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的切点为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.同理，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0由①式两边同时取对数得：SKIPIF1<0，将③代入②中可得：SKIPIF1<0，进而解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0题型六：距离最小值【典型例题】例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象上的动点（其中SKIPIF1<0是自然对数的底数），则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．17【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设与SKIPIF1<0平行且与SKIPIF1<0相切的直线与SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A．【提分秘籍】本例中设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设与SKIPIF1<0平行且与SKIPIF1<0相切的直线与SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0，由导数的几何意义可求出点SKIPIF1<0的坐标，则SKIPIF1<0的最小值转化为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离【变式演练】1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数SKIPIF1<0的图像上，点Q是在直线SKIPIF1<0上，记SKIPIF1<0，则（

）A．M有最小值SKIPIF1<0 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是SKIPIF1<0C．M有最小值SKIPIF1<0 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是SKIPIF1<0【答案】D【详解】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，即直线l的斜率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴当M最小时，点P的坐标为SKIPIF1<0，此时点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以M的最小值为SKIPIF1<0；过点P且垂直于SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即点Q的横坐标为SKIPIF1<0.故选D2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线SKIPIF1<0分别与曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小即SKIPIF1<0最小，即为当过点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行时最小，由曲线SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，可求得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离最小值为SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故选：C3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线SKIPIF1<0上任意一点，则点A到直线SKIPIF1<0的最小距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】不妨设SKIPIF1<0，定义域为：SKIPIF1<0对SKIPIF1<0求导可得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0舍去）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则此时该点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0故选：A4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的点，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】当与直线SKIPIF1<0平行的直线与SKIPIF1<0的图象相切时，切点到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0的最小值.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），又SKIPIF1<0，所以切点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0的最小值，即SKIPIF1<0.故选：A.题型七：等价转化为距离【典型例题】例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的距离的平方；SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值即为SKIPIF1<0上的点与SKIPIF1<0上的点的距离的平方的最小值；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行的曲线SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0且切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点与SKIPIF1<0上的点的最短距离为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离，即最短距离SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B.【提分秘籍】在本例中根据几何意义可知SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的距离的平方，根据点SKIPIF1<0的轨迹方程，可将问题转化为SKIPIF1<0上的点与SKIPIF1<0上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数可求得与SKIPIF1<0平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线SKIPIF1<0距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足：SKIPIF1<0，其中e是自然对数的底数，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【详解】因为实数a，b，c，d满足：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.所以SKIPIF1<0的几何意义就是曲线SKIPIF1<0上的任一点到SKIPIF1<0上的任一点的距离的平方.由几何意义可知，当SKIPIF1<0的某一条切线与SKIPIF1<0平行时，两平行线间距离最小.设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0平行，则有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即切点为SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0就是两曲线间距离的最小值，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0可以转化为：SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的点，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0.当与直线SKIPIF1<0平行且与SKIPIF1<0的图象相切时，切点到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0的最小值.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，（舍去），又SKIPIF1<0，所以切点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0的最小值.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值即为曲线SKIPIF1<0的点到直线SKIPIF1<0的距离最小值的平方，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行的切线相切于SKIPIF1<0，则所求距离的最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的平方，即SKIPIF1<0.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0表示曲线SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0距离.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0平行的直线的斜率为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以切点的坐标为SKIPIF1<0，切点到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．9 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值转化为：SKIPIF1<0上的点与SKIPIF1<0上的点的距离的平方的最小值，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0平行的直线的斜率为1，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，可得切点为SKIPIF1<0，切点到直线SKIPIF1<0之间的距离的平方，即为SKIPIF1<0的最小值，SKIPIF1<0的最小值为：SKIPIF1<0.故选：B.一、单选题1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A．2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数SKIPIF1<0的图像在SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入切线方程可得SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0既是曲线SKIPIF1<0的切线，又是曲线SKIPIF1<0的切线，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0