新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题8-1 立体几何中外接球内切球问题（含解析）

专题8-1立体几何中外接球内切球问题目录TOC\o"1-1"\h\u专题8-1立体几何中外接球内切球问题 1 1题型一：外接球公式法 1题型二：外接球补型法 4题型三：外接球单面定球心法 10题型四：外接球双面定球心法 18题型五：内切球问题 25 34一、单选题 34二、多选题 41三、填空题 45题型一：外接球公式法【典例分析】例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（

）A．24π B．32π C．36π D．48π【答案】C【详解】设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以长方体外接球的半径为SKIPIF1<0，所以外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：因为正方体的棱长为SKIPIF1<0，所以其体对角线为SKIPIF1<0，所以外接球的直径即为SKIPIF1<0，即外接球的半径SKIPIF1<0，所以外接球的体积SKIPIF1<0；故选：D例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，且此长方体的高为2，则球SKIPIF1<0的表面积的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设长方体长和宽分别为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以表面积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立.即球SKIPIF1<0的表面积的最小值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【提分秘籍】①长方体外接球：在长方体SKIPIF1<0中，设一个顶点出发的三条边长分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则长方体外接球半径SKIPIF1<0②正方体外接球：在正方体SKIPIF1<0中，设边长为SKIPIF1<0，则正方体外接球半径SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】长方体外接球直径SKIPIF1<0，所以该长方体外接球的表面积SKIPIF1<0故选：C.2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为__________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】设长方体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0或其补角，由勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含SKIPIF1<0的式子表示）【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型二：外接球补型法【典例分析】例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四面体外接球半径为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱SKIPIF1<0，且对棱中点E，F分别满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可构造长方体使得四面体SKIPIF1<0的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球如下图所示：设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以外接球的半径SKIPIF1<0，即四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，SKIPIF1<0，则长方体的对角线长等于三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0．故选：A例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥的外接球的半径为___________；若SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段SKIPIF1<0的长度的最大值为___________.【答案】

3

SKIPIF1<0【详解】由已知可证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直且长度均为SKIPIF1<0，所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设三棱锥外接球球心为SKIPIF1<0，内切球球心为SKIPIF1<0，内切球与平面SKIPIF1<0的切点为SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点均在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设内切球的半径为SKIPIF1<0，由等体积法：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，将几何体沿截面SKIPIF1<0切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点间距离的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：3；SKIPIF1<0【提分秘籍】①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；【变式演练】1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0三点重合于点SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：由题意知：三棱锥SKIPIF1<0的外接球即为长方体SKIPIF1<0的外接球，如图所示：又因为SKIPIF1<0，所以长方体的体对角线长为SKIPIF1<0，所以外接球的半径为：SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由于三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线SKIPIF1<0即为外接球的直径，所以SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0．故选：D3．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则三棱锥的外接球的体积为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由图可知长方体的长宽高分别为SKIPIF1<0，所以体对角线长SKIPIF1<0，所以外接球的体积等于SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．【答案】50π【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以SKIPIF1<0为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，∴4R2＝50，∴球的表面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题型三：外接球单面定球心法【典例分析】例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该正三棱锥的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设侧棱长为x，且易知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设球心为M，则MP=MA=R，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以表面积SKIPIF1<0，故选：A.例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的体积为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0．【详解】解：如图所示，设底面SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.由正弦定理得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0因为AC⊥平面PAB，SKIPIF1<0平面PAB，所以SKIPIF1<0,所以四边形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0.所以球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0.所以外接球O的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则该几何体的外接球的体积为_________【答案】SKIPIF1<0【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心SKIPIF1<0且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等.在△ABC中,由余弦定理得：SKIPIF1<0.由正弦定理得：SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即该几何体的外接球的半径SKIPIF1<0.所以外接球的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【提分秘籍】①第一步：选定一个底面（如图底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0如图：若SKIPIF1<0为直角三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在斜边的中点上；若SKIPIF1<0为正三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0为普通三角形，则利用正弦定理SKIPIF1<0,确定出SKIPIF1<0的位置②第二步：过点SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂线，如图为SKIPIF1<0，则球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上；③计算：在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求出外接球半径SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当三棱锥体积最大时，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为弦，所对圆周角为SKIPIF1<0的圆上的一段优弧上，如图，易知当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为等边三角形时，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最大为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0不变时，假设SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0点到平面SKIPIF1<0的距离最大为SKIPIF1<0，也即三棱锥SKIPIF1<0的高最大，从而体积最大，此时SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外心，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心在此垂线上，设SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心，如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，设外接球半径为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0和直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，球表面积为SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则它的外接球的表面积为______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】解：三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，由球的性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形SKIPIF1<0的各边长及对角线SKIPIF1<0的长度均为6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半径为______；过点M作四边形SKIPIF1<0外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】空1：由题意知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为等边三角形，取SKIPIF1<0中点E，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接球的球心为O，半径为R，分别取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为平行四边形，由题意可得：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，空2：连SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则H，O，M三点共线，∴SKIPIF1<0，设过M作四边形SKIPIF1<0外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则有：当SKIPIF1<0时，此时截面过球心，SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0，截面的面积最大为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0，截面的面积最小为SKIPIF1<0；故截面面积最大值和最小值之比为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为SKIPIF1<0，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】已知正四棱锥SKIPIF1<0内切球的体积为SKIPIF1<0，设球体的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设正四面体的高为SKIPIF1<0，如图所示，因为球SKIPIF1<0与四棱锥相内切，所以由等体积法得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，设正四棱锥外接球的半径为SKIPIF1<0，外接球的球心为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正四棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0题型四：外接球双面定球心法【典例分析】例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0．如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0轨迹所在平面为SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0的中心分别为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四点共面，由题可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解RtSKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球半径SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圆的半径为SKIPIF1<0，∴截面圆的周长为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0轨迹的周长为SKIPIF1<0．故选：C例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0分别是正三角形SKIPIF1<0和正三角形SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0是该三棱锥外接球的球心，连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为正方形，∴SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，球半径SKIPIF1<0∴外接球体积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【提分秘籍】①第一步：选定一个底面（如图底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0如图：若SKIPIF1<0为直角三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在斜边的中点上；若SKIPIF1<0为正三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0为普通三角形，则利用正弦定理SKIPIF1<0,确定出SKIPIF1<0的位置②第二步：过点SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂线；③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；④第四步：两条垂线的交点为球心SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0.如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0体积为SKIPIF1<0；作SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0轨迹所在平面为SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0的中心分别为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四点共面，由题可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解RtSKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球半径SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圆的半径为SKIPIF1<0，∴截面圆的周长为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0轨迹的周长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形SKIPIF1<0是边长为3的菱形且一个内角为SKIPIF1<0，把等边SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，其外接球半径为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，取SKIPIF1<0中点G，连接SKIPIF1<0当三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．又四边形SKIPIF1<0是边长为3且一个内角为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0为等边三角形所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是边长为3等边三角形，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外接圆圆心，圆的半径为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心，设球的半径为SKIPIF1<0，且此时SKIPIF1<0分别为等边SKIPIF1<0与等边SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0由此得到四边形SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以外接球半径SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，其外接球半径SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·福建·高二期中）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0，如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则三棱锥SKIPIF1<0的体积为___________，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0体积为SKIPIF1<0；作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0轨迹所在平面为SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0的中心分别为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四点共面，由题可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球半径SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圆的半径为SKIPIF1<0，∴截面圆的周长为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0轨迹的周长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.题型五：内切球问题【典例分析】例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0中，侧面与底面所成角的正切值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥，底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为SKIPIF1<0，所以可得正三棱锥的高SKIPIF1<0，侧面的高SKIPIF1<0；设正三棱锥底面中心为SKIPIF1<0，其外接球的半径为SKIPIF1<0，内切球半径为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，正三棱锥的体积SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为SKIPIF1<0，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设圆锥的内切球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设圆锥顶点为SKIPIF1<0，底面圆周上一点为SKIPIF1<0，底面圆心为SKIPIF1<0，内切球球心为SKIPIF1<0，内切球切母线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，底面半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故该圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.故选：A.例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为12，球SKIPIF1<0内切于正四面体SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上关于球心SKIPIF1<0对称的两个点，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，如图1.因为正四面体SKIPIF1<0的棱长为12，所以SKIPIF1<0.设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，如图2.圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0是关于点SKIPIF1<0对称的两个点，且SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当且仅当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切时，等号成立.SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.因为以上取等条件可以同时成立，所以SKIPIF1<0.【提分秘籍】①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心SKIPIF1<0为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径SKIPIF1<0，主要用于多面体内切球问题；例如：在四棱锥SKIPIF1<0中，内切球为球SKIPIF1<0，求球半径SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.【变式演练】1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，底面SKIPIF1<0为矩形.若四棱锥SKIPIF1<0存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，底面SKIPIF1<0为矩形，所以四棱锥SKIPIF1<0的内切球在等边三角形SKIPIF1<0的“正投影”是等边三角形SKIPIF1<0的内切圆，设等边三角形SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以内切球的半径为SKIPIF1<0，其表面积为SKIPIF1<0.故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥顶点为SKIPIF1<0，其轴截面SKIPIF1<0是边长为6的