固体物理重点计算题

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：〔1〕面心立方的正格子基矢〔固体物理学原胞基矢〕：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。〔2〕体心立方的正格子基矢〔固体物理学原胞基矢〕：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。证明：因为，利用，容易证明所以，倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距满足：，其中为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：，由倒格子基矢的定义：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面间距：面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位外表的能量越小，这样的晶面越容易解理。1.9、画出立方晶格〔111〕面、〔100〕面、〔110〕面，并指出〔111〕面与〔100〕面、〔111〕面与〔110〕面的交线的晶向。解：1、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：，(111)面与(100)面的交线的晶向，晶向指数。2、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：，(111)面与(110)面的交线的晶向，晶向指数。2.3、假设一晶体的相互作用能可以表示为试求：〔1〕平衡间距；〔2〕结合能〔单个原子的〕；〔3〕体弹性模量；〔4〕假设取，计算及的值。解：〔1〕求平衡间距r0由，有：结合能：设想把分散的原子〔离子或分子〕结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能〔用w表示〕〔2〕求结合能w〔单个原子的〕题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的根本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即：〔可代入r0值，也可不代入〕〔3〕体弹性模量由体弹性模量公式：〔4〕m=2，n=10，，w=4eV，求α、β①②将，代入①②2.6、bcc和fccNe的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．＜解＞3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能就是各振动模零点能之和。和代入积分有，由于一股晶体德拜温度为~，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比较．3.11、一维复式格子求〔1〕，光学波，声学波。〔2〕相应声子能量是多少电子伏。〔3〕在300k时的平均声子数。〔4〕与相对应的电磁波波长在什么波段。＜解＞〔1〕，〔2〕〔3〕〔4〕5.1、设有一维晶体的电子能带可写成，其中为晶格常数，是电子的质量。试求〔1〕能带宽度；〔2〕电子在波矢k状态的速度；〔3〕带顶和带底的电子有效质量。解：〔1〕=－coska+(2cos2ka－1)]＝(coska－2)2－1当ka＝(2