2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学全真模拟测试(一)( 含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试

全真模拟测试(一)

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角

”条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，=白^而<<<8[等，■=口如5月，则下列结论错误的是

()

A.An«={3}BAul=(LZ31Mc.3{4丛码

2.设复如满顺+“E•，贝依的实部为()

A.0B.1C.-1D.i

3.已知随机变量-1勾=3,则呐=()

A.jB.1C.jD.1

4.若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是

A.gB..C.y/iD.2

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5.函数力（0=211113+◎«＞。，＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+...+f

6.已知函财付二，醴驾mzc，若方程F®=f㈤-54个零点，贝I]■的可

能的值为（）

fill

A.1B..C.D・丁

7.定义在R上的奇函醴C©满足f（Q=O,且对任意的正数a、b9**）,有

理名典V。，则不等黑臂■〈＜»的解集是（）

A.1―+B.（一■＞.一1"）口（3+0）

C.（S+B）D.l）u（Z+®）

8.已知A*C外接圆圆心为Q半径为1血=*+9，」|的网=网，则向量n

在向量度上的投影为（）

A.JKB,^ScC,^KD.-^K

二选择题：本题共4小题，薪小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量*=（即1）,J=（1,—1）.?=（81—2,一“其中m,n均为正数，且

值一切用，下列说法正确的是（）

A.a£=l

B.a'£的夹角为钝角

C.向弱岛方向上的投影嗜

D.2m+n=4

10.已矢c＞0，则（）

AVBX提

C"三DX完

11.,M=AC=2,下述四个结论中正确的是（）

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A.若，为△■耻的重心，则沔+；宏

B.若第为1!助上的一个动点，则噩•婚+曲为定值2

c.若HM魁边上的两个动点，皿—=点，则,福的最小值端

D.已知映内一点，若"=1,g=lfflf+械，贝必+后的最大值为2

12.在棱长为1的正方的UCD-jtaiCiD!中，P为侧阿cq“（不含边界）内的动点，Q

为线段〃上的动点，若直MP与尚心的夹角为49,则下列说法正确的是（）

B.q+致的最小值为1

C.对任意点F,总存在，点Q,便得E>iQJ.eP

D.存在点P,使得直线4四平面31局听成的角为60°

三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有

14.设O是坐标原点，动点P在蛇—十/=1上，点Q在直缚三一N上，且

0.网=2,过点P且垂直B勺直线I过定点.

15.从数字1,2,3,4中任取一个数，记寿，再从13中任取一个整数，记为3则取到

用为数字2的概率是.

16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臊（biena。）.已知在鳖廉

中，Ml1平血MMA=M=K=2，则该鳖犒的外接球与内切球的表面积之和

为____.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数歹阻唁3«i=L%=2,0Vti=3,-20^（・2：2・图切.*=>^«一，

（1）证明：数列国足等比数歹U：

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(2)设♦=看前求数列的前顷和&

18.在AAW中，角4员。所对的边分别为qEc,且满C=4.

(1)求角C的大小：

(2)若值也4=Cts{j4-3+2.求A4K的面积.

19.为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两

人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③

依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已

知在每场比赛中，甲胜乙的概率为:，甲胜丙的概率为:，乙胜丙的概率为;.

(1)求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；

(2)请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？

20.如图，在三棱铺I-MDF，三角形ABC是边长为2的正三角形.

⑴若平面■纥界面BCD,且求证：9DXAC；

⑵若二面角4一而一。的大小为:且仙=3求直线AD与平面BCD所成角的大小.

21.在AMI的，已知〈一铿.4yx叫，A9XK邮于点D,ff加中点，满足

而昱依，点H的轨迹为曲线C.

(1)求曲线©勺方程：

(2)过点M(0l胡直线变曲线酊？驷点，试问以电直径的圆是否恒过定点？若过

定点求出定点，若不过定点说明理由.

22.已知函数代力=亨!(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点

(1,f(1))处的切线与x轴平行.

(1)求k的值和f(x)的单调区间；

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fCO/(x)r>0.jOO<l+rl

⑵设，其中为f(x)的导函数，证明：对任意

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数学答案

1.C

解：因为集合=A=£L23)B={MJ编

所必上=国,，8=1123心@1={45S3={U5

2.A

珈=a+Wgl,则@+。=41+而.+。=汨一4一1€凝，所绡=D,瞬的实部为

0.

3.B。

由二项分布的性质知4P=3,即『工；,所以叼二4神1一力=；.

4.C

设圆半径为r则由平面几何知识，内接正三角形的边长为府r,所以由弧度制定义知，其圆

心角的弧度数是6+r=6故选C.

5.A

由图可知A=2,.=0，T=8,«=y=

・俎=2如江

:周期为T=8,.\f(1)+f(2)+...+f(8)=0,

；.f⑴+f(2)+f(3)+...+f(2018)=252.[f(1)+f(2)+f(3)+...+f(8)]+f⑴+f(2)=0+2s畤

+2年+2.

6.B

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所时9=||h<2er)Lr：12.

好。)=网一皿=°，得用=皿

依题意，修)的图象与m="的图象有四个不同的交点，画LI西)和而="的图象如

下图所示.

由图可知，要便/口)的图象与向="的图象有四个不同的交点，吟42%)

艮C；；=»0<・W四个选项中只有B选项符合.

另外注意：当,fW=；>fW=i，所以的切

线方程为/一i=;任一•)，即故此时切线方程过原点.也即a=M与烟只有四个

公共点，不符合题意.

娟：B

7.C

...对任意的正数a,b«*i),油次为(正

••.函麴制施电十■比单调递减，”

..曲在《71》：单调递减.

Xra=o/(-i)=-/W=o

领=工一2

所以不等式?等价儡:。或1第。

.*>1或*<一］

zx—2>Iggz—2<—1,

.工工<1,

即不等式的解集为(―I)U0.+«■)

8.D

rt2Zfl=n+Z?知：。刃IT中点，

又。yA接圆圆心，・；pJ|=回同=阳?|=1s，ABXJlC>

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「即1=1蔚工商二遍=皿日=^=］二|3^|^7—？

门向mJ在向量的投影为一手，爵=•

邂D.

9.AD

i-J=2x1+1x(-1)=1,故A正确；

•.彳­73>0,.••W%的夹角不是钝角，故B错误；

向国在片方向上的投影为|HP4旅

*—4=(1,2),:口一育.I，

.".-n-2(m-2)=0,；.2m+n=4,故D正确.

蝇AD.

10.BC

解：对于A,T«<6<0,C>0,

艮故A错误，

对于B,丁■«♦<<>,c>0,o

TC>0

a3V最，故B正确，

对于C,T,<><0,r>0,

品:一三故c正确，

对于D,T«O<0,c>0,

△d即一—6»>0,

*髭故D错误•

i»BC.

11.AC

如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,

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贝馒㈣金山盟012＞加=(2^配=@12),因明加底的重心，所函G》，则

*=职)

所以A®+yc=仔《。)+(矶3=G"3所以*=*4才+5％故A正确；

则。=盛+即=R+比=五+a-^3f,则

4*2^=^£3^+(1—'04^,(7ft

=tfflJ-ai+tpHJ|1+Cl-t)P^1+Cl-0^-jtf=4t+4Cl-^=4-,故B错误；

不妨设M靠近B,|inf|=xU)£X£^,得

11(?一壶生)占卜一式"m贺"何)=。一?+TZ)

则用.面=@一条＞(1一字今平条.(1+34=-—4+2,幺=学寸，

川•一的最小值为，故C正确；

由"三皿+同，且P为&▲»内-点，BP=1,则

画=同一R|=|(1—1诩+时=J«u_1旷4•娟=1,即a-1尸4■一=J

令l-』=|dnftF=：E6wG.,,则

L+%=J(V3OH«-川4-1=tn(■+?+1

因9名O则・+产售•1守,所以UDB(,十》七(一上今今

所以1十%的范围是G,11与今，故D错误.

械：AC

12.ABC

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建立如上图所示的空间直角坐标系。一种，根据题意，可得：训口财，

MUU9磔⑪）DiCOftf）,CUU）iiCLU）QW）

设点gLq）QC卬力■〃），由直线&P与的夹角为铮；则有：

1X^-1＞班二（oaq

故有：工尸或嘉

解得:M一炉

Q为线段上的动点，则有：砚=卬（011£1）

解得：

对选项息则有：研=」值_球+出一炉+工=”,故选项A正确;

对选礴，过点。（乍平面&0的垂线，垂足为K

易知：?@闻=1-QV（由于小比4%=卷=y）

故的最小值等价于叫P-QT+1

■O

画=1

M="一1-31+a-/+at-必*

la1a1

故有：|?^|=ci-i-i1）+（i-i）+Cl-l-^/＞（*-i）=|S|

当且仅当收=4=1一&寸成立，结合（电-1产十%-i）a=i,可得此时工=?

故选项“正确；

对选项（：若依1_0?则有：网二。一4a-9，T=（取0.唠

=4尊一》一向工=0,乂——1）14•出一l）a=1

则有：妗句肛。岛-?居+[=。

则有：&=-含

乂则有:■=蕾厂2）1-。装?+】）=■黑之0,故对任意点P,总存在

点@便得&QJ.b故选项研确；

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对选礴，易知平面屹乂的法向量在=(OJLfl),若直线41呜平面MQA所成的角为

MP,即直脑？与平面如%*的法向量成则有:*蕉

解得：?=a，矛盾，故选和错误.

故选：ABC

13.141

利用间接法，用总的情况减去共面的情况，总的情况数以共面的情况①四点均在侧面

上，4x4；②三点在一条棱上，第四点在该棱的对棱中点，共有6个中点，即6种情况；

③四点均为中点，有3种情况；综上，-3=141.

14(-诃

0同=2,可得：

■中・(一2一人七-10=«(-2-■)+■&—^=-n？-2m+it-^=2

0+，=1,所M-2n=2+«*+—=3,即*=3+2・，

可得t第0则过点P且垂直于g)直线I为：

R|盯一t*=2z—2IB,

所以b一三一2n=Nr-Z!・，B|ty-3=2x,

也口l*=1,一;，

所以直线।过定，点

故答案为：

110

15.而

解：设事件船示“取到的叨数字1"，事件除示“取到的明数字2”，事件C表示“取到的・为

数字3"，事件曝示“取到的物数字4"，事件除示“取到的两数字2”.

贝厚⑷=ng==s==;

由条件概率易得呐4=0呐/4呐

由全概率公式，可得

9=.呐+皿吸刖+网£)?(8]£)+刖用蹲=；(0+如尹9=言

故答案为：言

16.24K-

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M-ABC四个面都为直角三角形，MA，平面ABC,MA=AB=BC=2,

.•.三角形的AC=温，

从而可得MC=2^S.

那么ABC内接球的半径r：可得（0Ir）2H2+（2-以）2

解得：r=2^ff

•••△ABC时等腰直角三角形，

...外接圆的半径为

外接球的球心到平面ABC的距离瑞=1.

可得外接球的半径R出.

故得：外接球表面积为1&.

由已知，设内切球半径为r：

&IMB=-X2X2=2

2xx（2^+2♦2+Z传■T1

AF=点一1

内切球表面积为£=占*=ta（^-lja=（12-S^«

外接球与内切球的表面积之和为MB-

故答案为：2—一卜区.

点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的

位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成

的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶

点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直

线的交点，就是其外接球的球心.

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17.

⑴证明：因为一、依之入・£改，

，|1=3，111>\|=0

工;jf=~Jf=

又■=■一一，所以数列供*以1为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知^=lx2*^=2*^,T<*=ffcJijr=

工9+。+.好心=雪(1一3十&一3十仑一》十一

18.

(1)

解：由crinA=・》C及正弦定理可得疝MsWT=bnAtnir

?jfE(OL^.P!i]riiiA>0,卡^tnE=0，Mnf=1

?CE(OI^I,因此，c=J.

(2)

解：T5/3rin4=<XK^V4-^+2=OB(K-X)+2=2—axJ

所以，岛IU+W=2,即&1«1(4.3=2,tiP£ta(A+g=l

旬，贝*<4+.<?工，+：=；，则”=；,

由正弦定理可得言=±,贝以=言=娄=2*

did=riiiU+C)=rintaxC+a^AtaC=

因此，£▲—=标&118=拄&/?,咛^=6+20

19.

(1)设事件以，甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：

第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行

第四场比赛；

第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行

第四场比赛；

故所求概WO=：x(l_mx；+(l_§x(l_§x；=：,

所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率亨备；

(2)设事件准示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件限示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件C

表示乙与丙先赛且甲获得冠军，

贝国中泻x("。4号中K

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pq畤中(—9*(1得q+GT申沁■言

因哈＞言＞3

所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.

20.

(1)

因为平面上1平面BCD,平面IBtn平面配D=附，

因为题仁平面BCD,所度BJ•平面ABC,

又面ABC,所以HDlJir.

(2)

过点A作■，华面BCD于点O,取BC的中点E,连接OD,OE,AE.

因为三角形ABC是正三角形，点E为BC中点，所他■«!：.

因为M呼面