2.5　等腰三角形的轴对称性（3）（分层练习）解析版

2.5等腰三角形的轴对称性（3）分层练习考查题型一等腰三角形的判定和性质综合运用1.(2023·山东省淄博市·期末考试)如图，已知OC平分∠AOB，CD/​/OB，若OD=3cm，则CD等于(

)

A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm【答案】A

【解析】解：∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC；

又∵CD/​/OB，∴∠C=BOC，

∴∠C=∠AOC；

∴CD=OD=3cm．

故选A．2.(2023·江西省抚州市·期末考试)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，ED/​/BC交AB于点E，下列四个结论：

①∠BDE=36°；

②点D在AB的垂直平分线上；

③图中共有5个等腰三角形；

④△AED≌△BCD；

其中正确的结论有(

)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A

【解析】解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12×(180°-∠A)=12×(180°-36°)=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵DE/​/BC，

∴∠BDE=∠CBD=36°，所以①正确；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴DA=DB，

∴点D在AB的垂直平分线上，所以②正确；

∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∵DE/​/BC，

∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠ACB=72°，

∴∠AED=∠ADE，

∴AE=AD，

∴△ADE、△ABC、△BDE、△ADB、△BCD都是等腰三角形，所以③正确；

在△AED和△BCD中，

∠A=∠CBDAD=BD∠ADE=∠C，

∴△AED≌△BCD(ASA)，所以④正确．

故选：A．

3.(2023·河南省安阳市·期末考试)如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE/​/BC，分别交AB，AC于点D，E，那么有下列结论：

①BD=CE；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周长等于△BDF与△CEF的周长之和；

④△BDF，【答案】②④【解析】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE/​/BC，

∴∠DBF=∠CBF=∠DFB，∠ECF=∠BCF=∠EFC，

∴BD=DF，EF=EC，

∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，

∴DE=DF+EF=BD+EC

故②④正确；①错误；

∵△ADE的周长等于AD+DE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC，△BDF与△CEF的周长之和为BD+DF+BF+EF+EC+CF=2BD+BF+2EC+CF≠AB+AC，故③错误；

∵∠ADE=∠BFD+∠BDF≠∠BFD+∠CFE，故⑤错误；

故答案为：②④．

4.(2023·浙江省杭州市·模拟题)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为边BC上一点，且AB=BD，过点D作BC的垂线交AC于点E．(1)求证：AE=DE；(2)当∠ABC=2∠C时，求证：AB=CD．【解析】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，

BE=BEAB=DB，

∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，

∴AE=DE．

(2)证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，

∴∠ABE=∠DBE，

∴∠ABC=2∠DBE，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠DBE=∠C，

∴CE=BE，

∵ED⊥BC，

∴CD=BD，

又∵AB=BD，

∴AB=CD．

5.(2023·北京市市辖区·专项测试)如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于点O．(1)OB与OC相等吗？请说明你的理由；(2)连接AO，AO的延长线交BC于点F，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由．【解析】(1)解：

OB=OC

，理由如下：∵

AB=AC

，∴

∠ABC=∠ACB

，∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴

∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠∴

∠OBC=∠OCB，∴

OB=OC

；(2)解：

AF⊥BC

，理由如下：∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴点O是

△ABC

三条角平分线的交点，∴

AF

平分

∠BAC

，又∵

AB=AC

，∴

AF⊥BC

．6.(2023·山西省太原市·月考试卷)(1)操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；(要求用两种不同的分割方法)

(2)分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；(3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？(请你至少写出两个条件，无需证明)【解析】解：(1)如图所示：

(2)设分割线为AD，相应的角度如图所示：

图1的最大角=39°+78°=117°，图2的最大角=24°+180°-2×48°=108°，

图3的最大角=24°+66°=90°，图4的最大角=84°，

故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；

(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：

①该三角形是直角三角形；

②该三角形有一个角是最小角的2倍；

③该三角形有一个角是最小角的3倍．

考查题型二直角三角形斜边上中线的性质1．（2023春·全国·八年级期中）如图所示，等腰直角三角尺ABC斜边紧贴木板边缘，点O是AB的中点，AB=8，则点O与直角顶点C之间的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，AB=8，∴OC=1故选：C．2．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（

）A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大【答案】B【解析】∵∠AOB=90°，点M为梯子AB的中点，∴OM=1当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，∵CD=AB，∠COD=90°，∴OM=1∴滑动过程中OM不变，故选：B3．（2022秋·浙江·八年级期中）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（（1）∠ACD=∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；（3）点E在线段AC的垂直平分线上．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE∴AE=CE=EB，∠A+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACE=90°，∴∠A=∠ACE，∴∠ACD=∠ECB，故（1）正确；∵AE=CE∴点E在线段AC的垂直平分线上，故（3）正确；∵不能得出CE=CB，∴（2）错误；故选：B．4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形ABCD是倍长对角线四边形，且∠BAD=∠BCD=90°，四边形ABCD中最小的内角的度数是．【答案】30°【解析】解：如图，在BD上取中点E，连接AE、CE．∵∠BAD=∠BCD=90°∴AE=12BD，CE=12又∵AC=12BD∴AE=AC=EC，即△AEC为等边三角形，所以∠AEC=60°，又∵AE=BE=CE，∴∠ABE=∠BAE=12∠AED，∠BCE=∠CBE=12∠∴∠ABC=12∠AEC=30°故答案为：30°．5．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图1，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°．求证BC=1①补全证明过程．证明：如图2，取AB中点D，连接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴______；∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD为______三角形．∴BC=BD=1②请用文字概括①所证明的命题：____________．【解析】解：①补全证明过程如下：证明：如图2，取AB中点D，连接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴CD=1∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD为等边三角形．∴BC=BD=1故答案为：CD=12AB；等边；在直角三角形中，如果一个锐角等于6．（2021秋·八年级课时练习）如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC是该装置侧面图，∠ACB=90°,∠B=15°，为了加固斜面，在斜面AB的中点D处连接一条支撑杆CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB长和∠ADC的度数；（2）该同学想用彩纸包裹实验装置中的△ABC的表面，请你计算△ABC的面积．【解析】（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠DCB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DCB+∠B=2∠B=2×15°=30°；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ADC=30°，∴CE=1∴S△ABC7．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC．（1）判断△OCD的形状；（2）求∠COD的度数；（3）若CO＝2，求△OCD的面积．【解析】解：（1）∵△ABC和△ABD都是直角三角形且斜边AB重合，O为AB的中点，∴OC=OD=12AB∴△OCD为等腰三角形；（2）等腰直角△ABC中，AC=BC，O为AB的中点，∴CO⊥AB，即∠AOC=90°，直角△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=60°，由（1）OD=12AB=OA∴△AOD是等边三角形，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+60°=150°；（3）过点C作CG⊥DO并交DO延长线于点G，则∠COG=180°-∠COD=30°，OC=OD=2，∴CG=12OC=1∴△OCD的面积=12OD×CG=1（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=1（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系．

【解析】证明：（1）延长CD至E，使DE=CD，连接AE，

∵在△ADE和△BDC中AD=BD∴△ADE∴∠DAE=∠B，AE=BC∵在Rt△ABC中，∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵在Rt△CAE和