2.9 有理数的乘方（解析版）

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）2.9有理数的乘方题型导航有有理数的乘方有理数的乘方运算题型1有理数的乘方运算有理数乘方的逆运算题型2有理数乘方的逆运算乘方运算的符号规律题型3乘方运算的符号规律有理数乘方的应用题型4有理数乘方的应用题型变式【题型1】有理数否乘方运算1．（2021·甘肃·模拟预测）（﹣2）2＝（）A． B． C．4 D．﹣4【答案】C【分析】直接运用有理数的乘方运算法则进行计算即可．【详解】原式＝4，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘方的运算法则．【变式1-1】2．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：（－1）2021+12021=_______．【答案】0【分析】根据“-1的奇数次幂是-1”，“1的任何次幂都是1”即可进行计算．【详解】∵（－1）2021=-1，12021=1，∴（－1）2021+12021=-1+1=0，故答案为：0．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握“-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1”是解题关键．【题型2】有理数乘方运算的逆运算1．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（）A．9 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据乘方的逆运算进行计算．【详解】解：原式=故选B【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．【变式2-1】2．（2021·湖北十堰·七年级阶段练习）若，则的值是(

)．A．-l B．O C．1 D．2021【答案】A【分析】利用非负数的性质，分别求出a与b的值，带入即可求出．【详解】解：由题意得：a−2=0，b−1=0，解得a=2，b=1，所以(b−a)2021=(1−2)2021=(−1)2021=−1．故选：A．【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的概念，以及负数的奇次指数幂为负数，偶次幂为正数．整数指数幂与绝对值的值是非负数，由题干中两个式子相加为0可知，两个式子本身都为0，熟练掌握是解决问题的关键．【题型3】乘方运算的符号规律1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．【详解】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；一定是正数；x2+2一定是正数；|x+2|不一定是正数；所以值一定是正数的有2个，故选：B．【点睛】本题考查了非负数，绝对值．掌握非负数的性质是解题的关键．【变式3-1】2．（2021·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）若，则的值是（

）A．－2 B．－3 C．2 D．3【答案】C【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵，∴x−2＝0，3y＋2＝0，解得：x＝2，y＝，∴．故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【题型4】有理数乘方的应用1．（2022·江苏·七年级专题练习）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，则M的正因数中共有完全立方数（）个．A．468 B．684 C．846 D．648【答案】A【分析】先把原式化为M＝238×317×57×74，然后分别讨论238，317，57，74含有的立方数约数，最后求出M含有立方数约数，即可求解．【详解】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10！，∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，所以238含有的立方数约数有1、23、26…236共13个，317含有的立方数约数有1、33、36…315共6个，57含有的立方数约数有1、53、56共3个，74含有的立方数约数有1、73共2个，所以M含有立方数约数为13×6×3×2＝468，故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方数的问题，解题的关键是把M分解为M＝238×317×57×74的形式．【变式4-1】2．（2021·全国·七年级期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝_____．【答案】﹣1或﹣5【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，确定x、y的值，再代入计算即可求解．【详解】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y＜0，也就是x＜y，∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，当x=﹣2，y=3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x=2，y=3时，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，综上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5．故答案为：﹣1或﹣5．【点睛】本题考查了有理数的减法，有理数的乘方，绝对值的性质，判断出x、y的对应情况是解题的关键．专项训练一．选择题1．（2022·广东·中考真题）计算的结果是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用乘方的意义计算即可．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．2．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．【详解】解：A、，结果为正数，故该选项不符合题意；B、，结果为正数，故该选项不符合题意；C、，结果为负数，故该选项符合题意；D、，结果为正数，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2021次输出的结果为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．【详解】第1次输出的结果为：15+3＝18，第2次输出的结果为：×18＝9，第3次输出的结果为：9+3＝12，第4次输出的结果为：×12＝6，第5次输出的结果为：×6＝3，第6次输出的结果为：3+3＝6，第7次输出的结果为：×6＝3，第8次输出的结果为：3+3＝6，第9次输出的结果为：×6＝3，…，从第4次开始，以6，3依次循环，并且第n次(n＞3)时，如果n-3为偶数，则输出结果为3，如果n-3为奇数，则输出结果为6，∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，∴第2021次输出的结果为3．故选：A．【点睛】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（

）A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确【答案】B【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．【详解】解：由三组数的运算得：，，，归纳类推得：当时，，式子①错误；由三组数的运算得：，，，归纳类推得：当时，，式子②正确；故选：B．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．5．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．【详解】解：，==，=，=，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．二、填空题6．（2022·全国·七年级课时练习）已知有理数x、y满足，则代数式的值为______．【答案】1【分析】利用绝对值及平方的非负性先求出x、y值，再代入即可．【详解】解：∵，且，∴，，即：，，解得：，，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查的是绝对值及平方的非负性求值，属于初中常考题型，掌握其解题步骤是解题的关键．7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．【答案】-1【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵∣x＋3∣＋(y－2)=0，∴x+3=0，y-2=0，∴x=-3，y=2，∴==-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．8．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.【答案】

-7

-81【分析】直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式=0-7=-7；（2）-81×（-）×（-）=-81；【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.9．（2022·甘肃武威·七年级期末）若有理数等于它的倒数，则________．【答案】1【分析】根据倒数的定义可得到，然后依据偶次方的性质求解即可．【详解】由题意，得或．当时，；当时，．综上，．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了倒数的定义、有理数的乘方，依据倒数的定义求得a的值是解题的关键．10．（2021·全国·课时练习）下列说法：①有理数除了正数，就是负数；②相反数大于本身的数是负数；③立方等于本身的数是；④若，则其中正确的有：_______（填序号）．【答案】②【分析】据有理数的概念和乘方运算逐个检查，找出正确说法作答．【详解】对于①，有理数除了正数和负数之外还有0，故①错误；对于②，负数的相反数是正数，正数大于负数，故②正确；对于③，由，，得立方等于本身的数不只有，故③错误；对于④，由，但，得④错误．故答案为：②．【点睛】此题考查有理数的分类，相反数的意义，乘方的意义和绝对值的性质．其关键是要对相关知识的熟练掌握．11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．【答案】8【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．【详解】因为，，，，，，…，所以个位数字是以为一循环，且，又因为，，所以的结果的个位数字是8，故答案为：8．【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．12．（2022·全国·七年级课时练习）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．【答案】

－1

1【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．【详解】∵，∴即∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，∴∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；故答案为：-1,1【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．三、解答题13．（2022·江苏·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成个细胞；（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成个细胞；（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后可分裂成个细胞．【答案】（1）16；（2）64；（3）【分析】（1）由题意可知该细胞分裂呈指数增长，因此写出表达式求解即可；（2）结合（1）的结论，以及3小时对应6个30分钟，求解即可；（3）仿照（2）的过程求解即可．【详解】解：由题意，第个30分钟后，细胞分裂为个，（1）第四个30分钟后可分裂成个，故答案为：16；（2）3小时即为6个30分钟，则经过3小时后可分裂成个，故答案为：64；（3）（为正整数）小时即为个30分钟，则经过小时后可分裂成个，故答案为：．【点睛】本题考查有理数乘方运算的应用，理解题意，准确总结出一般规律是解题关键．14．（2022·全国·七年级专题练习）计算：（1）与；（2）与．【答案】（1）256；-256；（2）．【分析】（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．【详解】解：（1）．（2）．【点睛】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．15．（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的集合内、、、、、、（每两个1之间一次多一个0）、正分数集合：{…}非负整数集合：{…}正有理数集合：{…}．【答案】、；、、；、、、【分析】根据有理数的有关分类，求解即可．【详解】解：，，∴、为正分数、、为非负整数、、、为正有理数故答案为：、；、、；、、、【点睛】此题考查了有理数的有关分类，涉及了乘方、相反数和绝对值的求解，解题的关键是掌握有理数的有关分类．16．（2022·全国·七年级）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．【答案】13【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可求出值．【详解】解：原式＝4+10﹣1＝14﹣1＝13．【点睛】本题考查有理数的乘方、有理数的加减法、绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．17．（2022·全国·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，．(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．【答案】(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−(2)在数轴上表示见解析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）【分析】（1）根据正有理数，分数的意义判断即可．（2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答．(1)解：∵，，，，∴正有理数是-（-2.5），（-1）2