【数学】河北省沧州市沧州部分高中2024届高三上学期期中试题（解析版）

河北省沧州市沧州部分高中2024届高三上学期期中数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，因此，.故选：C.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】复数满足，则，所以，的虚部为.故选：A.3.等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）A.5 B.10 C.20 D.40【答案】C【解析】是等比数列，则，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．故选：C．4.已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（）A.9 B.15 C.17 D.33【答案】C【解析】因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使由方程，得，则，所以设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C.5.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．6.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，因为与的面积之比为2，则，当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；当点与点重合时，可得，此时，即，此时为最大值为，所以的取值范围为.故选：C.7.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】构造，则在上显然递增，由得，即，，，令，则，由得，递增，由得，递减，，．故选：B．8.已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由函数的一个对称中心为，可得，则，解得，因为，所以，所以，所以当，因为在上单调递减，则，解得，结合选项，只有A选项，符合题意.故选：A二、选择题9.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若，则△ABC一定是等边三角形B.若，则△ABC一定是等腰三角形C.是成立的充要条件D.若，则△ABC一定是锐角三角形【答案】AC【解析】对于A，由正弦定理可得，故，而为三角形内角，故，故三角形为等边三角形，故A正确.对于B，由正弦定理可得，故，故或，而，故或即或，故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.对于C，等价于，而后者等价于，即，其中为三角形外接圆半径，故的充要条件为，故C正确.对于D，由可得，故为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.故选：AC.10.若函数，则（）A. B.有两个极值点C.曲线的切线的斜率可以为 D.点是曲线的对称中心【答案】BD【解析】选项A，由题意得，所以，解得，A错误；选项B，由，则，，由得，或，则当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，则当时，有极大值；当时，有极小值.所以有两个极值点，B正确；选项C，，所以曲线的切线的斜率不可能为，C错误；选项D，因为,所以点是曲线的对称中心，D正确.故选：BD.11.已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A. B..C. D.【答案】ACD【解析】由得：，，关于中心对称，则，为奇函数，，左右求导得：，，为偶函数，图象关于轴对称，，是周期为的周期函数，，C正确；，，又，，A正确；令，则，，又，，，即，D正确；，，设，则，，又为奇函数，，，即，B错误.故选：ACD.12.已知函数，则（）A.是的极大值点B.有且只有1个零点C.存在正实数，使得对于任意成立D.若，，则【答案】BD【解析】，定义域为，，所以在区间上，单调递减；在区间上，单调递增.所以是的极小值点，A选项错误.设，所以在上单调递减，，所以存在唯一零点，且，B选项正确.C选项，由对于任意成立，即对于任意成立，构造函数，令，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，没有最小值，且，所以不存在正实数，使得恒成立，所以C选项错误.D选项，令，则，令，，所以在上单调递减，则，则，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，成立，所以D选项正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.已知是定义在R上的可导函数，若，则______.【答案】【解析】由导数的定义，可得.故答案为：14.已知等比数列前项和（其中.则的最小值是__________.【答案】4【解析】因为等比数列{an}前n项和，∴，，∴，，又，∴，即，，∴，当且仅当时取等号.故答案为：4.15.定义在上的可导函数满足：且，则的解集为______.【答案】【解析】根据题意，由，可得，设，可得，则在上单调递减，又由，可得，当时，可得；当时，可得，当时，不等式的解集与的解集相同，所以不等式的解集为.故答案为：.16.已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】由，可得，则，可得，即，因为任意，存在，满足，是值域的子集，因为，可得，则，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题17.已知函数（1）的单调区间.（2）求函数在区间上的最大、最小值.解：（1）函数定义域为，，当时，，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增.综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）可知函数在上单调递增，故在处取最小值为，在处取最大值为.18.已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：（1）求角A的大小；（2）求边中线长的最小值.解：（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，.，即，又，所以.（2）由（1）知，，的面积为，所以，解得.由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值为.19.已知数列满足：.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，，①，②①-②得，，当时，满足通项公式，，.（2），，.20.已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求整数a的最大值．解：（1）若，则，，则切点坐标为，，则切线斜率，所以切线方程为，即．（2）由，得，当时，，；当时，，设，，设，，则在单调递增，，，所以存在使得，即．时，，即；时，，即，则有在单调递减，在单调递增，，所以，因为，所以，所以整数a的最大值为4．21.已知函数有两个不同的零点，.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为.令，得，令，则，令，可得，当时，；当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，当x趋近于0时，y趋近于；当x趋近于时，y趋近于，所以.（2），两式相减，得令，则，故，记，则，构造函数，，所以在上递减，由于，所以当时，，所以，所以函数在区间上单调递减，故，即，而，在区间上单调递减，故，即.22.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.（1）解：因为，故可得当时，方程的，故因式在区间恒为负数，故时，恒