高中数学 球与几何体的切接联谊

球与几何体的切接联谊时间：60分钟满分：112分命卷人：张曙光审核人：一、选择题（每小题5分，共15小题75分）1.某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A.2π B.4π C.5π 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为2​,2​,1的长方体，所以该几何体的外接球O的半径R​2.如上右图是某几何体的三视图,则该几何体的内切球的表面积为()A.π B.2π

C.4π 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体,正四面体的棱长为23​,设内切球的半径为r,正四面体的体积为​V1,则​V1​=​13​×(3.如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A.12 B.1

C.2 D.【答案】C【解析】由三视图知，该几何体为四棱锥P​-​ABCD，如图所示，设其内切球的半径为r，所以​VP​-​ABCD​=​134.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.1133 B.35

C.1043 【答案】C【解析】由题意得，该几何体为三棱柱被切去了两个三棱锥构成的几何体，如下图所示，故所求几何体的体积V​=​125.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的外接球的表面积为41π4,则该几何体的体积为A.43 B.83 C.22​【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥P​-​ABCD,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PBC垂直于底面ABCD,ΔPBC为等腰三角形.设BC的中点为F,四边形ABCD的中心为点H,连接PF,FH,过点H作平面ABCD的垂线,则球心在该直线上,记为点O,过点O作OE​⊥PF于点E,连接OP.设四棱锥P​-​ABCD的外接球的半径为R,由其表面积为41π4,得4π​R2​=​41π4,解得​R2​=​4116.设OH​=​x,则在直角三角形OHB中,有​x2​+​2​=​​R2,解得6.如图,是某几何体的三视图,该几何体的轴截面的面积为6,则该几何体的外接球的表面积为()A.653π B.654π

C.【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个圆台,圆台的上底半径为1,下底半径为2,设圆台的高为h,则轴截面的面积为S​=​(2​+​4)h2​=​6,∴h​=​2,设圆台的外接球的半径为R,则由题意得,​R2​-​​12​+​​R7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()A.20π B.16π

C.122【答案】A【解析】根据几何体的三视图,可知该几何体是一个四棱锥如图:该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为23​,2,2,故几何体的外接球半径R满足:4​R2​=​4​+​4​+​12​=​20,解得:R8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.24π B.6π

C.4π【答案】B【解析】这个几何体是一个三棱锥，是一个棱长为2​的正方体的一部分，外接球的半径是正方体的体对角线的一半等于6​2，外接球的表面积9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（）A.2​π3 B.2​π

【答案】A【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成的，四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为2​2，∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径为四棱锥底面的对角线长2​，∴外接球体积10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.25π B.26π

C.32π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，如图，由勾股定理可得CD​=​2,由正弦定理可得底面外接圆直径设球半径为R，则由勾股定理得4​R2​=​A11.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.12 B.3​16

C.17【答案】D【解析】如图所示，直观图为三棱锥P​-​ABC，AB​⊥BC，平面PAC​⊥平面ABC，过P作PD​⊥AC于D，则D是AC的中点，PD​⊥平面ABC，则外接球球心O在线段PD上.由三视图得PD​=​​52​​​-​312.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（）A.3:1 B.1:3

C.4:1 D.3:2【答案】B【解析】由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2​正方形，高为1，球心在高的延长线上，球心到底面的距离为h，所以h​+​1​​2​-​​h2​=​1，所以h​=​0，故此几何体外接球的半径为1球的体积413.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为()A.10002​π B.200π

C.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，其底面为两直角边分别为6和8的直角三角形、高为10，所以该棱柱外接球的球心为上下两底面斜边中点连线的中点，所以外接球的半径为12​6214.已知某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等边三角形,若该几何体的体积为163​3,则该几何体的最长棱A.25​ B.32​

C.【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥P​-​ABCD,顶点P在底面的射影O是底面矩形的长边CD的中点,连接AO,BO,由侧视图知PO​=​23​,又ΔPCD为等边三角形,所以DO​=​CO​=​2,PC​=​4,15.已知某几何体的三视图如图所示(小正方形的边长为1),则该几何体的外接球的表面积为()A.3449π B.2729π

C.【答案】A【解析】根据题中所给的三视图,可以将几何体还原,可以得到该几何体是由正方体切割而成的,记正方体是ABCD​-​​A1​B1​C1​D1,则记AB的中点为E,CD中点为F,C​C1中点为G,题中所涉及的几何体就是三棱锥​A1​-​EFG,经过分析,将几何体补体,取棱B​B1中点H二、填空题（每小题5分，共5小题25分）16.同一个球的内接正四面体与内接正方体的棱长的比值为__________．【答案】2【解析】因为是同一个球的内接正四面体与内接正方体，由此作出正方体与正四面体的结构图如下：易得其棱长的比值为2​.

17.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.【答案】50【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5，4，且过底面的直角顶点的侧棱和底面垂直，该棱长为3，即棱锥的高为3.把三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线长等于其外接球的直径，设球的半径为R，∵长方体的体对角线长为外接球的表面积S​=​4π18.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为__________,表面积为__________.【答案】2​,【解析】从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2,2​,2​的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l​19.已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中点,AB​=​2,则平面ACE截球O【答案】π【解析】∵球O为正四面体ABCD的内切球,AB​=​2,故内切球半径r​=​6​12​×2​=​6​6,平面ACE截球O20.如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__________.【答案】25【解析】由三视图可得，该几何体的外接球与以俯视图为底面，以3为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示，已知底面是底边长为4，高为2的等腰直角三角形，故底面外接圆的半径r​=​2，又棱柱的高为3，故四棱锥的外接球半径R​=​​三、解答题（每小题12分，共1小题