2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《相似三角形》提升练习题汇编（含答案）

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《相似三角形》

提升练习题汇编

1.如图A8〃CD,AO与8C相交于点O,AO：D0=\：2,那么下列式子正确的是（）

X

A.BO：BC=1：2B.CD：A8=2：1C.CO：BC=1：2D.AD：DO=3：1

2.如图oABCO中，点E是边4。的中点,EC交对角线BD于点F,则EF：FC等于（）

A.3：2B.3：1C.1：1D.1：2

3.如图，在△ABC中，NACB=90°,/A=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△人

'B'C,点B'在AB上，A'B'交AC于F,则图中与aAB户相似的三角形有（不再

添加其它线段）（）

A

RC

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在△43。中，ZACB=90°C。是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（）

C

二

BDA

A.1对B.2对C.3对D.4对

5.如图，四边形48CC中，AD//BC,ZB=90°,E为A8上一点，分别以ED,EC为折

痕将两个角（NA，NB）向内折起，点A,B恰好落在CQ边的点F处.若A£>=3,BC

=5,则EF的值是（）

AD

A

B口・…外

A.A/15B.2^/15C.V17D.2717

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6.已知如图，ABLBD,ED±BD,C是线段BO的中点，且AC_LC£,ED=\,BD=4,那

么AB的值为（）

C.4D.5

7.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0,1）,直角顶点C的坐标为（-

3,0）,ZB=30°,则点8的坐标为（）

A.(-3-3)B.(-3-b，373)C.(-V3-3)

D.(-V3-373)

8.如图，菱形ABC。中，点M,N在AC上，ME±AD,NFLAB.若NF=NM=2,ME=

C.5D.6

9.如图，在nABCC中，E为CO上一点,连接AE、BD,且AE、B。交于点F,S.DEF：S

C.3：5D.3：2

10.如图，点A在双曲线y=3上，点B在双曲线丫=乂（笈¥0）上，A8〃x轴，过点A作

xx

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轴于D连接08,与AQ相交于点C,若AC=2C。，则人的值为（）

C.10D.12

II.如图，已知△ABC中，AB=5,AC=3,点。在边A8上，且NAC£>=NB,则线段AO

的长为_______

12.如图，在RtZVIBC中，AB^BC,ZB=90°,AC=\0y/2-四边形BOE尸是△ABC的

内接正方形（点。、E、F在三角形的边上）.则此正方形的面积是.

13.矩形A8C£>中，M是8C边上且与&C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、

P、。为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有个.

14.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线>=当-3与x轴、y轴分

4

别交于点4,8,点M是直线A8上的一个动点，则尸M长的最小值为.

15.如图，在正方形ABC。中，M是BC边上的动点，N在CD上,且CN=*CD，若他=1,

设当工=时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角

形相似.

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16.如图，已知矩形ABC。的边长AB=3的，BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿

AB方向以lcm/s的速度向B点匀速运动：同时动点N从。点出发沿DA方向以2cm/s的

速度向A点匀速运动.若以A、M、N为顶点的三角形与△AC。相似，则运动的时间t

17.如图，在Rt/XABC中，AC=8,BC=6,直线/经过C,S.1//AB,P为/上一个动点,

若△ABC与△以C相似，则PC=.

18.如图，在RtaABC中，/C=90°,点。在边A8上，线段QC绕点。逆时针旋转，

端点C恰巧落在边AC上的点E处.如果坦=机，蚂=".那么用含〃的代数式表示机

DBEC

19.设aABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，BEi、AG相交于点0,△

A08的面积记为Si；如图②将边3C、AC分别3等分，BEi、A£»i相交于点0,/XA0B

的面积记为S2:…，依此类推，则S”可表示为.（用含"的代数式表示，其中〃

为正整数）

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A

A一v3

西

BCBDxD-CB%D]D3c

图①图②图③

20.如图，RtzMBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A落

在AB上的点。处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在8的延长线上的点8处，两条

折痕与斜边AB分别交于点E、F,则AO=；B'F=.

21.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为。E的中点，BR分

别交AC,CD于P,Q,易得BP：QP-.QR=3：1：2.

(1)若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC,CD,

DE于P,Q,R,则8尸：PQ-.QR-.RS=

(2)若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为尸G的中点，B7分别交AC,CD,

22.如图，在四边形48co中，点E、尸分别是AB、C。的中点，过点E作AB的垂线，过

点F作CZ)的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且/AGO=NBGC.若

AD,8c所在直线互相垂直，胆的值为

EF

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G

23.如图，在一块直角三角板ABC中，ZC=90°,NA=30°,BC=\,将另一个含30°

角的△ED尸的30°角的顶点。放在AB边上，E、尸分别在AC、BC上，当点。在AB

边上移动时，QE始终与AB垂直，若△CEF与△£>£：/相似，贝ijAO=.

24.如图，在x轴的上方，直角/BOA绕原点。按顺时针方向旋转，若/BOA的两边分别

与函数），=-2、y=2的图象交于B、4两点，则NOAB的大小的变化趋势为

25.如图，O为矩形A8CD的中心，E为A8边上一点，OFLOE且与BC边交于点F.若

AB=6,AD=4,设。E=x,OF=y,则y与x的函数关系式为.

26.已知：如图，CDLBD,垂足分别为8、D,和BC相交于点E,EFA.BD,

垂足为凡我们可以证明成立（不要求考生证明）.

ABCDEF

若将图中的垂线改为斜交，如图，AB//CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF〃AB交

BD于点F,则:

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(1)LJhl•还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由;

ABCDEF

(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线);

(2)请分别说明两对三角形相似的理由.

28.己知：如图，△ABC与△?!£)£：均为等腰三角形，BA=BC,DA=DE,如果点力在BC

上，且NEDC=/BAD,点。为AC与QE的交点.

求证：(1)△ABCs△&£>£；；

(2)DA・OE=OA*CE.

29.如图，等腰梯形ABC。中，AD//BC,AD=3,BC=7,NB=60°,P为BC边上一点

(不与B,C重合)，过点尸作/APE=N8,PE交CD于E.

(1)求证：△AP8SZ^PEC；

(2)若CE=3,求3P的长.

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30.如图，在QABCD中，AMLBC,ANLCD,垂足分别为M、N,

(1)求证：XAMBs/\AND；

(2)求证：幽理

31.如图，在四边形488中，A8=4£>,4c与8。交于点E,NADB=NACB.

(1)求证:AB=AC.

AEAD,

(2)如果AB_LAC,AE：EC=1：2,求证：AC=BD.

32.在△ABC中，AB>AC,A£>是NBAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线

于E,交4。于F.

①求证：ZB—ZEAC-,

②若设CE=a,DE=b,8E=c,你能根据这些条件判断关于x的一元二次方程ax2-2bx+c

=0的根的情况吗？说明理由.

33.如图，在矩形ABCD中，E是CZ)的中点，8E_LAC交AC于F,过F作FG〃AB交AE

于G.

求证：AG2=AF'FC.

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34.如图，CD是RtaABC斜边AB上的高，E为8c的中点，ED的延长线交CA于F.求

35.如图，CD是RtZ\ABC斜边上的高，E为AC的中点，交C8的延长线于F.

36.如图，ABLBD,CD±BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=l4cm,点P在直线BO上，由

B点到D点移动，

(1)当P点移动到离B点多远时，XABPsXPDC；

(2)当P点移动到离B多远时，ZAPC=90°?

37.如图，在△4BC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B,C不重合)，平行四边形

AFPE的顶点F,E分别在AB,AC上.已知BC=2,SAABC=1.设BP=X,平行四边形

AFPE的面积为y.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该

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值；若没有，请说明理由.

38.如图，在平面直角坐标系中，以点8(0,8)为端点的射线8G〃苫轴，点4是射线8G

上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取4。=。8,作线段AO的垂直平分

线，垂足为E,且与x轴交于点F,过点A作ACJ_OA,交射线EF于点C.连接OC、

CD,设点A的横坐标为八

(1)用含/的式子表示点E的坐标为：

(2)当点c与点尸不重合时，设aoc尸的面积为s,求s与f之间的函数关系式；

39.如图，在正方形A8CD中，E为边的中点，点尸在边C£＞上，且CF=3F£),/\ABE

与△OEF相似吗？为什么？

40.已知，如图，平行四边形ABC。的对角线相交于点。，点E在边BC的延长线上，且

OE=OB,连接。E.

(1)求证：DELBE；

(2)如果OE_LCD,求证：BD・CE=CD*DE.

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参考答案

1.解：'JAB//CD,

：./\AOB^/\DOC,

：.AB-.CD=AO：。0=1：2,

:.CD：AB=2：1,

：.4DEFs丛BCF,

•些=%

•,而而，

:点E是边40的中点，

：.AE=DE=^AD,

2

.EF1

FC2

故选：D.

3.解：根据题意得：BC=B'C,

VZA=30°,NACB=90°,

.*.ZB=60°,

：./\BCB'是等边三角形，

NB=NBCB'=NBB'C=60°,

.•.NA'B'C=ZBCB'=60°,

：.FB://BC,

.♦.△AB'尸s△ABCs”'B'C,

'JCFLA'B',NA'CB'=90°

.♦.△4'CFs^CFB'B'C,

，有4个

故选：D.

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，△ABCs△AC。

△ACD^ACBD

△ABCs[\CBD

所以有三对相似三角形，

故选：C.

5.解：•.,分别以ED,EC为折痕将两个角（NA,NB）向内折起，点A,B恰好落在CD

边的点F处，

：.EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,

：.AB=2EF,DC=DF+CF=8,

作DHLBC于H,

'."AD//BC,NB=90°,

四边形48"。为矩形，

：.DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2,

在RtZXOHC中，D//=^DC2_HC2-2V15,

：.EF=^DH=yj-^,.

故选：A.

6.解：；C是线段8。的中点，BD=4,

:.BC=CD=2,

\'ABA.BD,ED1BD,

.*.ZB=ZD=90°,4+NACB=90°,

'：AC±CE,即NECO+/ACB=90°,

ZA=ZECD,

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/.XABCs/\CDE,

•AB=BC；

,,CDDE，

•妪=2

"~2~T

：.AB=4,

故选：C.

7.解：过点B作于点。，

ZVIBC为直角三角形，

：.ZBCD+^CAO=9Q°,

:.t\BCDs△COA,

•••BD:=CO,

CDAO

设点B坐标为（x,y）,

则^^=旦，

-x-31

y=-3x-9,

BC=d（一x-3/+y2=410X2+60X+90'

AC=V1+32,

VZB=30°,

...AC=屈=a；

BCV10X2+60X+903

解得：x--3-

则产3百

即点B的坐标为（-3-3d§）.

故选:B.

又•.•ME_LAO,NFLAB,

...NAEM=NAFN=90°,

XAFNS[\AEM,

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.AN=NF

"AMME'

即3=2,

AN+23

解得AN=4.

故选：B.

9.解：：四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZEAB=ZDEF,NAFB=NDFE,

：.ADEFs丛BAF,

'：S&DEF：SMBF—4：25,

DE：48=2：5,

'：AB=CD,

••DE：EC=2：3.

故选:B.

10.解：设点A的坐标为（a,2）,则点B的坐标为（包L,旦）,

a3a

•・・A8〃x轴，AC=2CD,

：.ZBAC=ZODCf

•/ZACB=ZDCOf

•••△ACBs/XOCO,

.ABAC

0D~DC

.AB_2

0D1

•：OD=a,贝！M8=2a,

・••点B的横坐标是3〃,

：.3a=^,

3

解得，k=9,

故选:B.

11.解：VZA=ZA,

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ZACD=ZB,

：.△ABCs△AC。，

.AB=AC

"ACAD'

"：AB=5,AC=3,

•"3AD'

.,.AD=—.

5

故答案为史.

5

12.解：方法一：•.•在RtZ\ABC中，AB2+BC2=AC2,

"：AB=BC,AC=10A/2-

：.2AB2^200,

.•.AB=8C=10,

SEF=x,则4尸=10-x

■:EF//BC,

,g2=”即x=10-x

*,BCAB?、元10

・・x=5,

：・EF=5,

，此正方形的面积为5X5=25.

方法二：•••△ABC是等腰直角三角形，

.•.NA=NC=45°,

;四边形B£>E尸是△ABC的内接正方形，

.,.EF//BC,

...NAEF=/C=45°,

：.^AEF也是等腰直角三角形，

：.AF^EF,

设AF=x,则8广=10-尤，

♦・10-x~~Xf

•»x=5f

二此正方形的面积为5X5=25.

故答案为25.

13.解：：ABC。是矩形

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C.BC//AD

：.NDAP=ZBMA

①QPL4W于P时，两三角形相似

②尸为AM与。C延长线的交点时，两三角形相似

故这样的点有两个.

14.解：如图，过点尸作PM_LAB,贝U：ZPMB=90°,

4

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtZ\AOB中，AO=4,8。=3,AB^^J+^5'

；NBMP=NAOB=90°,NB=NB,PB=OP+OB=1,

.'.△PBMSAABO,

.PB=PM

"AB而，

即：工M,

54

所以可得：PM=28.

5

AB=

15.解：；CNWC。L'

4

.•.CN=4X1=JL,

44

・'.CM=1-x,

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①当CN与8M是对应边时，型=更，

BMAB

即鱼=上三，

x1

解得犬=工，

2

②当CN与AB是对应边时，型=里，

ABBM

即鱼=旦，

1x

解得x=匹.

5

综上所述，X的值是工或2.

25

故答案为：工或匹.

25

16.解：当△ACDS^MMA时，

则旦即旦一^,

CDNA36-2t

A36-⑵=3r.

.1=2.4秒.

当△4C£>s/\NM4时，则旦即旦=6-2t.

CDMA3t

；.6f=18-6t.

.,"=1.5秒.

答：以A、M、N为顶点的三角形与△AC。相似，则运动的时间f为2.4秒或1.5秒.

故答案为2.4或1.5.

17.解：•.•在RtZ\ABC中，AC=8,BC=6,

:•AB=482+62=10,

当△ABCs/xcBA时，则

4B：PC=AC：AC,

即10：PC=8：8,

解得：PC=10,

当△ABCs/XCAP时，则

AB：AC=AC：PC,

即10：8=8：PC,

第18页共34页

解得：PC=6.4.

综上可知若△ABC与△%C相似，则PC=6.4或10.

故答案为:6.4或10.

18.解：作。H_LAC于H,如图，

•.•线段DC绕点。逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处,

：.DE=DC,

：.EH=CH,

:坐=〃，BPAE=nEC,

EC

：.AE=2nEH=2nCH,

VZC=90°,

：.DH//BC,

...坦=迪，即片迪胆=2nCHKH=2〃+]

DBHCHCCH

故答案为：2n+l.

19.解：如图，连接。IEI,设A。、8E1交于点M,

VAEi：AC=1：(〃+l),

S&ABEI：SMBC—1：(n+1),

n+1

..AB_BM__n+1

D]EiMEjn

・BM_n+1

••前J2n+l'

S&ABM：S&ABEI=(n+l)：(2〃+1),

S^ABM：——=(n+l)：(2〃+1),

n+1

2n+l

故答案为:1

2n+l'

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A

20.解：根据折叠的性质可知，CL>=AC=3,B'C=BC=4,ZACE^ZDCE,NBCF=N

B'CF,CEVAB,

：.B'£>=4-3=1,NDCE+/B'CF=NACE+NBCF,

VZACB=90°,

.*.Z£CF=45°,

...△ECF是等腰直角三角形,

:.EF=CE,NEFC=45°,

:.NBFC=NB'FC=135°,

：.ZB'FD=90°,

"：S^ABC^^AC-BC=^AB'CE,

22

：.AC-BC=AB-CE,

•••根据勾股定理求得AB=5,

.3卷,

ED=AE=yjAC2_CE2=X

，4D=2X9=超，DF=EF-ED=&,

555

：.B'F=BF=AB-AD-DF=^.

5

.•.4。=超，B'F=A,

55

故答案为：殁，A.

55

21.解：（1）•..四个直角三角形是全等三角形,

：.AB=EF=CD,AB//EF//CD,BC=CE,AC//DE,

：.BP：PR=BC：CE=\,

,JCD//EF,

:.ABCQS^BES.

又,：BC=CE

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•••CQ弓SE、EF，

"QqF

\'AB//CD,

：./ABP=NDQR.

又♦:/BAP=NQDR,

:.XBAPSXQDR.

：.BP：QR=4：3.

：.BP：PQ：QR=4：1：3,

■:DQ//SE,

：.QR：RS=DQ：SE=3：2,

：.BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

故答案为：4：1：3：2；

(2)・・,五个直角三角形是全等直角三角形

:,AB=CD=EF,AB//CD//EF,AC=DE=GF,AC//DE//GF,

BC=CE=EG,

:・BP=PR=RT,

AC//DE//GF,

:./\BPCS/\BERSBTG,

•••PC=/TG=^FG，亚=翱=/，

.•MP=1FG,口VFG

bSN

：.AP：DR：FT=5：4：3.

•：AC//DE//GFf

：.ZBPA=ZQRD=ZSTF.

又ZBAP=ZQDR=ZSFT,

：.△3"s△QDRs/\SFT.

：.BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3.

又"：BP：QR：RT=5：4：5,

：.BP：PQ：QR：RS：ST=5：(5-4)：4：(5-3)：3=5：1：4：2：3.

故答案为：5：1：4：2：3.

22.解：连接BD,取BO的中点“，连接£"、FH,

由题意可知：GE是线段A5的垂直平分线，

:・GA=GB,

第21页共34页

同理：GD=GC,

在△AG。和△BGC中,

GA=GB

<ZAGD=ZBGC>

GD=GC

.,.△AG。丝ZXBGC(SAS),

：.AD=BC,

：点E、F、”分别是AB、CD、BO的中点，

J.EH//AD,EH=1AD,FH//BC,FH=1.BC,

22

"：AD=BC,

：.EH=FH,

:直线A。与直线BC垂直，

：.EH±FH,

EH比

--=

EF2

=

AD丽

23.解：VZEDF=30°,E£>_LAB于。，

:.NFDB=NB=60°,

AJBDF是等边三角形；

•；BC=1,：.AB=2；

♦：BD=BF,

：.2-AD=l-CF；

：.AD=CF^\,

①如图1,NFED=90°,ACEFsAEDF,

第22页共34页

E

图1

.CF=EF(即CF=2CF

••丽DF,、2CF1-CF

解得，CF=1；

5

.•.4£>=上+1=2；

55

图2

.•.史=里即工=工

FDFE1-CF2

解得，CF=1；

3

.\AD=A+I=A.

33

故答案为旦或匹.

53

24.解：如图，分别过点A、B作AN，尤轴、轴;

VZAOB=90°,

NBOM+NAON=ZAON+ZOAN=90a,

，乙B0M=40AN,

；NBMO=N4NO=90°,

•BM=OM.

,"0NAN'

设B(-m,—),A(M,—),

mn

则BM=—fAN=—,OM=m,ON=n,

mn

Amn=-^—,mn=yj~2；

mn

第23页共34页

VZAOB=90°,

tanZ■①；

OA

■:XBOMS/\OAN,

・OB=BM=1=V

OAONinn2

由①②知1211/048=返为定值,

2

...NOAB的大小不变,

故答案为：不变.

25.解：如图，OM_LAB于点M,作0N_L8C于点N,

•.•四边形A8C。为矩形，

AZB=90°,

'COMVAB,ONIBC,

:.NMON=90°,

:.NEOM+NEON=90°,

'COELOF,

：.ZFON+ZEON=90°,

，ZEOM=NFON,

：.XOEMs/\OFN,

•OE=OM

"OFON"

：。为矩形ABC。的中心，AB=6,AD=4.

：.OM=^-=2,

2

ON=^=3,

2

又：OE=x,OF=y,

•三二2

，ey-T

第24页共34页

证明：'JAB//EF

•••-E-F=-D-F-

ABDB

'：CD//EF

-EF_BF

',CD"DB

.EFEF_DFBF=DB

'*AB+CD=DB+DBDB=-1

.111.

"AB+CD-EF'

(2)关系式为：一一一=_」

^AABDS/kBDC^ABED

证明如下：分别过A作AM_LBO于M,过E作EN_LB£＞于M过C作CK_L80交5。

的延长线于K

由题设可得：

AHCKEN

...22=2

"BD-AM+BD-CKBD-EN

____1_________1____1

国HII1

y-BD'AMy-BD'CKyBD-EN

'5L'"^BD,AM—S/\ABD.-^--BD*CK~5ABCD

.BD*EN=S&BED

2

•.•---1----p----1--=----1--.

^AABD^ABDC^ABED

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(2)①证△ABCS"£>E,

:NBAD=NCAE,

ZBAD+ZDAC^ZCAE+ZDAC,

即/B4C=/D4E.

又；ZABC^ZADE,

.♦.△ABCs△ADE.

②证△ABOs△4(；£■,

△ABCsZ\AOE,

•••A'^―B^―二AC一.

ADAE

又•.•NBAO=NCAE,

：./\ABD^/\ACE.

28.证明：(1)'：BA=BC,DA=DE,

••-B-A-=-D-A-=I.»

BCDE

NEDC=NBAD,/AOC=ZABC+ZBAD^ZADE+ZEDC,

：.ZABC=ZADE,

：.△ABCSAAQE；

(2)V/^ABC^/\ADE,

J.ZBAC^ZDAE,

：.NBAD=ZCAE=NCDE,

,：ZCOD^ZEOA,

：.XCODs△EOA,

.QCQD

*'0E=OA

又；ZAOD^ZEOC,

：./\AOD^/\EOC,

•....D..A..~OAf

CEOE

即DA-OE=OA-CE.

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29.(1)证明：•.,等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,

.,.ZB=ZC=60°,

ZAPC=ZB+ZBAP,

即NAPE+NEPC=NB+NBAP,

NAPE=NB,

；.NBAP=NEPC,

：./\APB^/\PEC^

(2)解：过点A作AF〃C。交BC于点F,

'：AD//BC,

...四边形AQCF是平行四边形，

；/AFB=NC=NB=60°,

...△ABF为等边三角形，

：.CF=AD^3,AB=BF=1-3=4,

△APBs^PEC,

•.B•-P二-A--B,

ECPC

设BP=x,贝I]PC=1-x,

'：EC=3,AB=4,

•-•-x=---4-,

37-x

解得：xi=3,X2=4,

经检验：xi=3,m=4是原分式方程的解，

的长为：3或4.

30.证明：(1)•••ABC。为平行四边形,

；.NB=ND,AD=BC,

"：AMYBC,ANrCD,

...NAMB=NANQ=90°,

(2)V^AMB^/XAND,

•.幽=胆，

,*ANAD)

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而AD=BC,

•・•AM_AB,

ANBC

即AM：AB=AN：BC®,

"JAD//BC,

.•.ND4M=N4MB=90°,

"?NMAN=90°-ZDAN,

而N£>=90°-NDAN,

：.ZMAN=ZD,

而ND=NB,

NB=NAMN②，

由①②得△AMNs/^AC,

•AM=MN

*'AB而.

31.证明：(1)'：AB=AD,

：.NADB=NABE,

又；ZADB=ZACB,

：.NABE=NACB,

又

AABEs^ACB,

•_^_=ACj

"AEAB,

5L'：AB=AD,

.AB=AC.

"AEAD'

(2)设AE=x,

'：AE：EC=1：2,

EC—2.xt

由(1)得：AB2=AE-AC,

.•.A8=A/§X,

又：BA_LAC,

BC=2,y/~^x,

AZACB=30°,

又NADB=ZACB=/ABD,

:.NADB=NACB=NCBD=30°,

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C.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB=30°,

:・BE=CE,AE=DEf

；・AE+CE=BE+DE,

即AC=BD.

32.①证明：・・・切是A。的垂直平分线，

：.AE=DE,

：.ZEAF=ZEDFf

VZEAF=ZCAD+ZEAC,NEDF=/B+NBAD,

又「A。是N84C的平分线，

即NB4D=NC4£>,

：.ZB=ZEAC；

②能.理由：

VZB=ZEAC,NAEB=NCEA,

：.△ABEs△CAR

：・BE：AE=AE：CE,

:.AE2=BE・CE,

<AE=DE,CE=a,DE=b,BE=c,

・♦b-=ac,

，一元二次方程4/-2bx+c=0中，△=(-2b)2-4ac=4b2-4ac=0,

・••原方程有两个相等的实数根.

33.证明：YE是CD中点，

：.DE=CE；

'AD=BC

在△£>£>!和△CE8中，(ND=NBCE

DE=CE

•••△DEA丝△C£B(SAS),BPAE=BE；

9：GF//AB,

・EGEF即AG_BF

AEBEAEBE

:AE=BE,贝l]AG=BF；

在RtZsABC中，BFVAC,则

:.BFIMAF^FC,BPAG2=AF'FC.

34.证明：

VZACB=9Qa,CD上AB,

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ZDAC+ZB=ZB+ZDCB=W,

/D4C=NDCB,且NACZ)=NCDB,

：.AADCs/XCDB,

•••AD-AC,

CDBC

为8c中点，

：.DE=CE,

：.NEDC=NDCE=ZDAC,

：.NFDC=NFAD,且NF=N尸，

，丛FDCS/\FAD,

•DF=AD,

"CF而，

3=雪

"BCCF，

:.AC-CF=BC，DF.

35.证明：'：CD±AB,E为斜边AC的中点，

:.DE=CE=AE=1AC,

2

：.ZEDA=ZA.

•：4EDA=NFDB,

：.NA=NFDB.

•.•/ACB=NC£>B=90°,

NA=NFCD,

:.NFDB=NFCD.

■:丛FDBs^FCD,

：.BD-.CD=DF：CF.

：.BD*CF=CD'DF.

36.解：(1)由A8=6cm,CD=4cm,BD=14C/H,

设BP=xcm,贝ljPD=(14-x)on,

若△A8Ps/\PDC,

•AB=BPmn6—x

PDDC14-x4

变形得：14x-/=24,即/-