2022年电大工程数学（本科）形成性考核册答案

工程数学（本科）形成性考核册答案完整版

工程数学（本科）形成性考核册答案（一）

第2章矩阵

（-）单项选择题

＜-＞单项选择题

°1a2%a\a3

I.设“b2b3=2,则2a1-3bl2a-,—3b-=(D)

clc2c3ci

A.4B.-4C.CD.-6

0001

-00a0,

2.若=1,则a=(A)o

0200

100a

A.-B.-1C.--D.1

22

ri-1T-1031

3.乘积矩阵,"<_,中元素c”=(C)。

24fl521

XIB.7C.10D.8

4.设a.s均为“阶可逆矩阵，贝rr列运算关系正确的是（B）。

X+B.|018尸|=庐,限

C.(J+5)"=A-1+B-1D.C-LB)-1=4-哨-1

5.设8均为”阶方阵，上＞0且kHl,则下列等式正确的是（D）。

A.\A+B\=\A\+忸|B.\AB\=npp|

C.|fc4|=A:|j|D.卜目|=（一%）”同

5.F歹给论正确的是（A）。

X若a是正交矩阵，则,4-1也是正交矩阵

B.若.4,8均为〃阶对称矩阵，则网也是对称矩阵

C.若X,8均为n阶非零矩阵,则AB也是非零矩阵

D.若48均为〃阶非零矩阵，则网wO

「131

7.矩阵，的伴随矩阵为《O。

&方阵X可逆的充分必要条件是(B)。

A.J*0B.|J|#OC.D.

9.设8,C均为”阶可逆矩阵，则(NCff，)“=(D),

A(5r)-lJ-lC_1B.B'C-XA'X

c.A-xc~\B~xyD.(s-iyb/T

10.设,4,8,C均为”阶可逆矩阵，则下歹摩式成立的是(A)o

A(X+S)2=/+2,钻+5'B.(，+3)8=5X+3’

C.(2,lffQ-1=2C-1^-1J_1D.(2.4BC?)'=2C'B'A'

(Z)填潮(每小题2分，共20分)

2-10

1.1-40=_7o

00-1

-111

2.1-1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是1

11-1

3.若X为3x4矩阵，3为2x5矩阵，切乘积ZC的有意义,则C为5X4―矩阵。

06-3

则(4+8')，=

5-18

6.设45均为3阶矩阵,且同=四=-3,则|-2冽=_72。

7.设48均为3阶矩阵，且同=-1,冏=-3,则卜3(4E")[=_一3

&若＜=；；为正交矩阵，则。=_0_。

2-12

9.矩阵402的秣为2_。

0-33

4O4“o

10.设4,4是两个可逆矩阵，则=*

04一O/4一

（三）解答题（每小题8分，共48分）

12-11

1.设d=,B=，求⑴X+B3⑵d+C；⑶24+3C；(4)N+5B*5),西：

-35433-1

⑥（的c。

03661716'

答案：A-BA^C=2.4-3C“A7_

1804

~262277,56211

A-5BAB=(®c=

120231215180

2.设/=

解：AC+BC=(A+B)C=

31oirio

3.已知K=-121,5=-111，求满足方程34-2X=8中的X。

2]|_21

341

斛：•.•3d-2X=B

272

4.写出4阶行列式

1020

-1436

02-53

3110

邛元素Ai，。心的代数余子式，并求其值。

02020

答案：aa=(T)j436-0a42=(T)7T36-45

2-530-53

5.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

41000

2100

⑶

-1110

10-2-6111

解：（1）

0

oo'10一33

100-3-6-210

o0092-2

221

99

1__2

9~9

1

-7i'

-122

.-

.-9-

.919

.22

T.-

二-

.-9

.929

.2-1

—---

99

一9

1000

100

-110

00-1

1011011

6.求矩阵;10110

的秋。

01210

3201

1011

01-1-1

11-10

0000

（四）证明题（每小题4分，共12分）

7.对任意方阵月，试证月+是对称矩阵。

证明：+=4+4

Ad+d'是对称矩阵

8.若X是〃阶方阵，^AA'=I,试证⑶=1或一1。

证明：•••X是”阶方阵，目,“=/

二l“IT4d=H=M=i

同=1或以|=-1

9.若A是正交矩阵，试证d，也是正交矩阵。

证明：：，4是正交矩阵

二A-1~A,

二(4尸=(月"尸=4=(4)

即"是正交矩阵

工程数学作业（第二次）（满分100分）

第3章线性方程组

（-）单项选择题向小题2分，共16分）

X1+2x2-4X3=1毛

I.用消元法得J

+x3=0的解%为（C）。

一七=2X3

A[1,0,-2FB.[-7,2,-2r

C.[-11,2,-2](D.[-11,-2.-2]*

X[+2X2+3X3=2

2.线性方程组七-X3=6(B)。

-3X2+3X3=4

D,只有零解

A)o

D.5

1

4.设向量组为a1=:

0

Aax,a2B.ax,a2,a3C.alta2,a4D.a,

5.d与彳分别住*一个线性方程组的系数矩阵和与广矩阵，若这个方程组无解，则（D）。

A秋（司=秩（N）B.秋（司〈秩（彳）

C.秩（⑷＞秩（工）D.秩（0=秩（不一1

6.若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）。

A可能无解B.有唯一解C,有无穷多解D.无解

7.以下结论正确的是（D）。

A方程个数小于未知蚩个数的线性方程组一定有解

B.方程个数等于未知置个数的线防程组一定有唯一解

C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D.齐次线性方程组一定有解

8.若向量组%,a”…，a：线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出。

A至少有一个向量B.没有一个向量

C.至多有一个向量D.任何一个向量

g。设A,B为〃阶矩阵，2既是A又是B的特征值，X既是A又是B的属于2的特征向量，则结论（D）

成江。

A。7是AB的特征值Bo2是A-B的特征值

Co幺是A-B的特征值D。x是A-B的属于/的特征向量

10O设A,B,P为”阶矩阵，若等式(C)成立，则称A和B相似。

AoAB«BABo(AB)'=1ABCoPAP"■BDoPAP'=B

《二）填空题（每小题2分，共16分）

Xi+均=0.,,/上n

I.当2=_1_时，齐次线性方程组,.八有非零解。

肉+々=0

2向量组%=[0,0,0],a2=[l,1』线性Jt联____。

3.向量组[1,2,3],[1,2,0],[1,0,0],[0,0,0]的秩是_3一。

4设齐次线性方程组％覆+%小+%七=。的系数行列式14%%|=0,则这个方程组有_JE穷多.

解，目系数列向量为,%,%是线性一相关一的。

5.向量组%=[1,0],a,=[0,1].a,=[0,0]的极大线性无关组是即修。

6.向量组a1，％,…，%的秩与矩阵[%，勺，…,4]的秩一相同____。

'.设线性方程组,"=0中有5个未知量，且秩（刃=3,则其基础解系中线性无关的解向量有一2—个。

$.设线性方程组，打=6有解，X。是它的一个特解，自，“=0的基础解系为则dX=6的通解

为4+先3+用用。

9。若/是A的特征值，贝以是方程火一闻二°

的根。

10。若矩阵A满足乂"=4,则称A为正交矩阵。

（三）解答题（第1小题9分，其余每小题11分）

L用消元法解线性方程组

—3X-2X.q=6

xx23

3xj—8X2+x3+5X4=0

-2xj+x「4巧+x4=-12

一毛+生

年

-3

一8

1-90

426_

-124

0-46

04

0-33

0042-1240

-4玩*“

01015-4601

001-1400

0001-300

2,设有线性方程组

z为何值时，方程组有唯一解减有无宙多•薛?

1，

J]

产

R-2)

(1+NX-)2

当2*1且-2时，Rd）=R（N）=3,方程组有唯一解

当2=1时，A（4）=夫（：?）=1,方程组有无穷多解

3.判断向量尸能否由向量组%,%,小线性表出，若能，写出一种表出方式。其中

解：向量尸能否由向量组小,%,%线性表出，当且仅当方程组6八-%与+。3*3・£有解

-23-5-81037

7-5-6-301-341

这里.4=[%,%,0：3，6]=

10370010-117

3-21-10000571

&Z)#R(4)

方程组无解

月不能由向蚩小内色线性表出

4.计算下列向量组的秋，并且(1)判断该向量组是否线性相关

二该向量组线性相关

xx-3^+x3-2X4=0

一5七+Xj-2X+3X=0

5求齐腐性方程组的T基础解系34

-X1-1lx2+2X3-58=0

3X1+5X2+4X4=0

5

■1一31-2-1-310

4--142

-51-230-143一7二匕，

好A=0-143-7

-1-112-50-143一

J70000

3504_014-3Lo003

A51,[.01-11[10上

0

142114214

,31丁:一一31

01———01--0

14214214

00030001000

0000.Q000.0000

55

------X

1414

33

・•.方程组的一般解为令Xj-l,得基砌解系

百七14

0

0

6求下夕堆t妨韵的第廨。

xx-5X2+2^3-3X4=11

-3xj+x2-4X3+2X4=-5

-xx-9X2-4X4=17

5X[+3/+6X3-X4=-1

W：

91

-1

07_2

27

208

-104oo

0

0OO

令X3呐,Xi]，这里"，与为任意常数，得方程组通解

7.试证：任一4维向量£=[4,%,%，都可由向量组

「11「11「11「11

00

线性表示，且表示方式唯一，写出这种标方式。

a式%-a。+的(6-a?)+a4(a4-。3)

8.试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有雪解。

证明：设.“=3为含〃个理口量的设性方程组

该方程组有解，即R(N)=R(A)-”

从而■=5有唯一解当且仅当衣(㈤=〃

而相应齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是尺(4)-〃

二■•=5有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组研=0只有零解

9.设义是可逆矩阵A的特征值，目2*0,试证；g是矩阵的特征值。

证明：2是可逆矩阵A的特征值

存在向量3使必=愁

超-(/-，经-4-1Q9-.47(4)--4

・•.八总4

即L是矩阵的特征值

X

10.用配方法将二次型2X,X-2x/3+2xx化为标准型。

f=x；7：+€-x；-2XXX2-434

解：

f=(%+Wy+¥+w--一物+冲=a++£+A(-七+x。+4一2喇

22

=(xi+x2)+(x3-X2+X4)-石

令)LXi+X],y2^x3-x2+x4,y3-x2,x4-yA

即产f

W=H+%->'4

则籽二;欠型化为标准型f=yh>i->i

工程数学作业(第三次)(满分100分)

第4章随机事件与概率

(-)单项选择题

为两个事件，则(B)成SZ°

A(d+B)—B=AB.(d+5)-8ud

C.—B)B=AD.(A-B)+BaA

2.如果(C)成立，则事件d与8互为对立事件。

,15=0BAB=U

C=0且=UD.X与左互为对立事件

3.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人申奖的概率为(D)。

222

AC/OXO.7XO3B03C.0.7x0.3D.3x0.7x03

4.对于事件48,命题(C)是正确的。

A如果.4,3互不相容，则彳/互不相容

B.女瞟HuB,则工!3

C.如果4B对立,则对立

D.如果43相容,则尢用相容

5.某随机试蛉的成功率为以0<「<1),则在3次重复试蛉中至少失败1次的概率为(D)。

A(l-p)3B.1-p3C.3(1-p)D(l-p)3+内-p)2+p&p)

6毅随机变量X〜8(”,p),且E(X)=4.8,Z>(X)=0.96,则参数”与p分别是(A)。

A6.0.8B.8,0.6C.12,0.4D,14,0.2

7一设/(x)为连续型随机变量X的密度的数，则对任意的a*(a<b),E(X)=(A)o

A.fXj/(x^dxB.f，"(x)dx

Ja

C.f7(x)drD.f'7(x)<k

JaJ-®

8.在下夕J®数中可以作为分布密度函数的是(B)。

f

—<X<一sinx,0<x<-y

A〃X)=〈22B-/(x)=

其它0,其它

sinx,0<x<—sinx,0<x<7T

C/(x)=•D./(x)='

0,其它

0,其它

9.设连续型随机变量X的密度函数为/(x),分布函数为尸(x),则对任意的区间(a,b),则P(a<X<b)

(D)。

、F(o)-F(6)B.[V(x)dx

C.D.[7(x)dx

10设X为随机变量，E⑺=n,D(X)=cr:,(C)时，有E。)=0,D(Y)=1°

A.Y=aX+juB,Y=aX-/i

C.Y=D.Y=

ob

<Z)填空题

2

1.从数字123,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为1.

2.已知产(冷=0.3,尸(5)=0.5,则当事件48互不才箔时，尸(d+B)=_0.8_,P(AS)=_。.3.

3",5为两个事件，目3u/，则PM+BWH").

4.已知尸(.")=尸(NE),P(,4)=p,则尸(8)=1-乙

5.若事件相互独立，目尸(#=p,尸(5)=0,则P(4+8)=P-g-内.

6.已知P(#=0.3,尸(8)=0.5,则当事件48相互独立时，P(J+5)=_0.65尸(,4忸)=_

0.3_o

,0xMO

*x0<x<l

i>i

7酸随机变量X〜U(0,l),则X的分布函数尸(x)=lLXr'.

8.若X〜3(20,0.3),则E(X)=_6。

9.若X〜N(4</),则尸(|*—"4功=24).

io.£[(x-£(^)xr-E(1))]称为二维随机变量(X,D的一协方差_。

(£)解答题

瓦。为三个事件，试用a3,c的运算分别表示下列事件：

0)d,5,C中至少有一个发生；

(2)d,5,C中只有一个发生；

(3)d,3,C中至多有一个发生；

(4)X,8,C中至少有两个发生；

(5)4,3,。中不多于两个发生：

6)4,8,C中只有C发生。

解-C(2).4BC^ABC+ABC(3).1BC+ABC-ABC+ABC

⑼AB+AC+BC(5)1-3+C(6)15C

2.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：

(1)2球恰好同色；

⑵2球中至少有1红球。

解:设.4=“2球恰好同色”，B=“2球中至少有1红球”

G'+C；3+12C；C：+C；6+39

r\A)-------；----«----------r\D)----------；----------------------

d105cl1010

3.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第

一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率。

解：设4="第I道工序出正品”(iT，2)

)-P(A)P(&⑷=(1_0.02)(1-0.03)-0.9506

4.市区供应的热水瓶山，甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率

分别为90汽85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率。

解：设遇=”产品由甲厂生产4=”产品由乙厂生产包」产品由丙厂生产

51产品合格”

RB)=P(A)P(B|4)+P(%)P(B|生)+/>(自必B|A3)

=0.5x0.9+03x0.85+0.2x0.80=0.865

5.某射手连续向一目标射击，直到命中为止.日口他每发命中的假率是P,求所需设计谶X的椎率分

布。

解：P(X-1)-P

尸(X=2)・(1-P)P

P(X-3)-(l-P):P

P(X=©=Q_p)i尸

故X的概率分布是

-123……k……*

_P(\-P)P……(I-。)，…….

6.设随机变量X的微率分布为

■0123456'

0.10.1502030.120.10.03

试求P(X<4),P(2<^<5),P(X,3)。

解：

RX44”RX-0)-RX=l)+P(X=2)十RX=3)，RX=4)=0.1+0.15+02+03+0」2=0.87

H24X45)=P(X=2)+PQf=3)+P(X=4)+P(X=5)=02+03+0.12+0.1=0.72

RX*3)=1-P(X=3)=1-0.3=0.7

7展随机变量X具有概率密度

2x,0<x<1

/(x)=

0,其它

试求尸(刀=3，尸(；<》<2)。

解：P(X<-^)-pf(x)dx^p2x4tr21

X5"7

砥;<X<2)=f；/(x.=f：2xa=x?\15

16

2x,0^x<1

8.设X〜〃x)=，0,其它，求E⑶R小

解：双分匚切⑶去=(x-2x^&-^x3^2

3

E(X>「xV(x处.jx?.2品=：/卜・：

D(X)-E(X2)-[£(X)]2-i-d)2-1

2Jlo

9.设X〜NQ,0.6D,计算⑴尸(02<AT<IB)；(2)P(X>0),

解：

心5如长皿奈43加如39-/T3加渤》J2xQ9082TW

丫一1

P(X>0)-<1.67)-1-.67)=1-0.9525-0.0475

0.6

_1n

io设M，工，…，Z是独立同分布的随机变量，已知上(乂)=〃，次乂)=。"设又=士工乂，求

n>i

且乃，火乃。

_1月11

解：E(和风-£乂)=一灰乂+冬-……+居)■■-[E(X)+E(X：)+……+E(x/

1

=一■=〃

n

axy9、")=2+必+……+匕)=4以X)-1*2)+……+吗)]

121

=-=•-nc=­c:，

nn

工程数学作业（第四次）

第6章统计推断

<->单项选择题

I.设巧,4，…，人是来自正态总体N（〃.标）（〃.cr：均未知）的样本，则（A）是统计量。

XX,B.X]+"C.—VD.fix

bx

2.设天，均，圣是来自正态总体A”,/）（区/均未知）的样本，则统计量（D）不是以的无偏估计。

、max{xi，x2,x3}B.；@1+小）

C.2xj-x2Dx,-x2-x3

（二）

:。统计量就是不含君畛数的样福数。

2。参数估计的两种方法是一臣估计—和—区间估计一常用的参数点估计有_矩估计法—和J置大

似去估计—两种方法。

3。比辛如古计量好坏的两个重要标准是，6性_有效性________。

4。设七，七，…,x"是来自正态总体N（〃，/）（/已知）的样本值，按给定的显著性水平a检验

区:〃=〃0；用:〃W〃0,需选取统计量°"n•

5。假设检的中的显著性水平a为望住।土一"。»”3为临界值〉的牛的榔水。

（三）解答题

1.设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,65,5.0,3.5,4.0

试分别计算样本均值?和样本方差?。

11。1

解：x=—Yx,=—X36=3.6

10ti10

1101

s2=------y（x-i）2=-x25.9=2.878

10-lf?:19

2.设总体X的概率密度函数为

(6+l)x',0<x<l

f(x；0='

0,其它

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数0O

解：提示教材第214页例3

矩估计：£(X)=「乂(6+1)/去=；^=三=1力％,0=^^

“2+6〃=1-x

最大似然估计：

n

〃国,孙…,x“;6)=U(，+l)x：=(1+"(和2…X")'

nLnn合n

InZ=刀ln(8+1)+6汇bx:,----=----4-^lnx：=0,3=—；------1

ude8+lz力叫

:・】

3测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为(单位：m)：

108.5109.0110.0110.51120

双量值可以认为是服从正态分布的，求4与^的估计值。并在⑴/=25；⑵户未知的情况下,

分别求U的置信度为0.95的置信区间.

_]$15—

解："=x=—Zx[=110才'="=----工(匕—力=1-875

5a5-1z

(1)当=25时，由l-a=O95,<X>(z)=l-^=0.975查表得：2=1.96

故所求置信区间为：丘一/43+2。]=口08.6,111.4]

(2)当c：未如寸，用『替代查t(4,0.05),得A=2.776

故所求置信区间为：仪一/3=3+/-^]=[108.3111.7]

4.设某产品的性年付旨标服从正态分布加(〃，。：)，从历史资料已知C=4,抽查10个样品，求得均值为17,

取显著性水平c=0.05，问原假设%:以=20是否成立。

就.im-/一4-17-203_

解一-T立同=°237，

由0(©=1-9=0.975,查表得：2=1.96

2

因为|=0.237>1.96,所以拒绝H。

5.某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0,现换了新材料，从产品中随机抽取S个样品，测得的长度

为（单位：cm）:

20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化＜«=0.05）。

解：由已知条件可求得：x=20.0125?=0.0671

,x-^o,^20.0125-20,0.035…乙

TW—要H-------------T-==0.1365

s/4n0.259/780.259

z=r(n-1,0.05)=K9,0.05)=2.62

VIT|<2.62.I接受注

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

由于公式特别多

答案都在第一页

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工程数学作业（一）

第2章矩阵

（-）单项选择题

1.设，则(D).

A.4B.-4C.6D.-6

2.若，则(A).

A.B.-1C.D.1

3.乘积矩阵中元素（C）.

A.1B.7C.10D.8

4.设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）.

A.B.

C.D.

5.设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）.

A.B.

C.D.

6.下列结论正确的是（A）.

A.若是正交矩阵，则也是正交矩阵

B.若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵

C.若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵

D.若均为阶非零矩阵，则

7.矩阵的伴随矩阵为（C）.

A.B.

C.D.

8.方阵可逆的充分必要条件是（B）.

A.B.C.D.

9.设均为阶可逆矩阵，则（D）.

A.B.

C.D.

10.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）.

A.B.

C.D.

（二）填空题（每小题2分，共20分）

1.7

2.是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2

3.若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5x4矩阵.

4.二阶矩阵.

5.设，则

6.设均为3阶矩阵，且，则72

7.设均为3阶矩阵，且，则-3

8.若为正交矩阵，则0.

9.矩阵的秩为2.

10.设是两个可逆矩阵，则

（三）解答题（每小题8分，共48分）

1.设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.

答案：

2.设，求.

解：

3.已知，求满足方程中的.

解：

4.写出4阶行列式

中元素的代数余子式，并求其值.

答案：