专题四圆开放性试题的解题思路

专题四圆开放性试题的解题思路一、方法简述由于圆图形的特殊性，在中考中经常设置为以圆为载体的几何综合题。试题可分为两类：一类是传承旧教材试题的材料观点，思维方法与命题思路，考查学生逻辑推理的能力；另一类是把它设置成开放性试题，对考查学生思维能力和创造性能力有积极的作用，是近几年中考命题的新热点，对初中数学教学产生了导向性的作用。通常这类题目有：条件开放、结论开放、条件与结论都开放、解题策略的开放等；二、具体方法1.条件开放给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放的问题，从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件或将可能产生结论的条件一一列举，逐一分析。2.结论开放给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往显现多样性，或者相应结论的“存在性”需要进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题意信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论。三、典例分析例1.如图，已知点O为Rt△ABC斜边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB；(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时tanC的值.解：（1）证明：连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC。∵AB⊥BC，∴AB∥OE。∴∠BAE=∠AEO。∵OA=OE，∴∠1=∠AEO。∴∠1=∠BAE，即AE平分∠CAB。（2）2∠1+∠C=90°，。理由如下：∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC。∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°。当AE=CE时，∠1=∠C∵2∠1+∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°。∴tanC=tan30°=。评析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠BAE=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠BAE。（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，从而得到2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC。例2.如图，直线l与⊙O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，∠O=60°，（1）求CD的长；（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：AB是⊙O的切线．解：（1）解：∵OA⊥CD，∴H为CD的中点，即CH=DH。在Rt△OHD中，∠O=60°，∴∠ODH=30°。又OD=2，∴。根据勾股定理得：。∴CD=2HD=。

（2）证明：∵OA=OD，∠O=60°，∴△AOD为等边三角形。∴OD=AD。∴∠OAD=∠ODA。又∵AD=DB，∴∠DAB=∠DBA。∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°，∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°。又∵OA是⊙O的半径，∴AB为圆O的切线。评析（1）由OA垂直于CD，利用垂径定理得到H为CD的中点，在Rt△ODE中，由∠O=60°求出∠ODH=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OD的长求出OH的长，再利用勾股定理求出HD的长，由CD=2HD即可求出CD的长。（2）由OA=OD且∠O=60°，得到△OAD为等边三角形，可得出AD=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD=DB，利用等边对等角得到一对角相等，又这四个角之和为180°，等量代换可得出∠OAB为直角，即OA垂直于AB，即可得到AB为圆O的切线，得证。例3.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H。（1）直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长；（2）设PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值。解：（1）AC=4；AD=3，⊙O半径的长为1。（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°。∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB。∴，即。∴，即y与x的函数关系式是。（3）如图，P′H′与⊙O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。∴四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y。又由（2）知，，∴，解得。评析（1）连接AO、DO，EO，FO，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，由勾股定理得，∴⊙O的半径∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。（2）通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。（3）根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值。四、巩固练习1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD＝∠BAC.（1）求证：AC＝AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.2.如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α＋β=900（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OA=6，，求BC的长3.如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．4.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）ABCE=2DPAD．5.已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是EQ\O\AC(AB,\S\UP10(︵))的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．6.如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC=8，AB=12，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．7.如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延长OE到点F，使EF=2OE．（1）求⊙O的半径；（2）求证：BF是⊙O的切线．8.如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB.连接AD.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=,求△CBD的面积.9.如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点；②求图中阴影部分（弓形）的面积．10.已知，AB是⊙