4.3.2对数的运算学案高一上学期数学人教A版

人教A版（2019）高一数学必修第一册导学案4.【知识梳理】【知识点一】对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．【性质推导】①设M＝am，N＝an，则MN＝am＋n.由对数的定义可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n.这样，我们可得loga(MN)＝logaM＋logaN.②设M＝am，N＝an，则eq\f(M,N)＝am－n.由对数定义可得logaM＝m，logaN＝n，logaeq\f(M,N)＝m－n，即logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.【知识点二】换底公式前提条件原对数的底数a的取值范围a>0，且a≠1原对数的真数b的取值范围b>0换底后对数的底数c的取值范围c>0，且c≠1公式logab＝eq\f(logcb,logca)换底公式常见的推论：(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab，特别logab＝eq\f(1,logba)；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.【例题探究】【类型一】对数运算性质的应用【例1】计算下列各式：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)；(3)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.【方法归纳】对数式化简或求值的常用方法和技巧(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．(4)当真数是形如“eq\r()±eq\r()”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．【变式训练1】化简：(1)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(2)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；(3)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).【类型二】换底公式的应用【例2】(1)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.【方法归纳】换底公式的作用换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用.,注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数.【变式训练2】计算下列各式：(1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．(2)eq\f(log89,log23)×log6432.【类型三】对数运算性质的综合应用【例3】(1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求eq\f(x,y)的值；(2)解方程：logeq\r(2)eq\r(x)＋log2(x＋2)＝3.【方法归纳】应用对数的运算性质解对数方程的三种方法【变式训练3】(1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是()A．x＝－1 B．x＝2C．x＝1或x＝2 D．x＝－1或x＝2(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则logeq\r(2)eq\f(x,y)的值为________.【例4】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等为－26.7，天狼星的星等为－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．10 C．lg10.1 D．10【方法归纳】对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型公式，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.【变式训练4】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)【课堂小练】1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac2．2log32－log3eq\f(32,9)＋log38的值为()A.eq\f(1,2) B．2C．3 D.eq\f(1,3)3．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是______.4．若a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则由换底公式可知logab＝eq\f(lgb,lga)，logba＝eq\f(lga,lgb)，所以logab＝eq\f(1,logba)，试利用此结论计算eq\f(1,log321)＋eq\f(1,log721)＝_______.5．计算：(1)3log72－log79＋2log7；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.【答案解析】【类型一】对数运算性质的应用【例1】解：(1)方法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).方法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg(7eq\r(5))＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)×eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg10×0.6×2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.【变式训练1】解：(1)原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg104＝4.(2)原式＝eq\f(lg33\f(1,2)＋lg23－3lg10\f(1,2),lg\f(3×22,10))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(3)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))×eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.类型二换底公式的应用【例2】解：(1)原式＝＝＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).(2)由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝eq\f(log185×9,log1818×2)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(log185＋log189,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(log185＋log189,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).【变式训练2】解：(1)原式＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.(2)方法一：原式＝eq\f(log29,log28)÷log23×eq\f(log232,log264)＝eq\f(2log23,3)÷log23×eq\f(5,6)＝eq\f(5,9).方法二：原式＝eq\f(lg9,lg8)÷eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg32,lg64)＝eq\f(2lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(5lg2,6lg2)＝eq\f(5,9).类型三对数运算性质的综合应用【例3】解：(1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.所以－eq\f(x,y)－2＝0.解得eq\f(x,y)＝2或eq\f(x,y)＝－1.又因为x>0，y>0，x－yeq\f(x,y)＝2.(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.所以log2[x(x＋2)]＝log28，即x(xx1＝2，x2＝－4.因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.【变式训练3】(1)B解析：由真数大于0，易得x>1，原式可化为lg[x(x－1)]＝lg2⇒x(x－1)＝2⇒x2－x－2＝0⇒x1＝2，x2＝－1(舍)．4.解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以lgxy＝lg(x－2y)2，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.因为x>0，y>0，x－2y>0，所以x＝y应舍去，所以eq\f(x,y)eq\r(2)eq\f(x,y)＝logeq\r(2)4＝4.【例4】A解析：设太阳的星等为m1，亮度为E1，天狼星的星等为m2，亮度为E2，则m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，所以lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝10.故选A.【变式训练4】解：设原先容器中的空气体积为a，至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n<0.1%an<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4<lg0.001，所以n>,lg0.4)＝eq\f(－3,2lg2－1)≈7.5.故至少需要抽8次.【课堂小练】1．B解析：由换底公式得logab·logca＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lgc)＝logcb，所以B正确．2．B解析：原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38＝log3eq\f(4×8,\f(32,9))＝log39＝2.3．1.解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lg(eq\r(5)×eq\r(2