专题02等差数列

专题02等差数列目录TOC\o"13"\h\z\u题型一：等差数列的基本运算 3题型二：等差数列的证明与判断 8题型三：等差数列的前n项和 11题型四：“绝对值”求和 13题型五：等差数列中的恒成立 14知识点总结知识点总结1．等差数列的概念(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.(2)前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.该式又可以写成Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.3．等差数列的性质(1)与项有关的性质①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq\f(an－am,n－m).②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.(2)与和有关的性质①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和.若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n－1,n)(S奇≠0).③{an}为等差数列⇒eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列.④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)(bn≠0，T2n－1≠0).常用结论与知识拓展(1)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.(2)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值.②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.(3){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.例题精讲例题精讲等差数列的基本运算【要点讲解】在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.已知数列为等差数列，若，，则A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，由，得，，又，，即，得．．故选：．已知数列是等差数列，且，则A． B． C． D．【解答】解：因为数列是等差数列，且，所以，所以．故选：．在等差数列中，若，，则等于A．20 B．25 C．30 D．33【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，若，，则有，解得，则，故选：．在等差数列中，，，则A． B． C． D．0【解答】解：根据题意，等差数列中，有，又由，，则；故选：．如果一个等差数列的相邻4项是，，，，那么，的值分别是A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．无法确定【解答】解：一个等差数列的相邻4项是，，，，公差为，，，，，即这个数列中的，的值分别为2，7，故选：．公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：，，，等差数列的公差不为零，，，错误，正确，令，则，，，错误．故选：．在等差数列中，其前项和为，若，是方程的两个根，那么的值为A．88 B． C．110 D．【解答】解：在等差数列中，其前项和为，，是方程的两个根，，．故选：．在等差数列中，若，则A．13 B．26 C．39 D．52【解答】解：因为是等差数列，所以，解得，所以．故选：．已知等差数列的前项和为，，，则A．55 B．60 C．65 D．75【解答】解：设等差数列的公差为，，，，解得，，．故选：．设等差数列的前项和为，若，则A． B． C． D．【解答】解：在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：．已知等差数列和的前项和分别为，，若，则A． B． C． D．【解答】解：，，，等差数列和的前项和分别为，，，，即，．故选：．已知为等差数列，为其前项和，，，则A．36 B．45 C．54 D．63【解答】解：设等差数列的公差为，，则，故，即，解得，．故选：．已知等差数列的前项和为，若，，则A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，．故选：．已知等差数列的前项和为，若，，则A．77 B．88 C．99 D．110【解答】解：，，则，解得，，解得，，解得，．故选：．等差数列的证明与判断【要点讲解】证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列．【解答】解：（1）设各项均为正数的等差数列的公差为，，，，解得，，，数列的通项公式为；（2）证明：由（1）知，，，，数列是首项为，公差为的等差数列．已知数列，其前项和为．（1）求，．（2）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．【解答】解：（1），根据，解得．（2）证明：当时，．又满足，数列的通项公式为．，为常数，数列是以5为首项，3为公差的等差数列．数列的前项和为．（1）若，求证：数列是等差数列；（2）若，求证：数列是等差数列．【解答】证明：（1）当时，，当时，，综上，，其中，所以当时，，故数列是等差数列．（2）当时，．当时，有和，所以．即．所以当时，有，，从而，．即，其中．故数列是等差数列．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．【解答】证明：若选①②③，设的公差为，则，所以，即，故数列是以2为公比的等比数列，所以，所以；①③②，设的公比为，，则，又，所以，所以，当时，，时，适合上式，故，，所以数列是等差数列；②③①，因为数列是等差数列，则为常数，所以为常数，设为，所以，因为数列是等比数列，则，故，整理得，解得或（舍，所以．等差数列的前n项和【要点讲解】求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值.无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及取得最小值时的值．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，，得，，解得，，所以．（2）方法一：由知是递增数列，当时，；当时，．所以，所以当时，最小，最小值为．方法二：，又，所以当时，最小，最小值为．已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．【解答】解：（1）设的公差为，则，解得，所以．（2），所以当或时，取得最小值，最小值为．已知在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，则的通项公式为；（2）因为，令得：，令得：，故当时，取得最大值，其中，，故最大值为．“绝对值”求和【要点讲解】在等差数列中，解决涉及“绝对值”求和问题的关键是，把握好通项的“变号”特征，根据“变号”特征分别讨论，求解过程中，由于含有绝对值，可以直接分段求解，也可以间接求解．在公差为的等差数列中，已知，且．（1）求，；（2）若，求．【解答】解：（1）由，，，解得或，当时，，当时，；（2）由，，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，所以．已知数列是等差数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前17项和．【解答】解：（1）数列是等差数列，，．由题意可知，，故，故数列的通项公式．（2）令，解得，当时，；当时，，，数列的前17项和为217．等差数列中的恒成立已知等差数列的前项和公式为，，．（1）求的通项公式；（2）若对，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由题意可得，且，则，可得，，所以．（2）由（1）可得：，则，因为的开口向上，对称轴为，且，则当时，取到最小值，可得，即，所以的取值范围为，．已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为，所以，解得，所以公差，所以．（2）由（1）知，，所以，所以当时，取得最小值，因为对任意恒成立，所以，故实数的取值范围为．课后课后练习一．选择题（共6小题）1．等差数列的前项和为，且，，则A．45 B．49 C．56 D．63【解答】解：等差数列的前项和为，且，，，解得，，．故选：．2．设等差数列的前项和为，若，则A． B． C． D．【解答】解：在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：．3．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和A．5 B．45 C．55 D．110【解答】解：设等差数列的公差为，由题意知，，所以，解得或（舍去），所以，所以．故选：．4．已知等差数列，，，，的公差为，则，，，，为常数且，是A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．非等差数列 D．公差为的等差数列【解答】解：由题意，可得，，，，，是公差为的等差数列，故选：．5．已知等比数列的前项和为，且数列，2，是等差数列，则A．1或 B．2或 C．2或 D．或【解答】解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，化简得，解得或．当时，；当时，．故选：．6．在等差数列中，若，，则A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：设等差数列的公差为，由，，可得；故．故选：．二．多选题（共2小题）7．已知数列为等差数列，若，且数列的前项和有最大值，则下列结论正确的是A．中的最大值为 B．的最大值为 C． D．【解答】解：因为数列的前项和有最大值且，所以，所以，，，中的最大值，错误；的最大值为，正确；，错误；，正确．故选：．8．已知两个等差数列，的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：因为，所以，要使为整数，则为整数，即为整数，所以的取值可以是1，2，4，不可能为3，故选：．三．填空题（共4小题）9．已知等差数列的前项和为，若，，则等于42．【解答】解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，，由等差中项的性质可得．故答案为：42．10．已知是等差数列，，，则5．【解答】解：由，得，所以．故答案为：5．11．记为等差数列的前项和．若，，则144．【解答】解：设等差数列的公差为，则解得，，所以．故答案为：144．12．若关于的方程和，，且的四个根组成首项为的等差数列，则的值为．【解答】解：设方程的根是，，方程的根是，，，，四个根排成等差数列，不妨设为，，，，则，于是，，，因此，，，．故答案为：．四．解答题（共4小题）13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（1）选①，设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，，数列的通项公式为；选②，设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，，数列的通项公式为；选③，设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，，数列的通项公式为；（