第04讲5.3诱导公式

课程标准学习目标①掌握诱导公式的内容、规律适用范围。②了解诱导公式的作用。③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式理解与掌握诱导公式的内容，会用诱导公式进行相关的运算知识点一：公式二知识点二：公式三知识点三：公式四知识点四：公式五知识点五：公式六知识点六：公式七知识点七：题型01给角求值问题【典例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为的终边上有一点，所以，，故选：C【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得.（2）解：由三角函数的诱导公式，可得.（3）解：由三角函数的诱导公式，可得.（4）解：由三角函数的诱导公式，可得.【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）利用公式求下列三角函数值：(1)：(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.【变式1】（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）．【答案】【详解】由三角函数的诱导公式，可得：．故答案为：.【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各三角函数值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【【详解】（1）.（2）.（3）.题型02给值(式)求值问题【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又，所以故选：D【典例2】（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）已知，则.【答案】/【详解】因为，所以原式故答案为：.【典例3】（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则.【答案】【详解】由题意，，且，，则由，解得，则.故答案为：.【变式1】（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）若，则.【答案】/【详解】由，得，解得，而，则，所以.故答案为：【变式2】（2023春·湖南株洲·高二统考开学考试）已知，，则.【答案】/【详解】因为，，所以，又因为，所以，故答案为:【变式3】（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知，则．【答案】/【详解】由，又，故.故答案为：题型03三角函数的化简求值问题【典例1】（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中学校联考开学考试）已知在平面直角坐标系中，点在角终边上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，所以原式.故选：B.【典例2】（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）根据诱导公式，所以;（2）由诱导公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由三角函数定义知：，又为第二象限角，.（2）.【典例4】（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得，所以；（2）由，得，则.【变式1】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知是第三象限角，且，则．【答案】2【详解】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案为：2【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）化简：．【答案】【详解】原式．【变式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）已知，，求的值.【答案】/【详解】因为且，且为第二象限角，所以，可得，又由.【变式4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）（1）已知方程，求的值．（2）已知，求的值；【答案】（1）；（2）【详解】（1）∵，∴，可知，所以.（2）由可得，，所，因为，所以，，则.题型04利用诱导公式证明三角恒等式【典例1】（2023·全国·高一假期作业）求证：＝．【答案】证明见解析【详解】左边.右边.∴左边＝右边，故原等式成立．【典例2】（2023秋·高一课时练习）设.求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：左边把代入，得原式右边，故原等式成立.【变式1】（2023·高一课时练习）求证：．【答案】证明见解析.【详解】左边==–tanα=右边，∴等式成立．【变式2】（2023·高一课时练习）若，求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：若为偶数，则左边；若为奇数，则左边；左边=右边，所以原式成立.题型05诱导公式在三角形中的应用【典例1】（2023·高一课时练习）中，若，则形状为．【答案】直角三角形【详解】解：，，，即，又，即，则为直角三角形．故答案为：直角三角形.【典例2】（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习）已知角A为锐角，，(1)求角A的大小；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，由角A为锐角，则，所以，故．（2）∵，由（1）可得，即．【变式1】（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）若的内角A，B，C满足，则A与B的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，且A，B，C为的内角，因为所以所以或，若，则，此时不存在，故舍去；∴.故选：A.【变式2】（多选）（2023春·福建南平·高一统考阶段练习）已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：因为三角形为锐角三角形，所以，则，所以，A选项正确；同理，则，，因此，，B，C选项正确；由于，所以在是增函数，又，所以，D选项错误．故选：ABC．题型06诱导公式与同角函数基本关系的应用【典例1】（2023春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）已知，则．【答案】【详解】因为，所以．故答案为：．【典例2】（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，∴角的终边经过点，∴（O为坐标原点），根据三角函数的定义可知，，∴.（2），，，.【典例3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）给出下列三个条件：①角的终边经过点；②；③．请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)若为第四象限角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)2(2)【详解】（1）选①，方法一：角的终边经过点，因为为第四象限角，故，点到原点的距离为，所以，故方法二：角的终边经过点，所以，所以，解得，又为第四象限角，所以故选②，由得，，所以所以故选③，由得，因为，，所以，故，所以解得，又为第四象限角，所以，，故．（2）方法一：由（1）得，方法二：由（1）得，所以为第二或第四象限角选①②③都可得，若为第二象限角，则，．为第四象限角，则，．所以*式,或*式【变式1】（2023·全国·高二专题练习）（1）求的值.（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）；（2）因为，所以.【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)化简(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得.（2）由（1）知．∵，∴，∴.又，∴，∴.∴.【变式3】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知.(1)化简；(2)若，且为第四象限角，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）由题知，因为第四象限角，，则.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023春·新疆阿克苏·高一校考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】.故选：A.2．（2023春·河南驻马店·高一校联考期中）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切的诱导公式计算．【详解】．故选：C．3．（2023春·河南驻马店·高一校联考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式计算.【详解】.故选：B．4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．【详解】角和角的终边关于直线对称，则，．=故选：B．5．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】.故选：A6．（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知函数，，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由诱导公式可得，可求的值.【详解】∵，∴，∴．故选：C7．（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可.【详解】

又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：.8．（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件化简求出的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.【详解】由，解得或．因为是第四象限角，所以，故．故选：D.二、多选题9．（2023·全国·高二专题练习）以下各式化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误；故选：ABC10．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边过点，角的终边与角的终边关于y轴对称，将OP绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A选项，由三角函数的定义得到；B选项，由位置关系得到，；C选项，利用诱导公式得到答案；D选项，先求出，由诱导公式得到D正确.【详解】A选项，由题意得，A正确；B选项，角的终边与角的终边关于y轴对称，故，，故，，B错误；C选项，由B可知，故，C正确；D选项，，故，故，D正确.故选：ACD三、填空题11．（2023春·江西萍乡·高一统考期中）若，则．【答案】【分析】利用同角三角函数的商数关系及诱导公式计算即可；【详解】由，即，而，故.故答案为：12．（2023秋·高一课时练习）如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为，，则.【答案】【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可.【详解】因为A点的坐标为，所以，又因为，所以故.故答案为：四、解答题13．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【详解】（1）根据诱导公式，所以;（2）由诱导公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.14．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.(1)若，求及的值；(2)若，求点的坐标.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；（2）根据同角三角函数关系的转化求得进而求解即可.【详解】（1）若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，若，则，则，可得（2）由题意知，又，①两边平方，可得，可得，可得，②联立①②，可得所以点P的坐标为15．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由三角函数定义知：，又为第二象限角，.（2）.16．（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）已知，，求的值.【答案】/【详解】因为且，且为第二象限角，所以，可得，又由.B能力提升1．（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】

又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：.2．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）若的内角A，B，C满足，则A与B的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，且A，B，C为的内角，因为所以所以或，若，则，此时不存在，故舍去；∴.故选：A.3．（2023·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D