3.2.2双曲线的简单的几何性质（重难点突破）原卷版

3.2.2双曲线的简单的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长重难点题型突破一求双曲线的标准方程例1．（1）、（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2）、（2021秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围是．【变式训练11】、（2023·全国·高三专题练习）在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径（喉部直径）为60m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）（

）A． B．C． D．【变式训练12】、（2023秋·江西吉安·高二宁冈中学校考期中）（多选题）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则C．若是双曲线C的一个焦点，则D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2重难点题型突破二双曲线的简单的几何性质例2．（1）、（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为.（2）、（2023秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期中）（多选题）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的坐标为C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4【变式训练21】、（2023秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为右支上一点，，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为.【变式训练22】、（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．重难点题型突破三定点与定值问题例3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.【变式训练31】、（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．重难点题型突破四范围与最值问题例4．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值.【变式训练41】、（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点(1)求双曲线的标准方程．(2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值．重难点题型突破五冲刺满分例5．（1）、（2023·广东广州·统考模拟预测）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．（2）、（2023春·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为.【变式训练51】、（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）定义：若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形与三角形有相同的“等线”．则对于下列四个结论：①；②等线必过多边形的重心；③始终与相切；④的斜率为定值且与a，