2023-2024学年湖南省衡阳市八中高三上学期10月月考（二）数学试题及答案

衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）B{x|xA1Ax|0x2B（））A．{x|0x{x|1x．{x|0x或D．{xx0x2A）对应的点的坐标为（（B，）0，﹣1）f(x)f(x)D01）3R上的偶函数f(x)x12[0,)(12)210））21A．ff(2)f．f(2)ff．fff(2)ff(2)fD．d04a的公差为n项和为S“是“3nS2nS2nSn”的（nnA．充分不必要条件B．必要不充分条件．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布(105σ2)，且成绩优良（不低于120的人数为360（）A．360B640．720D780x22y2F16．椭圆1a3的左、右焦点分别为，F，A为上顶点，若△AFF的面积为△AFF的周长为321212a3（）A．8B7．6D57．设函数fxexx（其中eafx0恒成立，则实数m的取值范围是（））111,B．e,C．e2,,D．2A．e2e8．如图，在三棱锥SSASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是2，则三棱锥S外接球的表面积是（43A．．4πC．4D．π3二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）试卷第1页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}9ab(2,4)A．(ab)a．|2ab10．向量a,b的夹角为（）D．b在a方向上的投影向量是a420231a，2024．设等比数列a项和为项积为T，若满足nSn0a，aa10nnn174040列选项正确的是（）1S2024A．a为递减数列B．S2023T1n的最小值为4047nCnnDnfxcos2x2x（）．直线x是函数fx图象的一条对称轴A．函数fx在区间,上单调递增6232D程fxaxC数fx的值域为最多有88π2y2．已知直线l:ykx2交轴于点M:x2y21，过点PM的两条切线，切点分别为，B，AB与交于点（）A．若直线lM相切，则kC．直线AB经过一定点k2时，四边形PAMB的面积为27D．已知点Q,0CQ为定值4三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828将自然常数的前6位数字271828进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个28不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有1aef0处的切线与直线yxx垂直，则a．曲线fxx.2．为菱形且侧棱的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若DADHDB4，3.则三棱锥F的体积为__________________a0，平行于轴的直线xl:ya分别与函数ay2x和y2x1的图像交于点A，B，若函数y2x的图像上存在点C，满足为等边三角形，则．四、解答题（本大题共6小题，共70分）试卷第2页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}3．已知△的内角，，C的对边分别为abc，若△的面积为，1且cb．2(1)A的大小；3(2)设M为的中点，且a的长度．2．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过abc三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格341212率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；(2)若每个工艺品为特等品可获利30010020元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．1中，B=9022，ACDO为E在边上，且2将ACD进行折叠，使点D运动到点F2FBFE4．(1)证明：．(2)求二面角EC的余弦值．在函数n1．若数列An1A2n，则称数列A为平方递推数列”．已知数列aa9a,annn1nf(x)x2x的图象上，其中n为正整数，2(1)证明：数列a1“平方递推数列”，且数列a1为等比数列；nna,ab,(2)设na1,cn4，定义a*bdb*cd，且记，求数列nS．nnnnnnnb,ab,试卷第3页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}x22y21ab0FA，M在线段ABBb，1C:ab2且满足3，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.E1a0.．已知函数fxxax，x(1)fx极值点的个数；212(2)若fx恰有三个零点t,t,ttt2t和两个极值点x,xxx.123131ⅰ）证明：fxfx0；12m1memnmmnn，证明：nn.ⅱttt123试卷第4页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}参考答案：1A2C3D4C5B6C7A8A910BC12ACBCDACD833613.3614.115.．32是公差为的等差数列，所以4C【详解】因为数列adnnn2n(2nn(5nS3nS2n1S2nS2nad21d1nnd，2222n(2nn(nd1d1d，所以S3nS2n(S2nSn)n2d，n1222若等差数列的公差d0n2d0，所以SSSS，故充分性成立；d0，所以，故必要性成立，an3n2n2nnSSSSSS(S2nSn)n2d0若3n2n2nn3n2n”“SSSS”所以“d0是的充分必要条件，故选：3n2n2nn5B【详解】因为P(XP(XP(X1P(X，所以，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为1000.故选：Bx22y2c6C【详解】设椭圆1a3的半短轴长为b，半焦距为，a31则b3，△AFF的面积S12bc122由题知c3，所以c1，ab2c22，a4FFc2426故选：，所以△AF12的周长为由椭圆的定义知x1212mexxex)0gx,hx)ygxyhx和函数的图象，7A【分析】由题意可得(aya)(axxxxya一个在直线【详解】函数fx的定义域为)，mexxxex由fx0(axmex)axx0，所以(a)(a)0g(x),h(x)，xxxxyhxyaya上方，一个在直下方，等价于一个函数的由题意知，函数ygx和函数的图象，一个在直线最小值大于另一个函数的最大值，x1x由g(x)(x0)g(x)，所以当xegxgx单调递增，xx2lne1e当x(e,)gxgx单调递减，所以gxgg(x)，没有最小值，答案第1页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}mexmexxmexme(xx由h(x)(x0)h(x)，xx2x2x上hxhx单调递增，在上单调递减，所以有最大值，hx当m0时，在无最小值，不合题意，x上xhxx)上xhxx)hxhx当m0,)．故选：A．2(x)e，1e11，所以m2h1ge即em的取值范围为(ee8SB的正切值求得2,,此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E是的中点，连接EB,ES，由于SASC,ABBC，,，所以是二面角SB的平面角，所以2，sin3得.由13sin22222226，2，2SEBEcosSEB2，所以2，在2222在2222在△SEB中，由余弦定理得：SBSE2BE222，所以,,两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.R22，故选：A.设正方体外接球的半径为RR3，所以外接球的表面积为A正确；aba31130abaab9【详解】对于，，2ab2342，2ab22225B错误；4a,bbab2ab123a131042，222225ab252即向量a,b的夹角为C正确；4abaaaD，b在a方向上的投影向量是D错误.故选：2aA.由条件可知，10，a与a7a07a04040a40401q40390q0，1若0q1，数列单调递减，则07,4040，那么740401，与已知矛盾，答案第2页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}若q10aaa，则那么740401，与已知矛盾，174040qa单调递增，故A错误；n只有当q1，才存在aa1，所以等比数列740401a0，a单调递增，所以202320241，nB.a20232024a2024S2024S20231S20231S2024B正确；则C.q1202320241，所以当nn最小，故C正确；D.根据等比数列的性质可知，aa140461，1a4045a21T1n时，的最小值为4046D错n740402023.故选：．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.fxcos2x2x,xR，f(x)2x)2|x)|2x2|sinx|f(x)，y则f(x)是偶函数，图象关于轴对称.f(x)x)2sin(x)2x2xf(x)f(x)T.是周期函数，周期f(x)x)2x)2x2x又且222f(x)x)2x)2x2x，222kf(x)f(x)x,kZf(x)的对称轴.f(x)图象关于x轴对称，故直线2222当xsinx0，213f(x)2x2sinx2sin2x2sinx12(sinx)2则，2213232f(x)yt)2与txtsinx,x复合而成的函数，令tx可看成由单调递增，21212xtyt)2当当，单调递增，则f(x)单调递增；621213x,t,1yt)2，单调递减，则f(x)单调递减；622232且f(x)minff()f(x)f().max26结合以上性质，作出函数fxcos2x2x,x0,2π的大致图象.62A，函数fx在区间,上单调递减，故A项错误；，直线x是函数fx图象的一条对称轴，故B项正确；2答案第3页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}3fx的值域为32x[0,]时，函数，由函数周期Tπ，函数2fx的值域为C项正确；xi,ixxxx，8D，如图可知，方程fxa最多有8个根，设为，不妨设123x2π时，函数f(x)x对称，当则的图象关于8x(xx)(xx)(xx)(xx)428，i18273645i1即这些根之和为8πD项正确.故选：．k即可判断AkP0,4PM,M,B,PAB过定点及PMAB可得MCN90C为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q，即可判断D.4k1，解得k【详解】解：对于A，若直线lM相切，则圆心到直线的距离，所以A正确；1k2k2P4，M0，425，PA,PB为圆的两条切线，所以PAMPBM90，1PM2119，所以B错误；所以四边形PAMB的面积S2S△PAMAMPA，因为P2k，M2,0PAMPBM90，4k2,M,B,P四点共圆，且为直径，所以该圆圆心为k，半径为1k，22221k，2所以圆的方程为：x1ykAB是该圆和圆M的相交弦，所以直线AB的方程为两圆方程相减，即x122x22y21k1，化简可得：:2x302yk，32N,0，所以C正确；所以直线AB经过定点32D，因为，所以MCA90，因为N,0在直线AB上，所以MCN901423274C为直径的圆上，因为M0，N,0，所以圆心为,0，半径为1，427，圆心为Q,0，47所以圆的方程为：xy41216答案第4页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}141因为点C在该圆上，所以．．为定值，所以D正确．故选：4【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，2捆绑看作一个元素与148插入其中的28均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有A33C24．故答案为：36.．11x垂直，f02，fx【详解】f0y在处的切线与直线2xexxaexa1e，xxf0a12，解得：a1.故答案为：1.又f8315.3【详解】设ACBDO，P，由已知可得：平面，因为平面，平面，，同理可得：，所以四边形为平行四边形，P为的中点，O为OP//AE3DH4以BF2.1SBFGBFBC4.2，FB，女平面，所以，所以点A到平面的距离等于点E到平面的距离，为23.1383.所以FBEGEBGFABGFSBFG233【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.6．32【详解】直线l:ya2xax2a，即点A2,a，x2a1，即点Baa，于是1，由2x1aAB23如图，取AB的中点D，连接CD，由正，CD，213显然点C不可能在直线l上方，因此点Ca,a)，而点C在函数y2x的图象上，222答案第5页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}6322313a36a则a22a，解得a3，所以a3.222422221262故答案为：3．(1)A，(2)a=7333）因为△的面积为，所以bcsinAA3，222bcsinAbccosA1，所以A1，所以3A3，0,A，所以A32）因为A，所以bcsin32，33在中，由余弦定理得a2b2c2bccosAb2c2，23414a2c2121222223在△ABM在△ACM中，，BM，CMBCBCa,ABc，由余弦定理得，，3122a2231a2b222231144a,ACb222231a222，所以0，34131a2c2a2b244432123120，所以a2c2b20b2c22a，3131a22a222223212a2a2a7，所以a=7222．(1)；(2)分布列见解析，数学期望为..311422161）记“加工一件工艺品为废品”为事件APA111，1516则加工一件工艺品不是废品的的概率PA1PA．2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100-20100300，134121214112141125100，，PXPX20162216311231114112731123100，PX300，PX424222164216则随机变量X的分布列为：答案第6页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}XP-2010030015731615731752故EX10020．100300161616163．(1)证明见解析(2)2）证明：连接OB，为等腰直角三角形，ÐB=9022，所以4，1O为边的中点，所以2，2在等边三角形4，O为边的中点，所以FOAF2AO23，2又4，所以OB2FB22FOOB，O，，，所以．2）方法一：因为是等腰直角三角形，ABC90，O中点，，由（1，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，，z轴的正方向建立空间直角42,,04833A2,00,2,23，EF0,0,23,,0，，，以33设平面FAE的法向量为n,,z，2y23z00n23,3,1，由4z183n0x3y0易知平面的一个法向量为m1,0,0，设二面角EC的大小为θ，mn3|cos|则，mn23由图可知二面角EC为锐角，所以二面角EC的余弦值为．2方法二：作EMAC，垂足为M，垂足为N，连接，，，，所以又因为O，AC,，所以，答案第7页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}又，所以EMAF，,又，M，，所以，又，所以，又平面AFC，所以二面角EC的平面角为，2343123EM，，所以，所以，32388343在，2，所以，3322443383322EC的余弦值为．33222nn且n*,．(1)证明见解析(2)Snn252且nN*.nnf(x)22x的图象上，点a,a在函数an1a2n2a，nnn1an1an1,121是平方递推数列．an“”a10a1n21lga2lga1两边同时取对数得，1n1n1n1为首项，2为公比的等比数列．a1n2）由（ba112n12n1，nnn4n4bcnnbcbcn由数列的通项公式得，当．nnna,ab,b,ab,2n1,n，nN*,a*bdb*cdnnnnnn，n*12n当n4且nN*Sn1n2n1；12当n4且nNSbbbbccc*n123456n(n2n4)241n5n21，222nn且n*,S综上，n252且nN*.nnny211(2)存在，E,02．(1)x231，3，直线OM的斜率为，求得1a,b,c之间的关系式，解得的值，进而求a,b答案第8页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}出双曲线的方程；2）设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为PEQ的角平分线，可得直线EP,的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E的坐标．2a2b2c0，所以Fc,0，Aa,0，Bb，c31因为点M在线段AB上，且满足3，所以点Ma,b，31311ba313b13因为直线OM的斜率为1，所以，所以，a31y21ca1a1，b3，c2.所以双曲线C1.2）假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有的方程为x23恒成立，；当直线l的斜率存在且不为0时，设Et,0，直线l的方程为xky2，33l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则k且k0，332yx21k1y129Px,yQx,y220，k10，236k0，2设，31122x2k912yy，12，k21k21PEQ，kEPkEQ0，，所以EF121y200y2tyy0，1212有1t2t12tky22t912k122t0k0，解得t2k.k21k1212E,0.综上所述，存在与F不同的定点E，使得恒成立，且【点睛】方法点睛：x(或y)0弦长、斜率、三角形的面积等问题．答案第9页，共页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}1212．(1)当a,fx无极值点当0afx时,有两个极值点；(2)ⅰⅱ）证明见解析.a）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；121xfx，即可得证；2）(i)由(1):0a,且xx1又得出f1211mem(ii)ttt1hxxx,x0,0mn1，要证明:nn1，只需123ettt123:1m1mn1n1，只需证:1mn1(显然,nn1)，即证明:mn1，又因为1mmnnmnnnn，令xxx1,利用导数证明n1即可.xx,e1aaxxa2xax0，）由题知:fxx2x2设函数gxax2xa,1