2025年湖南长沙市拔尖选拔自主招生数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年长沙市12月拔尖创新人才选拔考试数学时量：180分钟总分：210分第一卷（满分150分）一、选填题（共8小题，每题10分，满分80分）1．计算：．2．自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯．自动扶梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要秒．3．两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人用直线赛道，其长度为5千米．骑车人用10分钟完成3圈，而骑车人用5分钟行进了2个来回．那么骑车人与骑车人的速度比是（

）A． B． C． D．4．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了个桃子．5．如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有条线段长度为整数．6．从1、2、3、…、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的取法有（

）．A．6种 B．7种 C．8种 D．9种7．若一个四位数是一个数的平方，则．8．从小明家到游泳池的路上有200棵树．在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树上做标记，去游泳池的时候，他在第1棵树、第6棵树、第11棵树、…上做了标记，每次都隔4棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第1棵树、第9棵树、第17棵树、…上做了标记，每次都隔7棵树标记一棵．则他回到家时，没有被标记的树共有棵．二、几何题（共4小题，每题10分，满分40分）9．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？10．如图，是一个长方形，从、、引出的小横线都平行于．若，则等于多少？11．影院正在放映《玩具总动员》《冰河世纪》《怪物史莱克》《齐天大圣》四部动漫电影，票价分别为50元、55元、60元、65元．来影院的观众至少看一场，每位观众购买一或两张电影票．因时间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有200人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？12．现有四种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在三棱柱各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？三、解答题（共2小题，每题15分，总分30分．要求写出详细过程）13．将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除．则的最小值是多少？14．如图，在边长大于的正方形中，有一个最大的圆，若圆周上一点到的距离为，到的距离为．则圆的半径是多少厘米？附加卷（满分60分）四、填空题（每题10分，共30分）15．老师让小航在试卷上写出某个自然数的所有因数，然后分别计算这些因数的个数与总和．小航的计算结果是“共有10个因数，总和是100．”老师批改时发现，小航将其中一个因数多写了一遍，导致两个答案都错误了．那么小航多写的因数是．16．将三位数与不改变各自数字的前后顺序组合到一起，可以得到很多六位数，例如：，，，都符合条件，但就不符合条件，容易知道符合条件的六位数有个．那么，如果将四位数与类似的组合到一起，一共能得到个不同的八位数17．如图，、、分别为三角形中、边上的点，且，，，三角形的面积为，三角形的面积为．那么，三角形的面积为___________．五、解答题（每题15分，共30分）18．甲、乙、丙容器中分别有浓度为和的盐水溶液．从乙容器中取出m克盐水倒入甲容器，再给乙容器加入一些清水，当甲、乙容器盐水重量相同时，乙容器的浓度恰好是甲容器的2倍；再从丙容器中取m克盐水按的比例倒入甲、乙两个容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三个容器中盐水的重量相等，这时三个容器中盐水浓度恰好也相同．若最初乙容器中的盐水重量比甲容器多60克，那么，原来丙容器的盐水重量是多少克？19．四年一届的疯狂动物城市长大选进入到最后的计票阶段．树獭“闪电”担任计票员，他每清点一张选票，就会立即在大屏幕上更新两位候选人最新的得票数和已经开出的总票数，并以最简分数的形式表示出两位候选人的实时得票率（实时得票率得票数已经开出的总票数）．兔子警官“朱迪”将候选人狮子在屏幕上出现过的每个实时得票率都记录在了自己的笔记本上，他发现，虽然第一张选票没有投给狮子，但最终狮子获得了超过的选票(1)请说明：一定出现在所有“朱迪”的记事本里．(2)一共有多少个大于的分数一定出现在所有“朱迪”的记事本里？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．2013【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解的计算，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解分子和分母中的表达式，然后约分计算．【详解】解：原式．故答案为：2013．2．36【分析】本题主要考查了行程问题中速度、路程与时间的关系，熟练掌握速度=路程÷时间是解题的关键．根据路程、速度、时间的关系，先表示出小孩行走速度和扶梯运行速度，再利用合速度公式求出小孩在运行扶梯上的总速度，最后用路程除以总速度得到所需时间，全程列综合式计算．【详解】解：，∴小孩从扶梯底端到达顶端需要秒，故答案为：．3．D【分析】本题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系；的速度基于圆形赛道周长和完成圈数，的速度基于直线赛道长度和来回次数，计算骑车人和的速度，然后求速度比即可．【详解】解：∵骑车人的赛道直径，∴周长，在10分钟内完成3圈，∴总距离，∴速度；∵骑车人的赛道长度，一个来回距离为，∴2个来回距离，用5分钟，∴速度；∴速度比，即，故选：D．4．20【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系．设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数．【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余；则猴老二取走较多部分，猴老三得到；由题意得，，，，解得，所以猴老二取走个桃子，故答案为20．5．110【分析】本题主要考查了勾股定理计算直角三角形的边长和算术平方根的计算，熟练运用勾股定理是解题的关键；首先观察图形可知，边长为1的线段有（条），再根据勾股定理求出每个直角三角形的斜边长，找出开方后为整数的边的个数，最后加上101即可求解．【详解】解：观察图形可知，边长为1的线段有（条），根据勾股定理分别求出每个三角形斜边的长为：，，，，，；根据，，，；可知三角形斜边的长中有9个开方后为整数，即三角形斜边的长中有9条边的长度为整数，则（条），∴构成这100个三角形的所有线段中有110条线段长度为整数，故答案为：110．6．B【分析】本题主要考查了有理数加法运算，通过枚举所有可能组合，使得所选数字中偶数之和等于奇数之和，共得到7种符合条件的取法．【详解】解：从1、2、3、…、7中选择若干个数，其中奇数为1、3、5、7，偶数为2、4、6，满足偶数之和等于奇数之和的组合有：，，，，，，．综上，共有7种．故选：B．7．9【分析】本题考查了完全平方数，正确求出这个数的取值范围是解题关键．设四位数是的平方，其中为正整数，先求出，再分别求出，，，，时，其平方数，由此即可得．【详解】解：由题意，设四位数是的平方，其中为正整数，∵四位数在5004与5994之间，个位数字为4，且，，，，∴，当时，，符合题意，此时，则；当时，，个位数字为9，不符合题意；当时，，个位数字为6，不符合题意；当时，，个位数字为5，不符合题意；当时，，个位数字为6，不符合题意；综上，，故答案为：9．8．140【分析】本题考查找规律，分别计算去时和返回时标记的树的数量，再求重复标记的树的数量，最后用总树数减去被标记的树数，即可解题．【详解】解：去时标记的树有：（棵），去时标记的树反过来为：在倒数第5棵树、倒数第10棵树、倒数第15棵树、…上做了标记，每次都隔4棵树标记一棵；返回时标记的树有：（棵），重复标记的树为与的公倍数有：（棵），未被标记的树共（棵）．故答案为：140．9．【分析】本题主要考查了图形的拆分的应用；根据沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿面切割后的，即可求解．【详解】解：如图1，沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，如图2，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿平面切割后的，∴含有顶点的那一块占正方体体积的，答：含有顶点的那一块占正方体体积的．10．．【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．如图，、、分别交于、、，根据得出，，，，根据相似三角形的性质分别求出，，根据，求出的长即可．【详解】解：如图所示：、、分别交于、、，∵是一个长方形，∴，，∵从、、引出的小横线都平行于，∴，∵，，∴，，∴，，∴，，，∵，∴，，∴，，∴，，，，∵，∴，∴，即，解得：．11．1792【分析】此题考查了鸽巢原理，首先根据题意求出只看一场电影的情况和看两场不同的电影的情况，然后合并所有花费金额值共9种，然后利用鸽巢原理得到要保证至少200人花费相同，最坏情况下每个花费金额最多有199人，进而求解即可．【详解】解：观众可能的花费金额来自以下方式：只看一场电影有4种选择：花费50元、55元、60元、65元，∵看两场不同的电影，但《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，∴有5种组合：《玩具总动员》和《冰河世纪》共元，《玩具总动员》和《怪物史莱克》共元，《玩具总动员》和《齐天大圣》共元，《冰河世纪》和《齐天大圣》共元，《怪物史莱克》和《齐天大圣》共元，∴合并所有花费金额值：50、55、60、65、105、110、115、120、125，共9种，∴根据鸽巢原理，要保证至少200人花费相同，最坏情况下每个花费金额最多有199人，∴总观众数至少为人．∴影院今天至少接待1792人．12．【分析】根据题意，分步进行，第一步，为、、三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得其情况数目，第二步，在、、中选一个装第种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．【详解】解：根据题意，每种颜色的灯泡都至少有一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分步进行，第一步，为、、三点选三种颜色灯泡共有种选法；第二步，在、、中选一个装第种颜色的灯泡，有种情况；第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为、，若与同色，则只能选点颜色；若与同色，则有、处两种颜色可选．故为、选灯泡共有种选法，即剩下的两个灯有种情况，则共有种方法．答：安装方法共有种．故答案为：．13．1077205【分析】本题考查质因数的应用，根据，若使最小，则质因数要尽量平分，可得．【详解】解：1到30的自然数中质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，合数有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，；一共是26个2，14个3，7个5，4个7，2个11，2个13，1个17，1个19，1个23，1个29；，若使最小，则17，19，23，29，必为A的因子，偶数幂的因子均分，奇数幂的因子余1个5，则，故答案为1077205．14．圆的半径是厘米．【分析】本题考查切线的性质、矩形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理，是解题关键．如图，设与圆相切于，连接，过点作于，于，延长线交于，连接，得出四边形是矩形，，，设圆半径为，在中，利用勾股定理，列方程求出的值即可得答案．【详解】解：如图，设与圆相切于，连接，过点作于，于，延长线交于，连接，∴，四边形是矩形，∵点到的距离为，到的距离为，∴，，设圆半径为，∵边长大于的正方形中，有一个最大的圆，∴，∴，，在中，，∴，解得：，（小于，不符合题意，舍去），∴圆的半径是厘米．15．9【分析】本题考查了因数、质数，熟练掌握因数和质数的应用是解题关键．设这个自然数为，实际9个因数的总和为，则可设，或，其中为不同的质数，写出这9个因数，再分两种情况：①当是最小的质数组合时，②当不是最小的质数组合时，代入计算进行检验分析，由此即可得．【详解】解：设这个自然数为，实际9个因数的总和为，∵这个自然数有9个因数，∴可设，或，其中为不同的质数，若，则这9个因数分别为，，，，，，，，，即使取最小的质数2，此时，，不符合题意；∴，∴这9个因数分别为，，，，，，，，，①当是最小的质数组合，即时，则，，此时多写的因数是，且9是36的因数，符合题意；②当不是最小的质数组合，如当时，则，不符合题意，同样的方法可知，当其他质数组合时，均大于100，不符合题意；综上，小航多写的因数是9，故答案为：9．16．【分析】本题主要考查了组数的问题．根据题意可得到的八位数十末位数字只能是)、、、)，然后依次枚举即可．【详解】解：当这八位数的首末位数字是)，即八位数为□□□□□□．要么个数字在一起，即、、；共有种情况；要么4个数字中插入一个组合为、、；共有种情况；共有（个），同理：当这八位数的首末位数字是，即八位数为□□□□□□，也有个．所以共有（个）当这八位数的首末位数字是时，即当八位数为□□□□，则只有，种情况；当八位数为…………时，因为到之间有个，到之间也有个，则按照和之间有没有进行枚举，没有，则有，种情况；和之间有个，则有、，种情况；和之间有个，则有、、，种情况；和之间有个，则有、，种情况；和之间有个，则有，种情况；即有（个）同理：当这八位数的首末位数字是时，也有个．所以共有（个）综上一共能有（个）答：如果将四位数与类似的组合到一起，一共能得到个不同的八位数．故答案为：．17．【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定及三角形面积，熟练掌握相似三角形的判定定理及同高的两个三角形的面积比等于底边的比是解题关键．【详解】解：如图，连接，过点作于，延长，交于，过作，交延长线于，∵，，∴，∵，∴，∴，，即，∴，∴，，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴．18．200克【分析】本题考查了溶液的浓度，二元一次方程组的应用，比例分配，正确理解溶液的浓度是解题的关键．先设甲初始重量为x克、乙为克、丙为y克，结合“乙取m克入甲后，乙浓度是甲的２倍”建立方程，得；再根据“丙取m克按倒入甲、乙后，三容器重量和浓度均相同（盐量相等）”，分别表示出甲、乙、丙的最终盐量，通过甲、乙盐量相等联立方程，求出，最后利用甲、丙盐量相等求出．【详解】解：设甲容器初始重量为克，则乙初始重量