专题5.4 三角函数综合练（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题5.4三角函数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）角终边上有一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义求解.【详解】因为角终边上有一点，所以,所以，故选:D.2．（2023秋·浙江杭州·高三杭师大附中校考期末）若函数在[0,a]上的值域是,则实数a的最大值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】设,当,则,画出的函数图像分析即可.【详解】设,当,则，画出的图像,要使，必须,所以，所以实数的最大值为.故选:C3．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】对每一个函数逐一研究其周期即可得解.【详解】①，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故②满足题意；③函数的周期为，故③满足题意；④函数的周期为，故④满足题意.故选：B.4．（广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求，再将目标式化为齐次式求解即可.【详解】由已知得：，所以.故选：A5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数在上单调递增，则f（x）在上的零点可能有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据条件求出的取值范围，再运用整体代入法求解.【详解】由，，即只能取0，得，因为在上单调递增，则解得，由，则，设，则，因为，，所以函数在上的零点最多有2个；故选：A.6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为（x，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为，则约为（

）A．0.55 B．0.65 C．0.75 D．0.85【答案】A【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即可计算出的值.【详解】由旋转楼梯高为知，投影到轴截面上后，对应曲线中，游客移动的水平距离是15.6，∵初始时游客在最底端，∴当时，初相为，∵整个运动过程中，相位的变化量为，且最后游客在最高点，∴最后的位置，∴，解得：，故选：A.7．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．在区间上单调递减B．到的图像可由函数的图像向右平移个单位得到C．是图像的一条对称轴D．的最大值为【答案】D【分析】结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可.【详解】因为，所以，对于A：1弧度，所以，当时，所以，所以在上单调递增，故A错误；对于B：将图像向右平移个单位得到，即B错误.对于C：由导数的性质得，所以不是极值点，即不是的对称轴，故C错误；对于D：当时，且，所以，故D正确；故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角恒等变换运算求解.【详解】由题意可得：，则.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2022春·高三课时练习）下列说法中正确的有（

）A．若，则B．已知角，若，则C．已知角，若，则D．对于任意角都有【答案】AC【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】对A，因为，所以，正确；对B，，，的值为负数，不正确；对C，，在第一象限，则，正确；对D，当时，，不存在，故不正确.故选：AC.10．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．B．若把图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C．若把函数的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数D．，若恒成立，则的最小值为【答案】AD【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系求出变换后的解析式即可判断出B、C，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.【详解】，，由图可知，将点代入解析式得，所以，A正确；图象上各点的横坐标缩短为原来的得，所得函数增区间为，B错误；的图象向右平移个单位得，C错误；，分离参数可得，时，，，所以的最小值为，D正确.故选：AD11．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）一半径为的水轮示意图如图所示，水轮圆心O距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点）开始计时，则（

）A．点P距离水面的高度与之间的函数关系式为B．点P第一次到达最高点需要C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点P距离水面的高度不低于D．当水轮转动时，点P在水面下方，距离水面【答案】AC【分析】对于选项A，先由题意结合图象可判断函数关系为三角函数模型，代入相关数据即可；对于B项，由三角函数最值判定；对于C项，利用三角函数的单调性解不等式即可；对于D项，带入函数关系式求函数值即可.【详解】对于A，由题意可判定点P距离水面的高度与的函数关系为三角函数模型，以水轮中心为原点，以平行水平面的直线轴建立平面直角坐标系，当时，，以OP为终边的角为，根据水轮每逆时针转动一圈可知水轮的角速度为，由题意可得：，A正确；对于B，令，解得，点P第一次到达最高点需要，B错误；对于C，令，解得，即在水轮转动的一圈内，有的时间，点P距离水面的高度不低于，C正确；对于D，当时，，即点P在水面下方，距离水面，D错误，故选：AC．12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）下列各式中，值为的有（

）A．sin7°cos23°+sin83°cos67° B．4sin10°cos20°cos40°C． D．【答案】ABD【分析】对于A，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B，用二倍角公式化简求值；对于C，由二倍角公式及辅助角公式化简求值；对于D，先去括号，由两角和的正切公式化简求值.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）若，，则________【答案】【分析】先根据商数关系化弦为切求出，再根据利用两角和的正切公式即可得解.【详解】，解得，则.故答案为：.14．（2023春·山东日照·高三日照一中校考阶段练习）函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________.【答案】【分析】作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得的范围，得到的对称性，再判断的范围，利用数形结合求解.【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知恰有三个不同的解时，设，令，可得，令，得，根据对称性可知关于对称，所以，又因为，所以.故答案为：.15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为______．【答案】【分析】根据题意，由图像可得函数周期从而得到，再将点代入，即可得到结果.【详解】由图像可知，，即，则，将代入可得，，即，，解得，，且，则，再将代入可得，可得，所以函数解析式为.故答案为:16．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）计算_______．【答案】【分析】利用诱导公式、倍角正弦公式得，再由关系求值即可.【详解】，由，，所以，综上，.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023春·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道OA、OB、OC．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y表示为的函数；(2)当管道总长取最小值时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，（2）利用，结合三角函数的最值可得，即可利用辅助角公式求解.【详解】（1）由于,在的垂直平分线上，若设，则,∴则；（2）令得故，又，故则此时：，即得又，故,故18．（2023春·江苏常州·高一统考期中）已知函数的最大值为．(1)求的最小正周期；(2)求使成立的自变量x的集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求函数最小正周期，由函数最大值求出的值.（2）根据函数解析式，利用整体代入法解不等式.【详解】（1）因为．根据题意，，解得．故．所以函数的最小正周期．（2）由，即．则，解得，其中．故使成立时x的集合．19．（2023春·北京·高三101中学校考期中）已知函数.(1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；(2)已知函数.①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间；②若函数在上无零点，求的取值范围(直接写出结论).x00200【答案】(1)答案见详解(2)①；

②【分析】（1）令为可完善表格，描点可得图象；（2）①先求出的解析式，根据周期可得，然后可得单调区间；②先求的范围，再根据没有零点列出限制条件，可得范围.【详解】（1）表格填写如下：x0020-20图象如下：（2）①由题意，，，即.令,解得.所以g(x)的单调递增区间为.②，时，，因为函数在上无零点，所以，解得，所以的取值范围为(0，1).20．已知角的终边经过点．(1)求、的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角函数的定义可求得、的值；（2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：因为角的终边经过点，由三角函数定义可得，.（2）解：由三角函数的定义可得，原式.21．（2023春·北京·高三101中学校考期中）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.条件①：函数的最小正周期为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为.(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①②：由周期得出，由得出，进而求出的解析式及最小值；选择①③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式及最小值；选择②③：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意.（2）因为，所以，由题意得，求解即可．【详解】（1）由题可知，.选择①②：因为，所以，又因为，所以.所以.当，即时，，所以函数的最小值为－1.选择①③：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以.所以，当，即时，.所以函数的最小值为.选择②③：因为，所以.又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意.（2）因为，所以，又因为在区间上上有且仅有2条对称轴，所以，所以，所以.22．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为，．(1)求的解析式和单调递增区间；(2)将函数的图像向右平移个単位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，若方程在上的根从小到大依次为，，若，试求与的值．【答案】(1)，单调递增区间为(2)为5，m为．【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得，从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，先由函数的图像