专题15 直线与抛物线的位置关系(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题15直线与抛物线的位置关系限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（

）A． B．3 C． D．6【解析】设，，因为，所以点P是线段AB的中点，则.因为A，B都是拋物线C上的点，所以，所以，所以，即，则.故选：A2．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.故选：A3．过抛物线上定点作圆的两条切线，分别交抛物线于另外两点、，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【解析】圆的圆心为，半径为，易知轴，所以，直线、的斜率必然存在，设过点且与圆相切的直线的方程为，即，由题意可得，解得，设点、，不妨设直线、的斜率分别为、，则，可得，同理，可得，直线的斜率为，易知点的坐标为，所以，直线的方程为，即.故选：B.4．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【解析】已知抛物线，则，焦点由抛物线的定义可知，，，，则直线，联立，得，，，，故选：C.5．已知点为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若，则（

）A． B．1 C． D．2【解析】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以，整理得，所以，结合，解得.故选：C6．抛物线上一点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】设直线与相切，联立与得：，由，得：，则直线为，故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，由两平行线间距离公式得：.故选：A7．已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【解析】由得焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去y得，设，则，因为，所以，即，即，解得，所以直线方程为：，故选：A8．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．【解析】由抛物线：可知焦点为，设直线的方程为，由，得，设，则，由抛物线的定义可知∴，∴，当且仅当时取等号.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（）A． B．0 C．8 D．-8【解析】联立与得，，若，直线与抛物线只有一个交点，满足要求，若，则，所以，综上可知或.故选：AB10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（

）A． B．C． D．△AOB的面积为【解析】抛物线的焦点坐标为，所以直线：，则，消去得，所以，，所以，故A错误，C正确；，故B正确；又到直线：的距离，所以，故D错误；故选：BC11．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线方程为（

）A． B．C． D．不存在【解析】抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，则，解得，所以，直线的方程为，即.故选：BC.12．在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（

）A． B．直线过点C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是【解析】设：，，消可得.，得，，∴，则或∵，∴，∴，，故A错；：过，故B对；设定点，，当且仅当时，取等号，故C对；又，不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为．【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为，设，因为线段的中点为，故，则，由，两式相减得，所以，故直线的方程为，即．

14．已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为．【解析】由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点，的横坐标恰好是方程的根，所以，联立，消得，则，所以，所以，经检验，符合题意，所以直线的方程为.15．已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为．【解析】由题意，直线均有斜率且不为0.设直线的方程为，联立方程，解得点，∵直线的方程为，∴，∴直线的方程为，即，令得，，∴直线必过定点，∴当直线垂直于轴时，点到直线的距离的最大，∴，∴．16．已知抛物线C：的焦点为F，过F点倾斜角为的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右侧），则．【解析】抛物线C：，焦点坐标为，过点的直线的倾斜角为，，直线的参数方程为（为参数），代入抛物线方程可得：，解得：，则.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．点为抛物线上一点，为其焦点，已知．(1)求与的值；(2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积．【解析】（1）由抛物线的定义可知，即，抛物线的方程为.又在抛物线上，所以，故，．（2）设过M点的方程为，由，消去得，即，令，解得，所以切线方程为.令，得，即,又，，.

18．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程．(2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为．因为，所以.所以．∴点P的轨迹方程为．（2）

直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为，点A的坐标为．因为，所以．所以点B的坐标为．所以直线PB的斜率为．因为所以．所以直线PB的方程为代入，得.因为，所以直线PB与曲线C相切．19．已知点在抛物线：上(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值【解析】（1）将点代入抛物线：中，可得，得，∴抛物线的方程为.（2）由（1）知，抛物线的方程为，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，联立，整理可得，则，，，故.∴，∵，∴，即，∴，，解得，∴，∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为8.20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．(1)求和的值；(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.（2）解：由中垂线的性质可得，，，，所以，，设、，联立消去并整理，得，则，，且，即，则．设线段的中点为，则点的纵坐标为，所以，点的横坐标为，则．直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．设、，联立，消去并整理得，，可得，则，，故．设线段的中点为，则．，，，故，所以，，，故，故，所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．【解析】（1）当的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：，由题意可得直线的方程为：，即，代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，所以，的坐标为（2）法一：设直线的方程：，即，设直线与轴的交点为，，，由可得，，，因为为线段的中点，所以令，，即，所以则的面积，把代入上式，，当时，，所以的面积的最大值为2．（2）法二：。可得，，，因为为线段的中点，所以，设点到直线的距离为，则，，把代入上式，，所以，当时，的面积的最大值为222．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．(1)求的轨迹的方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点到点的距离与到直线的距离相等，