专题24 圆锥曲线与外心问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题24圆锥曲线与外心问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【解析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，，，，则，，，，则，设，则，，，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.2．已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不对【解析】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，联立椭圆方程可得：，设，故，，，故，设的中点为，则其坐标为，显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：，令，解得，故，故.故选：C.3．已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（

）A． B． C． D．【解析】离心率为，则有：又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为，则的外心为在线段的中点若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点此时有：，，的面积为12，则有：，解得：，故双曲线的实轴长为：，故选：C4．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x【解析】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D．5．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．5【解析】不妨设点在第二象限，设，，由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，故有，且，解得，，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C.6．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【解析】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D7．已知点、、，直线上有两个动点、，始终使，三角形的外心轨迹为曲线，为曲线在一象限内的动点，设，，，则（

）A． B．C． D．【解析】设点、，设的外心为，则，可得出，因为，则，将代入并化简得，即，在中，由余弦定理，即，整理可得，所以，，即，①将、代入①可得，整理可得，即的外心轨迹方程为，设点，则，即，而，，则，又，所以，因此，.故选：C.8．已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【解析】由椭圆可得：，故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点，则，故双曲线，设双曲线的焦距为，则，即，故，当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴，若外心Q落在y轴上，则，但此时，由，则不符合题意；当直线l斜率存在时，设，联立消去y可得，则，，因为A，B位于双曲线C的右支，则或，则，设AB的中点，则Q在AB的中垂线上，所以，解得，所以，由，可得，整理得，由，得或（舍去），综上所述：直线方程为．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（

）A．N为的外心 B．M可以为C的焦点C．l的斜率为 D．可以小于2【解析】由可得，则N为的外心，A正确；易得直线斜率不为0，设，，联立可得，，则，则，由可得，即，则，则焦点为，B错误；由作差得，即，C正确；，则，D错误.故选：AC.10．已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（

）A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形；B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心；D．若边AC的中线轴，，则的面积为【解析】设三点坐标分别为，A选项，直线BC过点，设BC方程为，联立，消去x得，，，，，所以，而点O在抛物线上，故A正确；B选项，直线BC过点，设BC方程为，联立，消去x，得，，抛物线的焦点恰为的重心，，，将A点坐标代入抛物线方程，则，所以，当时，，故B正确；C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r，其方程为，与抛物线方程联立得：，，方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确；D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得，，，设AC中点轴，，，代入抛物线方程得，，，故D不正确.故选：AB.11．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（

）A．点的中点在轴上B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当的垂心在抛物线上时，D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，设点，则点，所以，线段的中点为，A对；对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形，因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上，，则直线的方程为，联立可得，则，所以，直线与抛物线相切，B错；对于C选项，设点为第一象限内的点，若的垂心在抛物线上时，设点，其中，将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点，由题意可知，、、三点共线，，，由可得，整理可得，解得，所以，，即点，所以，，，C对；对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则，此时，为直角三角形，D错.故选：AC.12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A． B． C． D．【解析】设，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，，化简得，此时双曲线的离心率；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得或，此时双曲线的离心率或，若为重心，为垂心、为外心，则，所以，化简得或都不成立.综上所述：或或或.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点．设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为．【解析】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，代入得，设，则，，则的中点坐标为∴∵是的外心，∴是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，的垂直平分线为，令，得，即，，∴．14．在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为．【解析】联立得，设，，则，，设线段AB的中点为，则，，则线段AB的中垂线方程为，即，联立得，解得或4，从而的外心M的坐标为或．15．已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为.【解析】由知，设直线的方程为，联立方程组得，由直线与双曲线右支交于两点可得

解得，即或.设，则，因为，所以线段的中点为，且.设，因为在线段的垂直平分线上，所以，得，即，故.因为，且，所以，化简得，得或（舍去），所以直线的方程为，即直线的方程为或.16．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为.【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于，(1)若垂直l于点，且，求AF的长(2)为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.【解析】（1）由得，；（2）设，直线，由，得，，即有，易得OA､OB的中垂线方程分别为，联立可得，外心C的轨迹方程为.18．已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.【解析】（1）由题意知∶，∴a=2c，，设△的内切圆半径为r，则.故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，所以，把a=2c，代入，解得∶a=2，，所以椭圆方程为（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为，代入椭圆方程得.，设，则，，因此可得所以AB的中点坐标为(，)因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，由题意可知B，Q关于y轴对称，故，AB的垂直平分线方程为令y=0，得，即G(，0)，所以又=故，所以为定值，定值为4.19．已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．（1）求抛物线C标准方程；（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．【解析】（1）当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为，代入抛物线方程，可得，故，，得，故抛物线C标准方程为．（2）设．直线的方程为：联立得，得，所以直线，同理直线，联立得则的中垂线方程分别为：：，：．联立解得：，由于，故，，故，所以，则的所有可能取值为1．20．已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．【解析】（1）由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得，故双曲线.（2）已知，由（1）可知，，则，即，①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程，可得，解得，则，此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意；②当直线斜率存在时，设，联立可得，消去可得：，设，则，，由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或，，记的中点，设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则，，显然，则，可得，由，则，又因，可得，整理可得：，，，，由，则，直线方程为，即或.21．在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求的取值范围【解析】（1）设C（x，y），G（，），M（，），因为M是△ABC的外心，所以所以M在线段AB的中垂线上，所以，因为，所以，又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，所以，所以，又，所以，化简得，所以顶点C的轨迹方程为；（2）因为，，三点共线，所以，，三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为，联立得．由，得．设，，则所以．又，所以，所以．故的取值范围为．22．已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.(1)求E的方程；(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心.【解析】（1）解:设