专题31 圆锥曲线中的定直线问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题31圆锥曲线中的定直线问题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是A． B．C． D．【解析】设，，则，.∴，即.∵直线过点，且，∴，∴，即.∴直线的方程为，即.故选:B.2．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【解析】由题得，设的中点的中点，则，得，所以，所以①，同理得②，因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，因为直线l的斜率存在，所以，所以，即点E在直线上.故选：A.3．设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为A． B．C． D．【解析】如图所示，设点的坐标为，则，所以，点的坐标为.所以线段的中点的坐标为.设，.有，，且.所以，所以，所以.对角线所在的直线方程为，即.故选：B.4．如图，已知点在焦点为的椭圆上运动，则与的边相切，且与边的延长线相切的圆的圆心一定在（

）A．一条直线上 B．一个圆上 C．一个椭圆上 D．一条抛物线上【解析】如图，设圆与分别相切于，由切线定理得：，因为在椭圆上，定值，为定值，，∴切点∴圆心在过垂直于椭圆所在轴的直线.故选：A.5．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且位于第一象限，为坐标原点，若线段的中点满足，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【解析】设椭圆的右焦点为，（），，，分别是和的中点，，由已知可得，，，即，由得，，直线的方程为，即.故选：D.6．若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为A． B． C． D．【解析】点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，所以椭圆的左焦点坐标为，左顶点坐标为，由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为，，联立直线方程与椭圆方程，化简得所以，因为，代入，可得将代入通过解方程可得，所以选B7．已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述错误的是（

）A．为定值B．、、、四点一定共圆C．的最小值为D．存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线【解析】设，点到渐近线的距离为，同理，则，∵，即，∴（定值），故A正确；∵，∴和均为直角三角形，，两点在以为直径的圆上，故B正确；由双曲线的对称性可知，其中，∵∴成立，故C正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点，易知直线与直线的交点始终落在轴上，故D不正确.故选：D.8．已知O为坐标原点，M为抛物线C：上一点，直线l：与C交于A，B两点，过A，B作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（

）（1）；（2）若点，且直线AM与BM倾斜角互补，则；（3）点P在定直线上；（4）设点，则的最小值为3．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】对于（1），设，由，得，由，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），因为，直线AM与BM倾斜角互补，所以，所以，所以，所以，且，所以，且，解得，所以（2）正确，对于（3），设点在轴上方，在轴下方，设，轴上方的抛物线方程为，轴下方的抛物线方程为，此时在点处的切线的斜率为，在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，方程化简为，，两式相除化简得，所以（3）正确，对于（4），设，由于，所以，当时，取得最小值，所以（4）错误，故选：C

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（

）A．为定值B．线段的中点在一条定直线上C．为定值（、分别为直线、的斜率）D．为定值（为抛物线的焦点）【解析】若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则，设直线的方程为，联立可得，，

对于A选项，不一定是定值，A错；对于B选项，设线段的中点为，则，为定值，故线段的中点在定直线上，B对；对于C选项，为定值，C对；对于D选项，不一定为定值，D错.故选：BC.10．已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（

）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若，则直线l恒过点【解析】设直线，联立方程，得设，，则。选项A，若直线l过焦点F，则。，，又，，，三点共线，A错；

选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：，又，，所以B对；选项C，设与抛物线相切的切线方程为，则化简得．由，可得，即，所以与抛物线相切的切线方程为，将点坐标代入方程可得，则，所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，联立，得：抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对；

选项D，因为，，将韦达定理代入得：.所以直线l恒过点，所以D对.故选：BCD.11．如图所示，抛物线，为过焦点的弦，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，则下列结论正确的是（

）．A．若的斜率为1，则B．若的斜率为1，则C．点恒在平行于轴的直线上D．的值随着斜率的变化而变化【解析】由得，所以焦点坐标，对A，直线的方程为，由得，所以，所以；故A错误．因为，所以，则直线、的斜率斜率分别为、，所以，，由解得即．由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，由消去得，所以，，故D错误．又，故C正确．对B，当的斜率为1时，，故，故D正确．故选：BC．12．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（

）A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8B．椭圆上不存在点，使得C．直线与椭圆恒有公共点D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3【解析】对于A选项：由椭圆的定义：的周长为：，故A正确；对于B选项：设，则，，，，，，，解得椭圆上存在点，使得，故B错误；对于C选项：直线恒过定点，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；对于D选项：设，则P点到圆的圆心的距离，故，，故D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线，焦点是，为抛物线上一动点，以为直径的圆与定直线相切，则直线的方程为．【解析】易知为抛物线的焦点，设点，由抛物线的定义可得，线段的中点为，所以，圆心到轴的距离恒等于半径，所以定直线的方程为．14．经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线上．（写出此直线的方程）【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，．由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得，解得，所以点在准线上．15．如图，A、B为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F作轴的垂线与其交于点C，若AB∥OC(O为坐标原点)，则直线AB的斜率为.【解析】由题意，椭圆，过椭圆的右焦点F作轴的垂线与其交于点C，可得，又由，可得，整理得，即，又由，所以直线的斜率为．16．已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为.【解析】设这组平行直线的方程为，联立，整理得，，解得.且，，所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为，，，所以这些点均在上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．【解析】（1），，，整理可得：，又，曲线的方程为：.（2）

由题意知：直线斜率不为，则可设，设，则直线，直线，由得：，由得：，则，即，，，，，解得：，即点在定直线上.18．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.【解析】（1）根据题意，设双曲线的方程为，由题知，，可得；所以双曲线方程为.（2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：

由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，代入双曲线方程得，设，，由韦达定理有，，且，，设，点E在线段上，所以由可得化简得，代入和并化简可得，即存在点E满足条件，并且在定直线上.19．已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．【解析】（1）当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，可得，由韦达定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，抛物线的方程为.（2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合，设直线的方程为，联立可得，则可得，设点、，由韦达定理可得，设直线的方程为，设点、，同理可得，直线的方程为，即，化简可得，同理可知，直线的方程为，因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，

交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可，由，消去，因为直线与相交，则，解得，所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上.20．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点.(1)若，求四边形面积的最小值；(2)证明:点在定直线上.【解析】（1）由抛物线定义可知，，解得，即抛物线方程为，由题意，设，，直线的方程，由，消去得，恒成立，由韦达定理可知：，，故，因为，所以直线的方程为，于是，则当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最小值为32；（2）设，，，因为，，，都在上，所以，，因为，，三点共线，所以有，即，整理得：，同理，因为，，三点共线，可得，即，解得：，由（1）可知，，代入上式可得：，得，即点在定直线上.21．已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.【解析】（1）因为为椭圆的右焦点，所以①,由对称性得，点，在椭圆上，代入得②,联立①②解得，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为0，

设直线的方程为，联立，可得，设，，，则，，，由（1）可得，，由共线得：③，由共线得：④，由③÷④消去并整理得，，即，所以，综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动.