湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

衡阳县二中2023-2024年上期高一期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为（）．A． B．C． D．2.下列各组函数中表示同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，3.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（）①；②；③；④A.个 B.个 C.个 D.个4.已知正数，满足，且恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.5.下列对应是从集合到集合的函数的是（）A．B．C．是三角形，是圆，每一个三角形对应它的内切圆D．是圆，是三角形，每一个圆对应它的外切三角形6.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（）A. B.C. D.7.已知函数（且），对任意，，当时总有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（）A． B． C． D．10.下列说法正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．集合与集合是同一个集合C．由这些数组成的集合有个元素D．集合是指第二或第四象限内的点集11.下列说法正确的序号是（）A．偶函数的定义域为，则B．设，若，则实数的值为或C．奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，则D．若集合中至多有一个元素，则12.设函数，其中表示中的最小者.说法正确的有（）A.函数为偶函数B.当时，有C.当时，D.当时，第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.己知集合，，若，则实数的取值范围.14.若正实数，满足，则的最小值为_______．15.已知命题；命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．16.已知函数若关于的方程有且仅有个不等实数根，则的取值范围是______.四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，设命题，命题，已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值围.18.已知正实数满足.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.19.设函数.（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.20.已知定义域为实数集的函数（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.（2）若不等式成立，求实数的取值范围.21.为减少人员聚集，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受的影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族的人均上班时间计算公式为：，讨论的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)22.若不恒为零的函数对任意，恒有．（1）指出的奇偶性，并给予证明；（2）若时，，证明在上单调递减；（3）在（2）的条件下，若对任意实数，恒有成立，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：，解得，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为．故选：D.2.答案：B解析：A.的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；B.与定义域都为，且解析式相同，故是同一函数；C.的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；D.与解析式不同，故不是同一函数；故选：B.3.答案：B解析：由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，所以，所以②正确；令，则，又由是偶函数，所以的图象关于对称，所以的图象关于对称，则有，令，则，所以③正确.在中，将用替换，则，在中，将用替换，则，所以，再将用替换，则，所以，所以①正确；对于④中，由，无法推出其一定相等.故选：B.4.答案：B解析：因为正数满足，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.若恒成立，则的最大值为.故选：B.5.答案：A解析：【分析】根据函数的定义逐个分析可得答案.【详解】对于选项，符合函数的定义，故正确；对于选项，集合的元素在集合中没有元素与之对应，故不正确；对于选项，因为集合不是数集，故正确；对于选项，因为集合不是数集，故不正确.故选：A.6.答案：B解析：是奇函数，关于点对称，函数图象左移个单位，可关于点对称.故选：B.7.答案：A解析：【分析】由题意，函数在定义域上是增函数，列出不等式组，解出即可．【详解】∵对任意，，当时总有，∴函数在定义域上是增函数，∴，解得：．故选：A．8.答案：A解析：【分析】分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案.【详解】当时，在上单调递增，且，所以在上单调递减，符合题意，当时，无单调性，不符合题意，当时，在上单调递减，且，不符合题意，当时，在上单调递减，，符合题意，还需，解得，综上实数的取值的范围是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.答案：A、B解析：当都大于零时，；当中一个大于零，另一个小于零时，；当都小于零时，．根据元素与集合的关系，可知，，，．故选：AB．10.答案：C、D解析：A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合．C选项：因为，故这些数组成的集合有个元素．D选项：因为，故点是第二或第四象限内的点．综上，CD正确．故选：CD.11.答案：A、C解析：A：因为函数为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，有，故A正确；B：，由得，当时，；当时，；当时，；所以的取值为，故B错误；C：由为奇函数，，得，所以，故C正确；D：由A中至多有一个元素，得当时，，符合题意；当时，，所以的取值为或，故D错误.故选：AC.12.答案：A、B、C解析：在同一坐标系中画出的图象（如图所示），故的图象为图中粗线所示．的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．故选：ABC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.答案：解析：首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.【详解】，，即当时，恒成立，即，当时恒成立，即，，而是增函数，当时，函数取得最小值，且当时，恒成立，，解得：综上：.14.答案：解析：由，得，因为，为正实数，所以，所以，当且仅当，即时，取等号（此时），所以的最小值为，故答案为：.15.答案：【分析】解一元二次不等式求命题的解集，解一元一次方程求命题的解集，再由是的充分不必要条件列不等式组，求的取值范围.【详解】由题设，命题为，命题为，若是的充分不必要条件，必有，解得．故答案为：.16.答案：因为，作出其图象如下：

因为关于的方程有且仅有个不等实数根，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，由图象可知，当时，显然不满足题意；当时，因为，，横坐标为对应的空心点的坐标为.由图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有五个不同的交点，此时；当直线过点时，直线与函数的图象有三个不同的交点，此时；因此，为使直线与函数的图象有四个不同的交点，只需.故答案为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.答案：【分析】（1）由时，求得，得到，再结合集合的交集运算，即可求解；（2）当时，得到，根据命题是命题的充分不必要条件，得到，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，，可得，又由，所以.（2）当时，可得.因为命题是命题的充分不必要条件，则，可得，等号不能同时成立，解得，所以实数的取值范围为.18.解析：（1），所以，解得，当且仅当取等号，∴的最大值为.（2），当且仅当，取等号，∴，解得.即的取值范围是.19.答案：【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立，即恒成立，因此，设，则，所以，函数在区间上是单调递减的，，∴（2）由对于一切实数恒成立，可得，且，由存在，使得成立可得，∴，∴，，当且仅当时等号成立，∴.20.答案：【分析】（1），进而判断函数为减函数，再根据函数单调性的定义证明即可；（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.【详解】（1），因为函数为上的增函数，所以可判断函数在上为单调递减函数，证明如下：设且，则，因为且，所以，所以，即，所以函数在上为单调递减函数.（2）由（1）知函数在上为单调递减函数，所以等价于，即由于恒成立，所以实数的取值范围为21.答案：解析：（1）依题意得：①当时，，不符，②当时，，若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，则，解得或，即当或时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.（2）①当时，，②当时，即，∵当时，单调递减，则，当时，，在上单调递减，；在上单调递增，∴当时单调递减，当时单调递增.说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均上班时间递减；当大于的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于时，人均上班时间最少.22.答案：【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明；（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）结合函数的奇偶性以及函数的单调性找出自变量之间的关系，即可求解.【详解】（1）为奇函数；证明：由题意知：的定义域为关