八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：勾股定理（基础）（解析版）

专题1.1勾股定理目录已知两边求第三边 1已知两边求第三边（需要分类讨论） 2勾股定理求面积 3求斜边的高 5证明勾股定理的内容 7判断勾股数 9勾股数与倍数 11勾股定理逆定理 12勾股定理的应用（简单的实际应用） 15勾股定理的应用（最短长度） 17勾股定理的应用（台风问题） 20折叠问题 22已知两边求第三边勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，可求第三边.在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系.③可运用勾股定理解决一些实际问题.如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：方法1：由垂线段最短，可得的大小有可能是5方法2：在三角形中，，，，则．故选：．直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为A．13 B．14 C． D．15【解答】解：由勾股定理得，斜边为，故选：．在中，．若，，则A．5 B．6 C．8 D．10【解答】解：在中，，，，，即，解得．故选：．设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为．已知，，则的值为A．2 B．6 C．5 D．36【解答】解：由勾股定理得，，故选：．已知两边求第三边（需要分类讨论）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为A．30 B． C．或30 D．36【解答】解：设的第三边长为，①当12为直角三角形的直角边时，为斜边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长；②当12为直角三角形的斜边时，为直角边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长，综上所述，该三角形的周长为30或．故选：．已知3，4，是一个直角三角形的三条边长，则实数的相反数为A．5 B． C．5或 D．或【解答】解：当为斜边时：，解得：，（不符合题意）；当为直角边时：，解得：，（不符合题意）．故第三边长为5或，实数的相反数为或．故选：．一个直角三角形的两边长分别为、，则第三条边长为A． B． C． D．或【解答】解：当斜边长为时，则第三条边长为：；当两条直角边长分别为，时，则第三边长为：；故选：．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是A．13 B．13或 C． D．12或13【解答】解：当12是斜边时，它的斜边长是12；当12是直角边时，它的斜边长；故它的斜边长是：12或13故选：．勾股定理求面积在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是A．30 B．40 C．50 D．60【解答】解：设两条直角边分别为，，根据题意得，，解得，，这个直角三角形的面积是，故选：．在中，，、、所对的边分别为、、，已知，，则的面积为A．96 B．98 C．108 D．120【解答】解：，，设，则，，即，解得，，．，故选：．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为A．5 B．9 C．16 D．25【解答】解：在中，，，，，正方形的面积，故选：．中，，，高，则的面积为A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【解答】解：如图1，，，，，，又，，，的面积；如图2，，的面积；综上所述，的面积为126或66，故选：．求斜边的高若直角三角形两直角边的边长为若直角三角形两直角边的边长为和，斜边长为，则斜边上的高．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边上的高为A．10 B．16 C．4.8 D．48【解答】解：设斜边长为，高为．由勾股定理可得：，则，直角三角形面积，．故选：．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高A．6 B．8 C． D．【解答】解：由题意得，斜边为．所以斜边上的高．故选：．等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为A．24 B．7 C．6 D．5【解答】解：根据题意画出如图所示，根据题意得，，，．，，，在中，根据勾股定理得，，，即：底边上的高为24，故选：．直角三角形的一直角边长，斜边长，则其斜边上的高是．【解答】解：设斜边上的高为，由勾股定理得，直角三角形另一条直角边为：，由三角形的面积公式可得，，解得，，故答案为：．证明勾股定理的内容（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，直角三角形的长直角边为：，则小正方形的边长为：，故选：．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设大正方形的边长为，则，，，解得，小正方形的面积是：，故选：．4个全等的直角三角形的直角边分别为、，斜边为．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．【解答】解：图形的总面积可以表示为：，也可以表示为：，所以，，所以，．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，，；【定理应用】，，．判断勾股数①①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数.②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表示组勾股数：丢番图发现的：式子的正整数）毕达哥拉斯发现的：（的整数）柏拉图发现的：（的整数）.下列各组数中，是勾股数的是A．1.5，2，2.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，【解答】解：．1.5，2.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；．不是整数，不是勾股数，不符合题意；．，是勾股数，符合题意；．，不是整数，不是勾股数，不符合题意；故选：．下列各组数不是勾股数的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【解答】解：．，且3，4，5是正整数，，4，5是勾股数，此选项不符合题意；．，且5，12，13是正整数，，12，13是勾股数，此选项不符合题意；．，且7，24，25是正整数，，24，25是勾股数，此选项不符合题意；．，但0.6，0.8，1不是整数，，0.8，1不是勾股数，此选项符合题意；故选：．下列选项中不是勾股数的是A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15【解答】解：．，且7，24，25是正整数，，24，25是勾股数，此选项不符合题意；．，，5，6不是勾股数，此选项符合题意；．，且3，4，5是正整数，，4，5是勾股数，此选项不符合题意；．，且9，12，15是正整数，，12，15是勾股数，此选项不符合题意；故选：．有下列各组数：①3，4，5；②，，；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：①，是勾股数；②，不是勾股数；③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；④1，，．不是整数，不是勾股数；其中勾股数有①，故选：．勾股数与倍数将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形【解答】解：设直角三角形的直角边分别为、，斜边为．则满足．若各边都扩大倍，则三边分别为、、三角形仍为直角三角形．故选：．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【解答】解：设原直角三角形的三边的长是、、，则由勾股定理得，，即，将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形还是直角三角形，故选：．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数5，12，13，，．【解答】解：符合即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，（答案不唯一）已知、、是一组勾股数．把这三个数分别扩大2倍，所得的3个数还是勾股数吗？扩大倍呢？证明你的结论．【解答】证明：是正整数，、、是一组勾股数，，，都是正整数，，，，，是一组勾股数；，，是一组勾股数，且是正整数，，，是三个正整数，，，所以，，是一组勾股数．勾股定理逆定理如果三角形三边长如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边.①若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边.③勾股定理的逆定理在描述时，不能说成：当“斜边”的平方等于两条“直角边”的平方和时，这个三角形是直角三角形.下列各组数中，能构成直角三角形的为A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13【解答】解：．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，能构成直角三角形，故本选项符合题意；．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．判断下列四组数据，不可以作为直角三角形三条边的是A．0.3，0.4，0.5 B．4，3，5 C．8，15，17 D．1，2，3【解答】解：．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：．在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A．，， B．，，C． D．，，【解答】解：、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故选项不符合题意；、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故选项不符合题意；、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故选项不符合题意；、，故选项中的三条线段不能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：．已知在中，、、所对的边分别是、、，则添加下列条件，不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：．，，不是直角三角形，故本选项符合题意；．，是直角三角形，故本选项不符合题意；．，，是直角三角形，故本选项不符合题意；．，是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少．【解答】解：连接，在中，为斜边，已知，，则，，为直角三角形，，答：该四边形面积为24如图，把一块直角三角形土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．（1）求证：；（2）求图中阴影部分土地的面积．【解答】（1）证明：，米，米，（米，米，米，，；（2）解：图中阴影部分土地的面积（平方米）．勾股定理的应用（简单的实际应用）如图，有一个羽毛球场地是长方形，如果，．若你要从走到至少要走A． B． C． D．【解答】解：四边形是矩形可得，，．要从走到，至少走．故选：．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米【解答】解：车宽1.6米，欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．在中，由勾股定理可得：（米，（米，卡车的外形高必须低于2.9米．故选：．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【解答】解：由题意可得：（海里），（海里），，故，（海里），答：甲、乙两渔船相距15海里，故选：．多走几步路，就可以留下一片期待的绿色．如图，学校有一块长方形草坪，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．请你算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草，留下不文明的形象．（假设1步为【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是：，则少走的距离是，步为，答：这些同学仅仅少走少了4步．勾股定理的应用（最短长度）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是A． B． C． D．【解答】解：设是圆柱形的高，当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分最短，此时就是圆柱形的高，即；，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，，此时，所以．故选：．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是A． B． C． D．【解答】解：根据题意可得图形：，，在中：，所以，．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间．观察选项，只有选项符合题意．故选：．如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，最短，此时，故；当吸管竖直插入水杯时，最大，此时．故答案为：．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，管长的取值范围是．【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为．杯里面管长为，总长为故管长的取值范围是．勾股定理的应用（台风问题）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）求证：；（2）海港受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】解：（1），，，．是直角三角形，；（2）海港受台风影响．理由如下：如图，过点作于．，，，海港受到台风影响；（3）当，时，正好影响港口．在中，由勾股定理得，，台风的速度为，．台风影响该海港持续的时间为．如图，有两条公路，相交成，沿公路方向离点80米处有一所学校，当重型运输卡车沿道路的方向行驶时，以为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为5米秒．（1）求卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离；（2）求卡车沿道路方向行驶一次，它给学校带来噪声影响的总时间．【解答】解：（1）过点作于，，米，米，卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米；（2）当米时，则卡车在段对学校有影响，由（1）知米，（米，（米，（秒，卡车沿道路方向行驶一次，它给学校带来噪声影响的总时间为12秒．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为．（1）求的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：，，，，答：的长为；（2）这辆小汽车超速了，理由如下：该小汽车的速度为，这辆小汽车超速了．折叠问题已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为A． B． C． D．【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．．，根据勾股定理可知．解得．的面积为．故选：．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为10．【解答】解：易证，，设，则，在中，，解之得：，，．故答案为：10如图，矩形纸片中，，，现把矩形纸片沿对角线折叠，点与重合，求的长．【解答】解：四边形是矩形，，，，由折叠得：，，，，，，设，则：，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，．如图所示，折叠长方形一边，点落在边的点处，已知厘米，厘米．（1）求与的长．（2）求的长．【解答】解：（1）折叠后的图形是，，，．，．又，在中，根据勾股定理，得，，．（2）设的长为，则．在中，根据勾股定理，得：，，即，化简，得，，故的长为．1．在中，若斜边，则等于A．5 B．10 C．20 D．25【解答】解：在中，斜边，，故选：．2．如图，在中，，，，则A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：在中，，由勾股定理得：．故选：．3．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是A． B． C． D．【解答】解：小正方形的面积为1，小正方形的边长为1，，大正方形的面积为41，，，解得，（不合题意，舍去），，，故选：．4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为A． B． C． D．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，根据勾股定理得：，，，即，则．故选：．5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【解答】解：、，即三角形是直角三角形，故本选项正确；、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：．6．满足下列条件的，不是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：则是直角三角形；，设，，，，是直角三角形；，则，，是直角三角形；，设、、分别为、、，则，解得，，则、、分别为，，，不是直角三角形；故选：．7．下列各组数中，是勾股数的是A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D．，，【解答】解：、，此选项不符合题意；、，此选项符合题意；、，此选项不符合题意；、