高考物理核心高频考点专题备考专题25 双星与多星模型（解析版）

专题25双星与多星模型模型构建及模型特点“双星”模型“三星”模型“四星”模型情景图运动特点转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等受力特点两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力规律eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1或eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2cos45°＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＋eq\f(GmM,r2)＝ma向关键点m1r1＝m2r2；r1＋r2＝Lr＝eq\f(L,2cos30°)r＝eq\f(\r(2),2)L或r＝eq\f(L,2cos30°)【典例1】[“双星”模型](多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X­1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()A．它们间的万有引力大小变大B．它们间的万有引力大小不变C．恒星做圆周运动的线速度变大D．恒星做圆周运动的角速度变大【答案】AC【解析】设质量较大的恒星为M1，质量较小的黑洞为M2，则两者之间的万有引力为F＝Geq\f(M1M2,L2)，由数学知识可知，当M1＝M2时，M1·M2有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，因此万有引力变大，故A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，即Geq\f(M1M2,L2)＝M1ω2R1＝M1eq\f(4π2,T2)R1，Geq\f(M1M2,L2)＝M2ω2R2＝M2eq\f(4π2,T2)R2，解得两天体质量表达式为M1＝eq\f(ω2L2,G)R2＝eq\f(4π2L2,GT2)R2，M2＝eq\f(ω2L2,G)R1＝eq\f(4π2L2,GT2)R1，两天体总质量表达式为M1＋M2＝eq\f(ω2L3,G)＝eq\f(4π2L3,GT2)，两天体的总质量不变，两天体之间的距离L不变，因此天体的周期T和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M2的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据v＝eq\f(2πR2,T)可知，恒星的线速度增大。故C正确，D错误。【典例2】[直线“三星”模型]在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是(

)A.星球a做匀速圆周运动的加速度大小为2Gmr2

B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为Gmr

C.星球b做匀速圆周运动的周期为4πr35Gm

D.若因某种原因中心星球【答案】C【解析】A.由万有引力提供向心力有：Gm2r2+Gm24r2=man，解得星球a做匀速圆周运动的加速度大小为5Gm4r2

，故A错误；B.由万有引力提供向心力有：Gm2r2+Gm24r2=mv2r，解得星球a做匀速圆周运动的线速度大小为1【典例3】[等边三角形“三星”模型](多选)三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是(    )A.其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM22L2

B.其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心O

C.【答案】BD【解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力大小为F1=GM2L2，其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力为F=2F1cos 30°=3GM2L2，方向指向圆心O，选项A错误，【典例4】[直线“四星”模型]宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，求：

(1)已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m，正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力；(2)已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m，两内侧恒星质量均为M，四颗恒星始终位于同一直线，且相邻恒星之间距离相等．求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值Mm【解析】(1)其中一颗恒星受到的合力F=2×Gm2L2cos45°+Gm2(2L)2=1+222Gm2L2。

(2)设相邻恒星之间的距离为L，对于外侧的恒星受力有：GMmL2+GMm(2L)2+Gm2(3LA.α、β、γ、δ四颗星的质量相同

B.β星和δ星的质量相同，α星和γ星的质量相同，α星和β星的质量可能不同

C.α星和β星的动能之比为Ekα:Ekβ=1:4

D.【答案】A【解析】AB.由题意知，四颗星绕中心O做匀速圆周运动，半径相同，角速度相同，根据牛顿第二定律有F=mω2r，可见四颗星的质量相同，故A正确，B错误；C.α星和β星的线速度大小相同，质量相同，所以动能相等，故C错误；D.α星和β星受到的万有引力的合力提供向心力，向心力大小相等，所以万有引力的合力大小相等，故D【典例6】[等边三角形“四星”模型]假设在离其它恒星较远的空间中存在四个质量均相等的星体A、B、C、D(周边星体对它们的引力可以忽略不计)，其中A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，D恰好处在这个三角形的中心，A、B、C以D为圆心，沿外接于三角形的圆形轨道运行，运行过程中保持相对位置不变。通过观测得出了这个系统的转动的周期为T，AD之间距离为L，如下图所示。通过以上条件计算：(已知引力常量为G，结果可以用根式表示)

(1)B、C对A的引力的合力是D对A的引力的几倍?(2)每个星体的质量是多少?【解析】(1)由几何关系知，AC与BC的长度为：r=2Lcos30°=3L

设四个星体的质量均为m，则B、C对A的引力：FB=FC=Gm23L2

这两个力的合力：FBC=2FBcos30°=3FB=33Gm2【点对点01】美国科学家宣布探测到引力波．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的)，则(    )A.b星的周期为l−Δrl+ΔrT B.a星的线速度大小为πl+ΔrT

C.a、b两颗星的半径之比为ll−Δr D.【答案】B【解析】a、b两颗星体是围绕同一点绕行的双星系统，故角速度和周期相同。A.a、b的周期相同，都为T，故A错误；C.ra−rb=△r，ra+rb=l，解得ra=l+△r2，rb=l−△r2，所以rarb=【点对点02】据天文学家推测，存在这样的平面四星系统，四颗恒星分别位于菱形的四个顶点，绕菱形的中心点、在菱形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，位于对角的两颗恒星质量相等。根据测量可知菱形的一个顶角为2θ，位于该顶角的恒星的质量为m1，位于相邻顶角的恒星的质量为m2，则m1m2A.8sin3θ−18cos3θ−1tan3【答案】A【解析】设菱形的边长为L，对位于顶角2θ的恒星分析可知，受到的合力为；同理，对位于相邻顶角的恒星分析可知：，联立可解得：，故A正确，故BCD错误。故选A。

【点对点03】2019年初，中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种四颗星组成的孤立系统，四颗星的质量相等，稳定分布在正方形的四个顶点上，每颗星均做半径为r、周期为T的匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，关于这种四星系统，则每颗星的质量为（）A.16(22−1)π2r37GT2【答案】A【解析】四颗星匀围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，设正方形的边长为L，每颗星的质量为m，则L=2r，任取一顶点上的星体为研究对象，它受到其它三颗星的万有引力的合力为F=2·Gm2L【点对点04】进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的(    )A.1倍 B.2倍 C.12倍

D.2【答案】D【解析】设正方形边长为L，则每颗星的轨道半径为r=22L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：2×Gm2L

【点对点05】（多选）太空中存在离其他恒星很远、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统A——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统B——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G，则(    )A.三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω=12R5GmR

B.三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v=GmR

C.三星系统B的运动周期为T=4πR【答案】ACD【解析】对三星系统A中的一颗外侧星体进行分析，此星体受中央星体和另一颗外侧星体的万有引力，两个万有引力的合力提供向心力，Gm2R2+Gm24R2=mv2R=mRω2解得v=5Gm4R，ω=12R5GmR【点对点06】（多选）天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，质量均为M的P、O、S三颗星始终位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行。已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，下列说法正确的是A.P星所受合外力大小为5GM24R2 B.O星所受合外力大小为5GM24R2

C.【答案】AC【解析】P星所受合外力为O、S两星对P星的万有引力的合力，FP=GM2R2+GM2(2R)2=5GM4R2，A项正确；由对称性可知，P、S两星对O星的万有引力等大反向，O星所受合外力为零，B【点对点07】（多选）观测到宇宙中有如图所示的一个三星系统：三颗星体A，B，C始终处于一条直线上，A，C两颗星围绕中间星体B做稳定的圆周运动；AB之间和BC之间间距均为L；已知B的质量为m，A，C的质量未知。三颗星体受到其他星体的作用力忽略不计，万有引力常量G已知，则下列判断中正确的是(    )A.可以比较星体A、C的线速度大小关系

B.可以比较三颗星体的质量大小关系

C.可以求得星体A、C做圆周运动的周期

D.可以比较三颗星体所受合力的大小关系【答案】AD【解析】因为星体A、C围绕星体B运动且与B距离相等，所以他们角速度、周期、线速度大小均相等，由万有引力提供向心力可得：GmAmL2+GmAmC(2L)2=mAω2L，GmCm【点对点08】双星系统的两个星球A，B相距为L，质量都是m，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G．(1)求星球A，B组成的双星系统周期T0(理论值(2)实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且TT0=kk<1于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，星球A、B围绕C做匀速圆周运动，试求星球C的质量(结果用k和【解析】(1)两个星球A、B组成的双星系统周期相同，设A、B的轨道半径分别为r1，r对星球A：G对星球B：Gm2联立可得双星系统周期理论值T(2)由于星球C的存在，星球A、B的向心力由两个力的合力提供，则对星球A或B均有：G又T联立可得星球C的质量M=【点对点09】由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T【解析】(1)由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：

FBA=FCA=GmAmca2=G⋅2m2a2方向如图，则合力的大小为：

F