2015年考研数学线代知识模块六

#/12线代预测知识模块六：线性方程组的求解考点1:齐次线性方程组解的情况的判定%+2%+%=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3%+a%+2%—0【参考题目1】已知齐次线性方程组11 / 3 有非零解，则a= a%+4%+3%—01 232%+(a+2)%—5%—011 2 3【题目出处】线性代数单元测试题a，b卷【答案】2【详解】对系数矩阵进行初等行变换，有(123)(123)1a20a—21A=a43.005—a2、乙a+2—5,100—8,可见R(A)<30a=2.TOC\o"1-5"\h\z入%+%+入2%—0,

1 2 3【参考题目2】齐次线性方程组<%+入%+%—0,的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵1 2 3%+%+入%—0

12 3B丰0使得AB=0,则U()(A(A)九——2且IBI=0(B)九二—2且IBIw0(C(C)九二1且IBI=0(D)九二1且IBIw0【题目出处】数三1998年真题【答案】(C)【详解】方法Bw0,AB=0，即齐次线性方程组A%=0有非零解入1九2一又A=1入1w0，故丫(A)>1,故方程组A%=0的基础解系所含向量个数11人n—(A)=3—r(A)<2，因此方程组A%=0最多有两个线性无关的解.则有，r(B)<2<3，从而有IBI=0.又方程组A%=0有非零解，由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知IAI=0.入1入201-九即|A|=1入1(a)0九-111人1 101-九九(b)(-1)3+11-九九一101一九=(1—九)2=0其中，(a)变换：将3行乘以(-1)加到2行，再将3行乘以(—九)力口至U1行;(b):按1列展开.得九二1.应选(C)方法将九二—2代入A,有-21-2 11 -2计算其行列式-21 4|4|：1-211 1 -2行的 倍分别加到 行03 0-331 -2，一一一03按1行展开(-1)”23 :9丰01-2由线性方程组有非零解解的充要条件知，方程组Ax:0只有零解，这与题设有B丰0,使4B:0,矛盾.因此可排除(A)、(B).又AB=0,A丰0,必有|B|=0(若|B|中0,可推得A:0，矛盾)故，排除(D)而选(C).考点2：齐次线性方程组的基础解系和通解【参考题目3】设a,a,a,a是4维非零列向量组,A=(a,a,a,a),A*是A的伴随矩

1 2 3 4 1 2 3 4阵,已知方程组AX:0的基础解系为k(1,0,2,0》，则方程组A*X=0的基础解系为B.a+a,a+a,3a1 2 2 3 3a,a,a

234D.a+a,a+a,a+a,a+a1 2 2 3 3 4 4 1【题目出处】线性代数单元测试题a,b卷【答案】C.【详解】由AX:0的基础解系仅含一个解向量知A:0且r(A)=3,所以(*)=1,A*X=0的基础解系应含三个解向量,故排除D.又由题设有(a,a,a,a)(1,0,2,0>:0,即a+2a=0,亦即a,a线性相关，所以1 2 3 4 1 3 1 3排除A,B.【参考题目4】设齐次线性方程组ax+bx+bx++bx-0,1 2 3 nbx+ax+bx++bx-0,1 2 3•…nbx+bx+bx++ax-0,•••1 2•• 3 •••n*••其中a丰0,b丰0,n>2,试讨论a,b为何值时；方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.【题目出处】数三2002年真题【详解】方法1：对系数矩阵记为A作初等行变换(abb b) (a b b b)2行-1行bab b3行t行b-aa-b 0 0A-n行一1行bba blb-a0a-b 0••••••••••••••••• • • • •• • • • •••••••、bbb a) Ib-a 0 0 a-b,当a-b（丰0）时，厂（A）=1,越-0的同解方程组为x—0,x—1,...,x—0，2 3 n基础解系中含有n-1x—0,x—1,...,x—0，2 3 n为自由未知量，分别取%-1,x3-0,…,0，x-0,x=0,…，x=1得方程组n-1个线性无关的解23 n^=[-1,1,0, ,0卜工-[-1,0,1,。， ,01工-[-1,0, ,0,1卜，1 2 n-1即其基础解系,方程且AX-0的全部.解为X三烙+k2i.一+勺£1，其中k(i-1,2,n是任意常数.i「a b b b、「a b b b、2行a-b(abb3行/(-Z?-110110b-aa-b0 0:n行a-bAlb-a0a-b 0--101••••• • • •• • • •7 c C 1(b-a 0 0 a-b)•••(-100当a于b时，则b、001，11行一2行乂b

1行—3行乂》1行一n行乂b

f故当a丰b且aW—(n—1)b时，|A|=a+•(n—1)bW0，故当a丰b且aW—(n—1)b时，当a=—(n—1)b时，r(A)=n—1,AX=0的同解方程组是x+x—0,1 2x+x—0,1 3x+x—0,1n基础解系中含有1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取\为自由未知量，取x=1，得方程组1个非零解5二11,1,,1卜，即其基础解系，故方程组的全部解为X二依，其中％是任意常数.方法2方法2：方程组的系数行列式a+(n—1)bbbba+(n—1)babba+(n—1)bbab••■••♦■*a+(n—1)b*b♦b♦••♦a把第2…，〃列加到第1列1Al二提取第1列的公因子团+(n1Al二提取第1列的公因子团+(n—1)b]1bbb1abb♦♦♦1bab♦•♦・*•*・*•*•••1bba第n行-第1行1bb•••b0a-b0000a-b0■••♦•••♦***・••••♦•000a-b=[a+(n—1)b](a—b)n—1第2行-第1行第3行-第1行[a+(n-1)b](1)当aWb且aW—(n—1)b时，|A|W0，r(A)—n方程组只有零解.（2）当a=b（2）当a=b（丰0）时，由a=aaa a第2行-第1行aaa annn naaa a第3行-第1行000 0♦♦・•••000 0aaa a•••••••:••••••••••••••••第甯亍-第1行•••••••aaa a000 0方程组的同解方程组为1111000 —-01•••x—0000a・•♦•••••■■•••••_0000••♦x+x十+x=0第1行n1 2x—0,x—1,...,x—0，x—0,x—1,...,x—0，23 n为自由未知量，分别取色二1，2二0，…,Xn=0，x―0,x—0,…，x—1得方程组n-1个线性无关的解23 n,0,1k1=[-1,1,0, ,0＞工=[-1,0,1,0, ,01 工 —[-1,0,,0,1k1 2 n-1即其基础解系，方•程组AX=0的全部解为X—妁+好之+…+Hn-1,其中k(i=1,2,n是任意常数.i(3)当a=-(n-1)b(b丰0)时，((1-n)b

bbb(1-n)b

bbb(1-n)b1,2,...,n行分别x1-b2行-1行3行-1行-n0-n甯亍-1行-n)1-n1111-10•••010-1•••0••*•••*•***•••*100-12,...,几行分别x1n(000••*1-1010-1******•••<100把第2,...,M亍都依次加到第行厂Q）-n-1，其同解方程组是-X-0,

2X-X=0,

1n基础解系中含有1基础解系中含有1个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量,取”为自由未知即其基础解系，故方程组的全部解为量，取％=1，得方程组1个非零解匕=h,i,,1t,即其基础解系，故方程组的全部解为X=k己，其中k是任意常数.考点3：非齐次线性方程组的解和导出组解之间的关系TOC\o"1-5"\h\z【参考题目51A是mxn的矩阵，n,H,,H是AX-0的基础解系，a是AX-b的一1 2s个解.1)证明a,a+n,a+n,,a+“无关;2)证明AX-b的任何一个解都可以由a,a+n,a+n,,a+n线性表示.12 s【题目出处】李永乐冲刺班讲义 …【证明】(1)设存在常数k,k,k,,k使得0 1 2ska+k(a+n)+k(a+n)+•••+k(a+n)-00 1 12 2 s s整理得到(k+k+k++k)a・+kn+kn++kn-0①0 1 2 s 11 22 ss两边同时乘以矩阵a,利用An-0,Aa-b得到・(k+k+k++k)b-0因为向量i 0 1 2 sb丰0所以k+k+k++k=0② …012 s

将其代入①得到k丑+k丑++kn=0TOC\o"1-5"\h\z11 22 ss因为n,n,,n是ax=o的基础解系，所以线性无关，即k=o,k=o,,k=o1 2s 1 2 s代入②得到k=0所以a,a+n,a+n,,a+n无关. …0 1 2 s2）设P是AX=b的一个解，则P-a是么*=0的解，则P-a可以由AX=0的基础解系n,n,,n来线性表示，即P-a=in+1n++1n1 2s 11 22 ssp=a+1n+1n++1n …11 22 ss=l(a+n)+1(a+n，)++1(a+n)+「1-(l+1++1)]a1 1 2 2 s $L1 2 s」ax=b的线性无关的解的个数是s+1，由1）知a,a+n,a+n,,a+n线性无关，12所以结论得证.【参考题目6】设《（2—【参考题目6】设《（2—九）x+2x-2x=11232x+（5-九）x-4x=2 ，问九取何值时，此方程组无解，有唯3X二一九一13-2x—4x+（5一九）12一解或有无穷多解？【题目出处】钻石卡小班授课讲义【详解】|A|二2【详解】|A|二2-九2-225-九-4-2-45-九二-（九-1）2（九一10）（1）当入。1且入。10时，R（A）=R（A）=3=n，有唯一解.（2）当九二1时12-212-224-412-2-200R（A）=R（A户1<3有无穷多解.可求得特解r0=（100）.基础解系为n1=（-21。,）十二基础解系为n1=（-21。,）十二（201)通解a=r+kn+kn0 11 22(3)当X=10时—A=—82-22-5-412—111210这里R(A)=2 R(A)=3R(A)wR。A故无解.考点5：非齐次线性方程组的通解【参考题目7】设a=(1,2,0)t,a=(1,a+2,-3a)t,a=(-1,-b—2,a+2b)t,12 3B=(1,3,—3)T，试讨论当a,b为何值时，(I)B不能由a1,a2,a3线性表示；(II)B可由a,a,a唯一地线性表示，并求出表示式；(III)B可由a,a,a线性表示，但表示式不唯123 123一,并求出表示式.【题目出处】数三2004年真题【详解】设有数k,k,k，使得123(*)ka+ka+ka=B11 22 33(*)记A二(a1,a2,a3).对矩阵(AB)施以初等行变换，有1 1 —1 1111 —1 12a+2—b—2 3」T0a—b10—3aa+2b—3」00a—b0(A,B)=(I)当a=0时，有一11—1 1(A,B)T00—b1000—1可知r(A)丰r(A,B).故方程组(*)无解，B不能由a,a,a线性表示.123(II)当a丰0(II)当a丰0,且a丰b时，有一11(A,B)T0a00—1—b

a—b11 11-1a10」0r(A)=r(A,B)=3,方程组(*)有唯一解：11k=1—,k=,k=0.1 a2a3此时B可由a1,a2,a3唯一地线性表示，其表示式为11B=(1——)a+—a.a1a2(I)当a=b丰0时，对矩阵(A,B)施以初等行变换，有

1T010」00r(A)=r(A,B)=2,方程组(*)有无穷多解， 其全部解为TOC\o"1-5"\h\z,-1,1 ,k=1-,k=+c,k=c,其中c为任意常数.1a2a3B可由a,a,a线性表示，但表示式不唯一，其表示式为1 2 3B=(1-—)a+(―+c)a+caa1a2 3x+ax+a2x=a3112 13 1x+ax+a2x=a3【参考题目8】设方程组〈1 2223 2x+ax+a2x=a31 3233 3x+ax+a2x=a3V1 4243 4(1)证明：若a丰a丰a丰a时，此方程组无解；12 3 4⑵设Va3=k，a2=a4=-k20),且已知01，R是该方程组的两个解,其中，P=(-1,1,1),P=(11-1)试求此方程组的通解.12【题目出处】钻石卡小班授课讲义【详解】(1)・.[A]=口(a-a)中0.•・R(A)=41<i<j<4j1而R(A)<3中R(A),故无解.(2(2)当a=a=k,

13a2=a4=-kk=0时得等价方程组x+kx+k2x=k31 2 3x-kx+k2x=-k312 3■:k丰0，,R(A)=R(A)=2<3其基础解系只含一个线性无关的向量，而n=P-P=(-202)*0是AX=0的解，故可作为基础解系，从而方程组的通解为12a=0+如或a=p+如12考点6：两线性方程组公共解、同解【参考题目9】设有两个4元齐次线性方程组

(I)%(I)%+%=01 2%一％=02 4(II)%一%+%=01 2 3%一%+%=0234（1）求线性方程（I）的基础解系；（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.【题目出处】钻石卡小班授课讲义【详解】 （1）（I）的基础解系为勺=(0,0,1,0%，&2=(-1,1,0,1%关于共公解有下列方法：方法一把（I）（II）联立起来直接求解，令001-001-1-1-1-2由n-R（A）=4-3=1，基础解系为（-1,1,2,1%，从而（I），（II）的全部公共解为k（-1,1,2,1%，（k为任意实数）方法二通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解.可求得（II）的基础解系为n1=6,1,1,0%，n2=（-1,-1,0,1%则k自+k自，ln+ln分别为（I），（II）的通解.TOC\o"1-5"\h\z11 22 11 22令其相等，即有k（0,0,1,0%+k（-1,1,0,1）t=L（0,1,1,0%+L（-1,-1,0,1%

12 12由此得（-k,k,k,k}=（-L,L-L,L,L}

2 2 1 2 2 1 2 1 2比较得k=L=2k=2L

11 2 2故公共解为2k（0,0,1,0）t+k（-1,1,0,1）t=k（-1,1,2,1）t22 2方法三把（I）的通解代入^。中，在为其解时寻求k，k应满足的关系式而求出12公共解.由于k&+k&=（-k,k,k,k）t，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故11 22 2 2 1 2〔一k—k+k=0< 2 2 1k—k+k=0212解出k=2k，从而可求出公共解为kQ1,1,2,1%12 2【参考题目10】设A是m义n实矩阵，At是A的转置矩阵，证明方程组(I)：加=0和(II):AtAx=0是同解方程组.所谓方程组同解即(I)的解全是(II)的解，(II)的解也全是⑴的解.【题目出处】钻石卡小班授课讲义【详解】如果a是⑴的解，那么Aa=0，而ATAa=At0=0，可见a是(II)的解.TOC\o