第二十七章 相似（章末小结）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

相似章末小结1.疏通本章知识,弄清知识脉络.2.进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题.(重点、难点)3.知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律.一、图形的相似1.我们把__________的图形叫做__________.相似图形形状相同两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.(1)相似图形的本质特征是形状相同，与大小，位置等因素无关.(2)全等图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，而且大小也相同.一、图形的相似2.两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.二、平行线分线段成比例定理如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.1.相似三角形：二、平行线分线段成比例定理一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.若l3∥l4∥l5时，则相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.由平行线获得相似常见的有两种基本图形：“A”字型和“X”字型.二、平行线分线段成比例定理利用三边判定两个三角形相似的定理1：三边成比例的两个三角形相似.三、相似三角形的判定利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三、相似三角形的判定三、相似三角形的判定利用两组角判定两个三角形相似的定理3：两角分别相等的两个三角形相似.三、相似三角形的判定判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.四、相似三角形的性质1.相似三角形对应线段之比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.2.相似三角形的周长之比相似三角形周长的比等于相似比.类似地，相似多边形周长的比等于相似比.3.相似三角形的面积之比相似三角形面积的比等于相似比的平方.类似地，相似多边形面积的比等于相似比的平方.五、相似三角形的应用表达式：物1高：物2高=影1长：影2长测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.1.利用相似三角形测量高度测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.2.利用相似三角形测量河宽五、相似三角形的应用1.图中，每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.这时的相似比又称位似比.六、位似2.利用位似，可以将一个图形放大或缩小，主要方法有两种：

方法一：在图形外取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小；

方法二：在图形内取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小.

六、位似3.利用位似作图形的基本过程：(1)确定位似中心；(2)连接图形各顶点与位似中心；(3)在连接图形各顶点与位似中心的线段或其延长线(或反向延长线)上按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所要求的图形.六、位似一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(___，___)或(____，____).kxky-kx-ky六、位似例1.已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度．

图形的相似及应用1

BAB

C平行线分线段成比例2

C【2-1】如图，直线l1//l2//l3，直线AC分别与直线l1,l2,l3交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2,l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O.若BC=2AO=2OB，OD=1，则OF的长是()A.1B.2C.3D.4C【2-2】如图，在平行四边形ABCD中,E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2,连接AE、BD交于点F，则BF:FD=_______.3：5

相似三角形的判定3

【3-1】如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6，AD:AB=3:1，则点C的坐标为_________.(2，7)【3-2】如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是()A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.AC2=AP·AB

D.AC·BC=AB·CPD【3-3】如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

相似三角形的性质4例7.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB∴△ADE∽△ABC,∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC又∵S△ADE:S△EFC=4:9∴AE:EC=2:3则AE:AC=2:5∴S△ADE:S△ABC=4:25∴S△ABC=25

A

C

B相似三角形的实际应用5例8.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．2m1.2m3.6m解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.即∴例9.教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组在阳光下，测得一根长为1m的竹竿的影长为0.9m,但他们马上测树的影长时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示.经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面.上的影长为2.7m，落在墙璧上影长为1.2m，请你和他们一起计算一下，树高为多少?解:根据题意，画出示意图，延长AD、BE相交于C,则CE是无墙壁遮挡时树影长的一部分.∴,即∴CE=1.08(m)∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)又∵△PQR∽△ABC∴,即∴AB=4.2(m),即树高为4.2m.【5-1】如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为()A.2.7米B.1.8米C.0.9米D.0.6米

A【5-2】如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墙面离地5.4m高的地方．【5-3】九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度.解:过点E作EH∥FB，分别交CD、AB于点G、H.根据题意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG==BH=EF=1.6m.∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4mEH=EG+GH=2+15=17m∵CD∥AB∴△ECG∽△EAH∴

即解得，AH=11.9(m)因此，旗杆AB的高度为:11.9+1.6=13.5(m)例10.如图，在△ABC中，AB=80，高CD=60,矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF:GF=2:1.(1)在△ABC内画出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上(保留作图痕迹);(2)求所作的矩形的面积.解:(1)如图，矩形IJLK即为所作;位似及其应用6例10.如图，在△ABC中，AB=80，高CD=60,矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF:GF=2:1.(2)求所作的矩形的面积.

例11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上.(1)若点F的坐标为(4.5,3),直接写出点A和点C的坐标;(2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标.

例11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上.(1)若点F的坐标为(4.5,3),直接写出点A和点C的坐标;(2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标.解:(2)∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是1:3，正方形BEFG的边长为6∴正方形ABCD的边长为2，OB:0E=