2021届人教a版（文科数学） 随机变量及其分布单元测试

2021届人教A版(文科数学)随机变量及其分布单元测

试

1、抽查10件产品，设事件A为至少有2件次品，则A的对立事件为()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

2、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A,“第2枚为正面”

为事件B,“2枚结果相同”为事件C,有下列三个命题：

①事件A与事件B相互独立；

②事件B与事件C相互独立；

③事件C与事件A相互独立.

以上命题中，正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

5

P(C1)=-

3、设随机变量1〜B(2，P),n〜B(4,p),若9,贝！)P(n22)的值为()

32116516

A.81B.27C.81D.81

4、两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙

加工了60个，其中有50个合格，令A事件为”从100个产品中任意取一个，取出

的是合格品”，8事件为”从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则

P(A|8)等于()

2

A.cD

5-?-7

5、已知两个正态分布密度函数,的图象如图所示，则

(piG0由g(x3=1,2)

A.Hl<N2,5<。2B.m>N2,5>o

2

C.m<N2,d>。2D.Ml>N2,5>02

6、如图所示的平面图形是由正方形和其内切圆及另外4个四分之一圆弧构成，若

在正方形内随机取一点，用A表示事件“点落在正方形的内切圆内”，B表示事件“点

落在阴影部分内”，则P(B|A)=()

nnn-2n-2

一1________

A.4B.4c.4D.兀

7、

小华与另外4名同学进行“手心手背，，游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背

其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分,现5人共进行

了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X,则EX为（）

1533153

A.16B.16C.8D.2

8、

随机变量S的概率分布规律为P(厂k);a(ll-2k)(k=123,4,5),其中a是常数，则

513

23的值为（)

3348

A.5B.25C.5D.25

3

9、在区间（0,1）内随机投掷一个点M（其坐标为x）,若A乂0<x<；｝,Bx|_<x<一

44

则尸（5|A）)

10、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为目，已知

16

P（g=1）=兹，且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为（）

A.10%B.20%C.30%D.40%

1K10张奖券中有3张是有奖的,某人从中不放回地依次抽两张,则在第一次抽到中

奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为（）

12、设随机变量&等可能取值1,2,3,n,如果P（g〈4）=0.3,那么n的

值为（）

A.3B.4C.9D.10

13、给定一组数据X„X2）,X2。若这组数据的方差为3,则数据2X.+3,2X?+3,,2X2O+3的方

差为

14、如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P,用A表示事件“点P恰

好取自由曲线y=«与直线x=l及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点

P恰好取自阴影部分内”，则P(B\A)=

15、有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量Xi，X2,已知E(XD=E(X2),

V(XI)>V(X2),则自动包装机的质量好.

]

2

16、对于正态分布N(O,1)的概率密度函数P(x)=岳，有下列四种说法：①P(x)

1

为偶函数；②P(x)的最大值为后；③P(x)在x>0时是单调减函数，在xWO时是

单调增函数；④P(x)关于。=1对称.不正确的是(填序号).

17、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：

X24568

y3040605070

乘法求y关于

x的线性回归方程£=

(II)试预估销售额为95.5万元时，广告费支出大约为多少万元？

555

参考数据：=145EX2=13500»>,»=1380

i=li=li=l

18、判断函数f(x)=ln(sinx+J]石&)的奇偶性.

19、某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使

用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本人教A版人教B版苏教版北师大版

人数2015510

(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

(2)若随机选出2名使用人教版的老师发言，设使用人教A版的教师人数为f,求

随机变量f的分布列.

20、有两盒卡片，一个盒子装有4张，分别标有数字1、1、2、3,另一个盒子也装

有4张，分别标有数字2、2、3、4.现从两个盒子中各取一张卡片.

(1)求取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率；

(2)记J为所取两张卡片上的数字之和，求f的分布列和数学期望.

21、某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽

取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，

同时得到如下所示的频率分布表：

分数段（分）[50,70.)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计

频数b

频率a0.25

（1）求表中a,b的值及分数在［90,100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校

学生数学成绩的及格率（分数在［90,150）内为及格）：

（2）从成绩在［100,130）范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在［100,110）内

的人数为X,求X的分布列及数学期望.

22、2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地（已婚

男性约15000人）随机抽取了150名己婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经

统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：

（1）求这100名已婚男性的年龄平均值嚏和样本方差（同组数据用区间的中点值

代替，结果精确到个位）；

（2）①试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数；

②由直方图可以认为，愿意生育二孩的已婚男性的年龄J服从正态分布

其中〃近似为样本的平均值kb?近似为样本的方差52.试问：该地愿意生育二孩且

处于较佳的生育年龄J（Je（26,31））的总人数约为多少？（结果精确到个位）.

附：若J〜N（〃Q2）,则

P(〃一b<必+b)=0.6826尸(〃一"<J<M+2CT)=0.9544

参考答案

1、答案B

,至少有n个的否定是至多有n-1个

又•.•事件A：“至少有两件次品”，

二事件A的对立事件为：

至多有一件次品.

故选B

2、答案D

根据相互独立事件的定义可判断A,B,C两两独立.

详解

P（A）=；,P（B）=：P（C）《P（AB）=P（AC）=P（BC）=：

因为P（AB）=；=P（A）P（B）,故A,B相互独立；

因为P（AC）=；=P（A）P（C）,故A,C相互独立；

因为P（BC）=：=P（B）P（C）,故B,C相互独立；

综上，选D.

名师点评

判断两个事件AB是否相互独立，可以根据实际意义来判断（即一个事件的发生与否不

影响另一个事件的发生），也可以根据P（AB）=P（A）P（B）来确定两个事件是相互独立的.

3、答案B

5

P（U1）=-

9

1

=>C；p(l-p)+南=2p-p2=j=p

3

22233441412111

、=C4p(1-p)+Cp(1-p)+Cp=6x-x-+4x—X-+—=—

P(n22)4992738127,选民

4、答案C

曲明需二嚅吟/故选c

考查目的：条件概率

5、答案A

正态曲线关于x=u对称，且目越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象

的均值小，又有。越小图象越瘦高，得到正确的结果.

详解

正态曲线是关于x=u对称，且在x=u处取得峰值高，由图易得Ni<N2,故（pi（x）的图象更

“瘦高”，s（x）的图象更“矮胖”，则.故选A.

名师点评

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和

标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题.

6、答案D

分析：利用几何概型概率公式分别求出P(A)与P(AB)的值，由条件概率公式可得结果.

详解：正方形面积为3

271

1xn=n,P(A)=-

正方形内切圆面积为名

/I1\

4x-nx12--x1x1=n-2

内切圆内阴影部分的面积为M2J,

n-2

•••P(AB)=——

4,

n-2

P(AB)4n-2

P(B/A)=--------=—=——

P(A)nn

4,故选D.

名师点评：本题主要考查条件概率以及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何

概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问

题关维是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失

分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；

(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)利用几何概型的概率公式时，

忽视验证事件是否等可能性导致错误.

7、答案B

分析：首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数

学期望即可.

详解：设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果，

其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，

如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.

00000000010001000011

00100001010011000111

01000010010101001011

0110001101onio01111

10000100011001010011

10100101011011010111

11000110011101011011

11100111011111011111

2211

P=—=—

由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为3216,

X可能的取值为。，123,该分布列为超几何分布,

p(X=0)=C°Xp(X=1)=c

'3

P(X=2)=C；p(X=3)=Cjx

则数学期望:

33

E(X)=C

3喧X胃16

本题选择5选项.

名师点评：本题主要考查古典概型的计算，离散型随机变量的期望，超几何分布及其应

用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8、答案D

1/513\

・•.P卜〈小

**•a=，

由题意，由所有概率的和为1可得a(9+7+5+3+l),25

538

P(S=3)+P(£=4)=—+—

252525,故选D.

9、答案A

因为区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若4=卜|0＜》＜5,8=「《＜》＜(

则P(B|A)=；,选A

10、答案B

设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为目，

由「(六1)噂得，生炉吟

r'Jv^iQ'IJ

化简得n"10n+16=0,

解得n=2或n=8；

又该产品的次品率不超过40%,，n?4；

应取n=2,

2

.,♦这10件产品的次品率为—=20%.

10

本题选择B选项.

11、答案B

设第一次抽到中奖券记为事件A,第二次抽到中奖券记为事件B,则两次都抽到中奖券为

1

事件AB.则P(A)=W-,P(AB)=3x2=—,P(B|A)^岂空^=4=2.

1010x915P(A)29

10

12、答案D

13、答案12

14、答案,

4

由于曲线y=4与直线为=1围成的面积为£=卜6公=*P-0=*，即P(A)=上

o31J33

曲线y=«与直线y=x围成的面积为

1nil1

।of—2

S2=^-x)dx=-P-0一一(1-0)=----=一，即尸(AB)=±,所以由条件事

,、323266

件的概率公式可得P(B|A)="萼=lx-=i,应填答案

P(A)6244

名师点评：本题旨在考查几何概型的计算公式及运用，求解时，充分依据题设条件借助

定积分的计算公式分别求出几何概型中的区域面积，然后再运用条件概率的计算公式分

析求解，最终使得问题巧妙获解。

15、答案乙

期望值相等的前提下，方差越小，稳定性越好，质量也越好.

16、答案④

X〜N(O,1),，曲线的对称轴为x=u=0.

17、答案解：(I)由已知可得元=5,5=50,

555

Zx；=145,ZN；=13500，Z%y,=1380,

<=1z=!Z=l

5

Vxy.-5xy

白团J1380—5x5x50，「

b=3--------------=----------------；—=6.5,

fx,2-5x2145-5x5-

Z=1

—板=50—6.5x5=17.5,

因此，所求回归直线方程是f，=6.5x+17.5.

(II)根据上面求得的线性回归方程，当销售额95.5万元时，95.5=6.5x+17.5(万元),

解得x=12,即这种产品的销售收入大约为12万元.

18、答案,；sinx+甘sil/x/sinx+16(),

若两处等号同时取到，

则sinx=0且sinx=1矛盾，

...对xeR都有sinx+J1+占X>0.

：f(x)=ln(sinx+

=ln(Jl+s妤xsinx)

=ln(J1+甜x+sinx)1

=ln(sinx+Jl+sT/x)=f(x),

.•.f(x)为奇函数.

19、答案(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为

2

C50=l225.

选出2人使用版本相同的方法数为

2222

C2O+CI5+C5+C1O=35O.

3502

故2人使用版本相同的概率为：=-.

12257

⑵§=0)=绛=』，尸(4=1)=堡二%，

617役119

P(§=2)=玲=里，

4119

...f的分布列为

012

36038

p

17H9119

20、答案（1）从两个盒子中各取一张卡片共有种取法，取出的两个数字恰

为相邻整数的情况有8种，所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为

162

（2）由题意可知自的可能取值为3,4,5,6,7.

P©=3)=喏_1尸«=4）=良芸>1D"C；+1+C

——，二=一，P亿=5)=-------:

441616

1

二­，

8

所以J的分布列为:

J34567

p£J_51

4416816

J的数学期望为EJ=3XL+4XL+5XW+6X1+7X」-=4.5.

4416816

16

21、答案1.65%;2.7

（1）由茎叶图可知分数在［50,70）范围内的有2人，在［110,130）范围内的有3人，

—=0.1,

,a=20b=3；分数在［70,90）内的人数20X0.25=5,结合茎叶图可得分数在

［70,80）内的人数为2,所以分数在［90,100）范围内的学生人数为4,故数学成绩及格的

13

学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为为X100%=65%.

（2）由茎叶图可知分数在［100,130）范围内的有7人，分数在［100,110）范围内的有4