第六章-反证法在立体几何中的应用

第六章反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。已知：一点P与一条直线l，且a、b、c.......n都垂直于l.求证：a、b、c.......n在同一平面内。证明：；假设；这样过一点有两个平面与直线l垂直，与有且只有一个矛盾，那么，故命题得证。二、证明诸点共面例题：已知空间四点A、B、C、D满足,求证：A、B、C、D共面。证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。假设A、B、D，C，是C在内的射影，连D,=1\*GB2⑴同理=2\*GB2⑵是矩形，所以=3\*GB2⑶已知=4\*GB2⑷由=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵有由=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷有矛盾，则C一定在内，即A、B、C、D共面。三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面相交于直线l，经过直线l上两点A和B分别在内直线作AC，内作直线BD;求证：AC、BD是异面直线。证明：假设AC、BD共面，则AC、BD所在平面那么，重合与已知矛盾；所以AC、BD是异面直线。指出：证明异面直线只能用定义和判定，但是都比较复杂，故采用反证法。例题2：设A、B、C、D是空间四点，且AB、CD是异面直线，求证：AC与BD,AD与BC分别是异面直线。证明：假设AC与BD共面，则A、B、C、D共面与AB、CD异面矛盾所以AC与BD是异面直线。同理AD与BC是异面直线。四、证明直线与平面相交例题：求证：如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。已知：。求证：。证明：假设a与不相交，则；=1\*ROMANI、，矛盾；=2\*ROMANII、时，过，由，则都不相交，设相交直线为b、c则，又，但是，矛盾综上所述：a与平面相交。五、证明平面与平面相交例题：直线a与b不平行，如果，那么平面必定相交，并且交线必垂直于a、b。证明：假设，即。；矛盾，故相交。设，这样命题得证。六、证明平行关系例题1：求证：两个平面平行，则一平面中任意一条直线都与另一平面平行。已知：，；求证：。证明：假设不成立，则必有公共点，那么与矛盾。故命题成立。例题2：设直线，，。求证：。证明：假设a不平行b，且有，则，与已知矛盾，所以。例题3：设，且；求证：或。证明：若a不平行，且，则或；与矛盾；即a与b无公共点且不共面a与b是异面直线与矛盾。故命题成立。例题4：已知；求证：。证明：假设a，则，又与矛盾。故命题成立。七、证明垂直关系例题：求证：垂直于同一平面的两个相交平面的交线也垂直于这个平面。已知：;求证：.证明：设，。假设AB不垂直于，则AB与a、b都不垂直或不垂直b；=1\*GB2⑴AB与a、b都不垂直，在内过点A作，，同理AD；与过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾；=2\*GB2⑵不垂直b，设，则矛盾；综上所述。指出：由过程知道用同一法最为理想。1、过点A作过点A作，则，又，即重合；同理;则，那么重合，命题成立。2、假设AB不垂直于，过点A作且，同理;所以重合，命题成立。3、在平面内任意取一点P，过P作则矛盾，所以。八、证明唯一性命题例题1：求证：经过平面外一点A只有一个平面和已知平面平行。证明：假设过点A存在两个平面都与平行，且；过点A作直线b，；与矛盾，故命题成立。例题2：设直线a过点A且直线a垂直于平面；求证：a是唯一的。证明：假设a不唯一，则存在过A作直线b且；设a、b确定平面且，则与平面内过一点只能作一条直线和已知直线垂直矛盾；故a是唯一的。例题3：设点A，求证：是唯一的。证明：假设过点A还存在，并设；作矛盾，故是唯一的。九、证明否定式命题例题1：求证：两个相交平面没有公垂线。证明：假设存在公垂线a，则矛盾，所以命题