扬州市2021-2022学年高二上学期期末四校联考数学试卷（解析版）

扬州市2021-2022学年度第一学期期末四校联考高二数学试题2022.01单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）.1.（苏教版教材课本P98页第3题）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（）A.B.C.D.【答案】A2.(苏教版教材P9页第7题)设为实数，过两点的直线的倾斜角为。求的值（）A.B.C.D.【答案】B3.(2021年全国新课标卷1卷)等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B4.（苏教版教材P71页14题改编）已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（）A.B.C.或D.【答案】C5.(2021年全国新课标卷1卷)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A6.(2019新人教版A选择性必修二P55页3（2）)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目,请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.B.C.D.【答案】A7.(苏教版教材P215页10)设,若有大于零的极值点，则（）A.B.C.D.【答案】B8.已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则()A．e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0)B．e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C．e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D．e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)【答案】D二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.9.已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）.A. B. C. D.【答案】BC10.(苏教版教材P168页16题改编)设数列满足：，且对任意的,都有，为数列的前n项和，则（）A.为等比数列；B.C.为等比数列D.【答案】BC11．(2021新课标全国1卷)已知点在圆上,点、,则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时,D.当最大时,【答案】ACD12.（来源于苏教版、人教版教材）下列结论正确的是（）A.当；B.C.D.【答案】AC三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)13.直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．【答案】814.(2021新高考全国1卷)曲线在点处的切线方程为__________．【答案】15.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.【答案】116.(2021新高考全国1卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次,那么______.(本小题第一空2分，第二空3分）【答案】(1).5(2).解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）（2019新人教版A选择性必修二P66页4题）已知的顶点A(1,5),边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；【答案】（1）设C点的坐标为，则由题知---------------------------------------5分（2）设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知,则直线BC方程为---------------------------------------5分18.（本题12分）(苏教版教材P56页7题类似)已知圆M过，,且圆心M在直线上.（1）求圆M的标准方程；（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；【答案】（1）圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得圆的标准方程为.-----------------------------6分（2）①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意；——————————————————8分②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得，，，解得．-----10分直线m的方程为，或.-----------------------12分19.（本题12分）(2021新高考全国1卷)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】【详解】选①②作条件证明③：设，则，--------------------------------------------------------3分当时，；------------------------------------------5分当时，；------8分因为也是等差数列，所以，解得；-------10分所以，所以.-------------------------------------12分选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.20.（本题12分）（2021江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.（1）证明：；（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.①求直线的方程；②求椭圆的标准方程.【答案】（1），，因此，；------4分（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，当在椭圆的内部时，，可得.设点、，则，所以，，由已知可得，两式作差得，所以，所以，直线方程为，即.所以，直线的方程为；--------------------------------8分②联立，消去可得.，由韦达定理可得，，--------------------------10分又，而，，，解得合乎题意，故，因此，椭圆的方程为.-------------------------------------12分21.（本题12分）数列中，，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．【答案】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；——————————————4分（2）由（1）知，，则，，，因此，，所以；——————————————————————————8分（3）由（2）知，于是得，则，因此，，———————————10分所以不超过的最大的整数是2021．——————————————————12分22.（本题12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值M，证明：.【答案】1）由题意，函数，则，——————————————2分当时，令，所以函数单调递增；当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在单调递增，在单调递减.—————4分综上所述：当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，令，所以函数在R上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间中单调递减.——————5分（