2023-2024学年上海市静安区久隆模范中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市静安区久隆模范中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）1．如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是A． B． C．一切实数 D．不能确定2．方程的解是A． B． C．或 D．3．已知反比例函数的图象经过，那么对此函数描述正确A．随增大而增大 B．时，随增大而减小 C．随增大而减小 D．时，随增大而增大4．下面计算正确的是A． B． C． D．5．的有理化因式是A． B． C． D．6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B．且 C．且 D．二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．计算：．8．函数的定义域是．9．已知一次函数的图象经过点，则是．10．最简二次根式与是同类根式，则．11．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是．12．关于的一元二次方程的两实数根为一正一负，则实数的取值范围是．13．在实数范围内因式分解：．14．如果，那么（4）．15．如果，则方程必有一解为．16．利用旧墙为一边，再用长的篱笆围成一个面积为的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是（旧墙长为17．已知反比例函数的图象经过点，则当时，自变量的取值范围．18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其横坐标分别为1和5，则关于的不等式的解集是．三、简答题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）19．（5分）计算：．20．（5分）解不等式：．21．（5分）解方程：．22．（5分）解方程：．四、解答题（本大题共5题，23、24题6分，25、26题8分，27题10分，满分38分）23．（6分）已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，当时，求与之间的函数关系式．24．（6分）一幅长、宽的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．若去掉彩条后的面积是，求横、竖彩条的宽度．25．（8分）已知关于的方程．（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．26．（8分）甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：与气球上升时间（单位：的函数图象．（1）求这两个气球在上升过程中关于的函数解析式；（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．27．如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．（1）点的坐标是，；（2）当，求点的坐标；（3）求出关于的函数关系式．附加题28．阅读材料，解答问题：已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数，满足：，且，则，；（2）间接应用：在（1）条件下，求的值；（3）拓展应用：已知实数，满足：，且，则．

2023-2024学年上海市静安区久隆模范中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）1．如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是A． B． C．一切实数 D．不能确定解：函数是正比例函数，，取全体实数，故选：．2．方程的解是A． B． C．或 D．解：方程变形得：，分解因式得：，解得：，．故选：．3．已知反比例函数的图象经过，那么对此函数描述正确A．随增大而增大 B．时，随增大而减小 C．随增大而减小 D．时，随增大而增大解：反比例函数的图象经过，，函数经过二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故说法正确，故选：．4．下面计算正确的是A． B． C． D．解：、4与不能合并，所以选项错误；、原式，所以选项的计算正确；、原式，所以选项错误；、原式，所以选项错误．故选：．5．的有理化因式是A． B． C． D．解：的有理数因式是，故选：．6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B．且 C．且 D．解：根据题意得且△，解得且．故选：．二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．计算：2．解：原式，故答案为：2．8．函数的定义域是．解：根据题意得：，解得．9．已知一次函数的图象经过点，则是1．解：一次函数的图象经过点，，解得，故答案为：1．10．最简二次根式与是同类根式，则3．解：最简二次根式与是同类根式，，，故答案为：3．11．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是．解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，则，解得：．故答案为：．12．关于的一元二次方程的两实数根为一正一负，则实数的取值范围是．解：设、为方程的两个实数根，由已知得：，即，解得：．故答案为：．13．在实数范围内因式分解：．解：时，，．故答案为：．14．如果，那么（4）．解：把代入得：（4）．故答案为：．15．如果，则方程必有一解为1．解：，若，当时，，此方程必有一个根为1，故答案为：1．16．利用旧墙为一边，再用长的篱笆围成一个面积为的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是，（旧墙长为解：设长方形的一边长为，那么另一边长为，由题意得，解得，，根据旧墙长为，可得出不合题意舍去．那么长方形场地的长和宽分别为，．故答案为：，．17．已知反比例函数的图象经过点，则当时，自变量的取值范围．解：反比例函数的图象经过点，，得，，该函数图象在第二、四象限，当时，；当时，；当时，则，解得，，故答案为：．18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其横坐标分别为1和5，则关于的不等式的解集是或．解：如图所示：关于的不等式的解集是：或．故答案为：或．三、简答题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）19．（5分）计算：．解：原式．20．（5分）解不等式：．解：去括号得，，移项得，，的系数化为1得，，即．21．（5分）解方程：．解：移项，得，二次项系数化为1，得，配方，由此可得，．22．（5分）解方程：．解：方程化为，，或，所以，．四、解答题（本大题共5题，23、24题6分，25、26题8分，27题10分，满分38分）23．（6分）已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，当时，求与之间的函数关系式．解：与成正比例，与成反比例，，，，，当时，当时，，解得：，与之间的函数关系式为．24．（6分）一幅长、宽的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．若去掉彩条后的面积是，求横、竖彩条的宽度．解：设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为．根据题意，得：，整理，得：，解得：，（舍去），．答：横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为．25．（8分）已知关于的方程．（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．【解答】（1）解：把代入方程有：，解得．故方程为，设方程的另一个根是，则：，解得．故，方程的另一根为；（2）证明：关于的方程中，△，无论取什么实数值，此方程总有实数根．26．（8分）甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：与气球上升时间（单位：的函数图象．（1）求这两个气球在上升过程中关于的函数解析式；（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．解：（1）设甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：，分别将，和，代入，，，解得：，，甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：；（2）由初始位置可得：当大于20时，两个气球的海拔高度可能相差，且此时甲气球海拔更高，，解得：，当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为．27．如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．（1）点的坐标是，；（2）当，求点的坐标；（3）求出关于的函数关系式．解：（1）正方形的面积为9，，．又点在函数的图象上，．故答案为：，9．（2）分两种情况：①当点在点的左侧时，在函数上，．则，，．，；②当点在点或的右侧时，在函数上，．，，．．（3）当时，．当，时，的纵坐标是，由题意附加题28．阅读材料，解答问题：已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知