江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2+x＝ C．3（x﹣1）﹣x＝1 D．x2＝2x﹣12．已知＝，则的值为（）A． B． C． D．3．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝04．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系是（）A．点C在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．点C在⊙A外 D．无法确定5．如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应周长的比是（）A．3：4 B．：2 C．9：16 D．3：76．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝50°，则∠OBA的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．50°8．已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的（）A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点9．如图，矩形ABCD的边长AB＝3，AD＝6，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC＝1：2，AF分别与DE、DB交于点M、N，则MN＝（）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（2，0），若在直线y＝x+m上存在点P满足∠APB＝45°，则m的取值范围是（）A．﹣6≤m≤6 B．﹣2≤m≤6 C． D．二、填空题。（本大题共8小题10空，每题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不11．在比例尺为1：3000的地图上，一条长为6cm的线段实际长为m．12．若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是．13．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为℃（精确到1℃）．14．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DE＝．15．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，若其中一根为x＝﹣3，则k＝．16．如图：PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是直径，若∠P＝50°，则∠ACB＝°．17．如图，P为△ABC的内心，经过点P的线段分别与AC、BC相交于点D、点E．若CD＝CE＝4，DE＝2，则点P到AB的距离为．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，C为OA上一点，且OC＝2，则BC所在直线的函数关系式为；点D是线段OB上一点，连接AD交BC于点E，当过A、E、C三点的圆与x轴相切时，点E的坐标为．三、解答题。（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字证明、证明过程或演算步骤.）19．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣1）＝x﹣1．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC．（1）求证：△DAC∽△ABC；（2）当AC＝6，BC＝9且△ABD的面积为10时，求△ACD的面积．21．（8分）关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两根，且．求m的值．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥BD，∠ABC＝∠CBD．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）当BD＝2，AB＝8时，求CD的长．23．如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2：1；（3）在边AB上求作点M，使得BM＝2AM．24．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝12，AB＝10．（1）请用圆规和直尺在图1中作出⊙P，使圆心P在BC边上，且与AC、AB两边都相切（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求PB的长．25．如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝2，PB＝8，过点P的弦CD⊥AB，Q为BC弧上一动点（与点B、C不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD．（1）求AD的长；（2）在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值．26．某旅游景点为了提高游客数量，对团队游的票价进行了如下优惠：如果团队人数不超过20人，门票价格为80元/人；如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低0.5元/人，但门票价格不低于60元/人．（1）当团队人数为16人时，门票价格为元/人；当团队人数为26人时，门票价格为元/人；（2）若某团队共支付门票2800元，求该团队的人数．27．已知，矩形OABC的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，点B的坐标为（2，4），E为AC上一动点．（1）如图1，连接OE，当时，求E点坐标；（2）连接BE，过点E作EF⊥BE交x轴于点F，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．28．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点P是对角线BD上一动点，连接PC、PE，点C关于直线PE的对称点为点M，连接MD、MA，已知AB＝8，设DP的长为x．（1）当点M与点D重合时，则x的值为；（2）当△MDA的面积最大时，求x的值；（3）当△MDA为等腰三角形时，直接写出x的值．

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2+x＝ C．3（x﹣1）﹣x＝1 D．x2＝2x﹣1解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；B．是分式方程，故本选项不合题意；C．是一元一次方程，故本选项不合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．2．已知＝，则的值为（）A． B． C． D．解：由合比性质，得＝，则＝＝，故选：C．3．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0解：A、Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B．4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系是（）A．点C在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．点C在⊙A外 D．无法确定解：由勾股定理，得AC＝＝＝5，∵AC＞r，∴点C与⊙A外边，故选：C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应周长的比是（）A．3：4 B．：2 C．9：16 D．3：7解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的对应周长的比是3：4，故选：A．6．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4 B．5 C．8 D．10解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，则AB＝2PB＝8，故选：C．7．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝50°，则∠OBA的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．50°解：连接OA，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°．故选：C．8．已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的（）A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点解：已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：D．9．如图，矩形ABCD的边长AB＝3，AD＝6，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC＝1：2，AF分别与DE、DB交于点M、N，则MN＝（）A． B． C． D．解：过F作FH⊥AD于H，交DE于O．∵AB＝3，E为AB的中点，∴AE＝AB＝，∵BF：FC＝1：2，BC＝AD＝6，∴BF＝2，FC＝4，∴AF＝＝＝．∵OH∥AE，∴，∴OH＝AE＝1，∴OF＝FH﹣OH＝3﹣1＝2．∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，∴，∴AM＝AF＝；∵AD∥DF，∴△AND∽△FNB，∴，∴AN＝AF＝，∴MN＝AN﹣AM＝＝．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（2，0），若在直线y＝x+m上存在点P满足∠APB＝45°，则m的取值范围是（）A．﹣6≤m≤6 B．﹣2≤m≤6 C． D．解：如图，作等腰直角三角形ABE，∵A（﹣2，0），B（2，0），∴OA＝OB＝2，AB＝4，∴E在y轴上，当E在AB上方时，以E为圆心，EA为半径作圆⊙E，此时⊙E上存在点满足∠APB＝45°，设直线y＝x+m与⊙E相切，切点为P，此时m的值最大，设直线y＝x+m与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接EP，则EP⊥CD，直线y＝x+m，∵AB＝4，△ABE是等腰直角三角形，∴OE＝2，AE＝2，∴EP＝2，由直线y＝x+m可知OD＝OC＝m，∴∠PDE＝45°，∴DE＝EP＝4，∴m＝4+2＝6，当E在AB下方时，同理得m＝﹣6，∴m的取值范围是﹣6≤m≤6，故选：A．二、填空题。（本大题共8小题10空，每题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不11．在比例尺为1：3000的地图上，一条长为6cm的线段实际长为180m．解：6×3000＝18000（cm），18000cm＝180m．故答案为：180．12．若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是x2﹣x＝0（答案不唯一）．解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0，整理得：x2﹣x＝0．故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）．13．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为23℃（精确到1℃）．解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．故答案为23．14．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DE＝6．解：∵a∥b∥c，∴，即，∴DE＝6，故答案为：6．15．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，若其中一根为x＝﹣3，则k＝﹣15．解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，若其中一根为x＝﹣3，∴（﹣3）2﹣2×（﹣3）+k＝0，解得：k＝﹣15故答案为：﹣15．16．如图：PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是直径，若∠P＝50°，则∠ACB＝65°．解：连接BC，OB．∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°．∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝65°，故答案为：65．17．如图，P为△ABC的内心，经过点P的线段分别与AC、BC相交于点D、点E．若CD＝CE＝4，DE＝2，则点P到AB的距离为．解：连接CP，PB，过P作PH⊥BC于H，PG⊥AB于G，∵P为△ABC的内心，∴CP平分∠DCE，PB平分∠ABC，∵CD＝CE＝4，∴PH＝PG，PD＝PE＝1，∴CP＝＝＝，∵S△PCE＝，∴PH＝＝＝，∴点P到AB的距离为，故答案为：．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，C为OA上一点，且OC＝2，则BC所在直线的函数关系式为y＝﹣x+2；点D是线段OB上一点，连接AD交BC于点E，当过A、E、C三点的圆与x轴相切时，点E的坐标为（，）．解：当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝8，则B（8，0），当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，则A（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，2），B（8，0）分别代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，过A、E、C三点的圆为⊙P，过P点作PF⊥AC于F点，PH⊥x轴于H点，连接PC、PE，如图，设E（t，﹣t+2），∵AC＝4，∴CF＝AC＝2，∴OF＝4，∵∠FOH＝∠OHP＝∠PFO＝90°，∴四边形PHOF为矩形，∴PH＝OF＝4，∵⊙P与x轴相切，∴PH为⊙P的半径，∴PC＝PE＝PH＝4，在Rt△PFC中，PF＝＝2，∴P（2，4），∴（t﹣2）2+（﹣t+2﹣4）2＝42，解得t＝，∴E点坐标为（，）．故答案为：y＝﹣x+2，（，）．三、解答题。（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字证明、证明过程或演算步骤.）19．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣1）＝x﹣1．解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝，x＝1，∴，；（2）3x（x﹣1）＝x﹣1，3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣1）＝0，x﹣1＝0或3x﹣1＝0，解得x1＝1，．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC．（1）求证：△DAC∽△ABC；（2）当AC＝6，BC＝9且△ABD的面积为10时，求△ACD的面积．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∴△DAC∽△ABC；（2）∵△DAC∽△ABC，AC＝6，BC＝9，∴＝（）2＝，∵△ABD的面积为10，∴＝，∴S△ACD＝8．21．（8分）关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两根，且．求m的值．【解答】（1）证明：a＝1，b＝2m，c＝m2﹣1．∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，∴无论m取任何实数，一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2为方程x2+2mx+m2﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，∵，∴（﹣2m）2﹣2（m2﹣1）﹣8＝0，∴m2＝3，∴m＝±．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥BD，∠ABC＝∠CBD．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）当BD＝2，AB＝8时，求CD的长．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OD，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠ABC＝∠CBD，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴∠D＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，∴CD为⊙O的切线．（2）解：AB为⊙的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠D，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∵BD＝2，AB＝8，∴CB＝＝＝4，∴CD＝＝＝2，∴CD的长是2．23．如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2：1；（3）在边AB上求作点M，使得BM＝2AM．解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）△A′B′C′即为所求；（3）如图，点M即为所求．24．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝12，AB＝10．（1）请用圆规和直尺在图1中作出⊙P，使圆心P在BC边上，且与AC、AB两边都相切（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求PB的长．解：（1）作∠CAB的平分线交BC于P，以P为圆心，P到AC的距离为半径作圆，⊙P即为所求，如图：（2）过P作PD∥AC交AB于D，如上图：∴∠PDB＝∠CAB，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B，∴∠PDB＝∠B，∴PD＝PB，∵PD∥AC，∴∠CAP＝∠APD，由作图可知，∠CAP＝∠PAD，∴∠APD＝∠PAD，∴PD＝AD，∴PB＝PD＝AD，设PB＝PD＝AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝10﹣x，∵PD∥AC，∴＝，即＝，解得x＝，∴PB的长为．25．如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝2，PB＝8，过点P的弦CD⊥AB，Q为BC弧上一动点（与点B、C不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD．（1）求AD的长；（2）在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值．解：（1）连接OC，如图，∵PA＝2，PB＝8，∴OD＝5，OP＝3，∵CD⊥AB，∴∠APD＝∠OPD＝90°，在Rt△OPD中，PD＝＝4，在Rt△APD中，AD＝＝2，即AD的长为2；（2）的值不发生变化，＝．理由如下：连接AQ，如图，∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AQD＝∠ADC，∵AH⊥DQ，∴∠AHQ＝90°，∵∠AHQ＝∠DPA，∠AQH＝∠ADP，∴△AQH∽△DPA，∴＝，∴＝＝＝．26．某旅游景点为了提高游客数量，对团队游的票价进行了如下优惠：如果团队人数不超过20人，门票价格为80元/人；如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低0.5元/人，但门票价格不低于60元/人．（1）当团队人数为16人时，门票价格为80元/人；当团队人数为26人时，门票价格为77元/人；（2）若某团队共支付门票2800元，求该团队的人数．解：（1）根据已知，团队人数为16人时，门票价格为80元/人；∵80﹣（26﹣20）×0.5＝77（元/人），∴团队人数为26人时，门票价格为77元/人；故答案为：80，77；（2）∵20×80＝1600＜2800，∴该团队的人数超过20人；设该团队的人数为x人，根据题意得：x[80﹣0.5（x﹣20）]＝2800，解得x＝40或x＝140，当x＝40时，80﹣0.5×（40﹣20）＝70（元/人），当x＝140时，80﹣0.5×（140﹣20）＝20（元/人），∵门票价格不低于60元/人，∴x＝40，答：该团队的人数为40人．27．已知，矩形OABC的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，点B的坐标为（2，4），E为AC上一动点．（1）如图1，连接OE，当时，求E点坐标；（2）连接BE，过点E作EF⊥BE交x轴于点F，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．解：由矩形OABC的顶点B（2，4），∴点A（2，0）、C（0，4），设直线AC：y＝kx+b，则，解得：，∴y＝﹣2x+4，∵E为AC上一动点，∴设E（