第06讲 拓展三：直线与抛物线的位置关系（解析版）2023-2024学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页第06讲拓展三：直线与抛物线的位置关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系 1题型二：重点考查求抛物线中的切线方程 4题型三：重点考查根据根与系数求参数 6题型四：重点考查抛物线中弦长问题 9题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题 14题型六：重点考查抛物线中点弦问题 18题型七：重点考查抛物线中范围及最值 22题型八：重点考查抛物线中的定点问题 27题型九：重点考查抛物线中的定值问题 30题型十：重点考查抛物线定直线问题 35题型十一：重点考查抛物线中向量问题 39题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【答案】D【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：D例题2．（多选）（2023秋·高二课时练习）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，由方程组消去y得，①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．综上，直线l的方程为，或.故选：ABC.

例题3．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.【答案】答案见解析【详解】

若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点；若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：，由得：；①当时，，解得：，此时，直线与抛物线有且仅有一个公共点②当时，方程的判别式；若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点；综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点.精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）直线与抛物线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】B【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点．故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值．【答案】或0【详解】由，整理得，当时，，解得，当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意，综上，实数的值为或0.3．（2023秋·高二课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【答案】答案见解析【详解】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，∴直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，，∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点．综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点．题型二：重点考查求抛物线中的切线方程典型例题例题1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】设与平行，且与相切，则与的距离即为的最小值，联立与得，由，解得，故的最小值为.

故选：D例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程．【答案】或【详解】当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为．由消去未知数x得．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切．如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由方程组消去x，整理得．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且，因此可解得．此时直线l的方程为，即．综上可知，直线l的方程为或．精练核心考点1．（2023秋·全国·高二随堂练习）抛物线上一点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直线与相切，联立与得：，由，得：，则直线为，故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，由两平行线间距离公式得：.故选：A2．（多选）（2023秋·高二课时练习）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，由方程组消去y得，①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．综上，直线l的方程为，或.故选：ABC.

题型三：重点考查根据根与系数求参数典型例题例题1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知抛物线C：，直线l经过定点，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，满足，则p＝（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【详解】易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，．联立，消去x，得，则，．∵，∴，∴．故选：C．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【详解】∵，，∴，，∴∴直线AB的方程为：，即：，设，，，，，∴，又∵，∴，∴，∴.故选：B.例题3．（2023秋·高二课时练习）已知直线被曲线截得的弦长为，求实数的值．【答案】【详解】解：联立方程组，整理得，设直线与曲线的交点为，可得，解得，且，由弦长公式，可得因为直线与曲线截得的弦长为，可得，解得，所以实数的值为.精练核心考点1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）直线上两点到直线的距离分别等于它们到的距离，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】根据抛物线的定义可知，到直线距离和到点的距离相等的点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，抛物线方程为，所以点是直线与抛物线的两个交点，联立方程，得，，而.故选：C2．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为.【答案】【详解】由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点，的横坐标恰好是方程的根，所以，，联立，消得，则，，所以，，所以，，经检验，符合题意，所以直线的方程为，即.故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）写出以及韦达式子：．【答案】见解析【详解】联立，整理为，，，.题型四：重点考查抛物线中弦长问题典型例题例题1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考期中）过抛物线的焦点作直线，交于、两点，若线段中点的纵坐标为2，则．【答案】8【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，联立，可得，易得，设，，，，则，，，，则．故答案为：8．

例题2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，

设，.将代入，消去整理得.当时，，.，化简得：，解得，经检验，此时，故.例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，直线的方程设为，联立直线与抛物线方程，可得，，可得，设,，,，，，因为，所以，可得，可得，所以直线的方程为：．即．（2）直线的方程设为，

令，可得，所以，所以,，,，因为，所以：,,，所以，，，，，化简可得，，，可得，，，．精练核心考点1．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】令，则，故，所以，所以，故准线为，则.故选：B2．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．【答案】或.【详解】不妨设抛物线方程为，焦点到准线的距离为，则，抛物线为：，焦点，准线方程为，直线的方程为，由消去整理得，即，解得，，则，，所以直线与抛物线的交点为和，所以或.

3．（2023秋·高二课时练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求该抛物线的方程.【答案】或【详解】设抛物线方程为，直线与抛物线交于，

由得：，则，解得：或，，，，解得：或，满足，抛物线的方程为：或.4．（2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，∴，过H做轴于M，∵，∴，∴，解得．∴所以抛物线E的方程为．

（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，设，，AB中点，由，，，，，∴，则∴，∵AB的中点到准线的距离等于，∴当最小时，AB的中点到准线的距离最短．∵，当且仅当时，解得，则．所以直线AB的方程为或.题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题典型例题例题1．（2023春·四川广安·高二广安二中校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，所以，.又，所以，设，则.因为，所以，所以，所以，即.所以，抛物线为，焦点为，准线为，由得，解得，所以，，所以，直线的方程为所以，联立方程得，解得，所以，，所以，故选：B例题2．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点.反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.一束光线由点出发沿x轴反方向射向抛物线上一点P，反射光线所在直线与抛物线交于另一点Q，则弦的长为.【答案】【详解】由题意可设，则，解得，即，由抛物线的性质：当光线平行抛物线的对称轴时，经抛物线反射后，光线过焦点.可得反射光线经过抛物线的焦点，故直线的斜率，则直线的方程为，设，联立方程，消去y可得，则，所以.故答案为：.例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若，则线段的长为．【答案】/4.5【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，由题意可知，所以，设，所以，且，因此，故，所以，即，因此直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，与抛物线联立，即，设，则，因此，故答案为：.精练核心考点1．（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，轴被以为直径的圆所截得的弦长为6，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】抛物线的焦点，易知当斜率不存在时不成立，故设直线为，设，.则，即，故，故中点的横坐标为，.故，解得，故.故选：.2．（2023·全国·高三专题练习）一束光线由点出发沿x轴反方向射向抛物线上一点P，反射光线所在直线与抛物线交于另一点Q，则弦|PQ|的长为.【答案】【详解】由题意可设，则，解得，即，由抛物线的性质：当光线平行抛物线的对称轴时，经抛物线反射后，光线过焦点.可得反射光线经过抛物线的焦点，故直线的斜率，则直线的方程为，设，联立方程，消去y可得，则，所以.故答案为：.题型六：重点考查抛物线中点弦问题典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为．【答案】【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为，设，因为线段的中点为，故，则，由，两式相减得，所以，故直线的方程为，即．故答案为：.

例题2．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为.【答案】【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点.设，所以，即，又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，所以直线的方程为，即.故答案为：

例题3．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即精练核心考点1．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)2【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.

2．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为M的焦点为，且直线l：经过点，所以经过的焦点．联立，得．设，，则，则，解得．所以M的方程为．（2）设，，则，两式相减，得．因为，所以l＇的斜率为.

3．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即题型七：重点考查抛物线中范围及最值典型例题例题1．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】抛物线的准线方程为，

圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，因为，解得，所以，抛物线的方程为，故抛物线的准线与圆相切于点，若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得，此时，即点，所以，，因为点在圆上，设点，则，所以，.故选：C.例题2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由抛物线方程知：，准线；过作，垂足为，由抛物线定义知：，，则当三点共线时，取得最小值，即图中的，，，解得：；又在抛物线内侧，，解得：，实数的取值范围为.故选：D.例题3．（2023秋·高二课时练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.【答案】16【详解】由题意知抛物线的焦点为，焦准距，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则，的斜率都存在且不为0，故设，则直线，设，联立，则，，则，同理，故，同理可得,故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为16.精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可设：，因为，因为，则，且，则，可得，整理得，令，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；综上所述：点C的横坐标m的取值范围是.故选：A.2．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知抛物线：，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为.【答案】3【详解】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C.过M点作垂线，垂足为A.则M到与的距离之和为.由抛物线定义知，又，则.当且仅当三点共线时，最短，为.故答案为：3

3．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为.【答案】【详解】设，因为，所以，，，，对称轴为，所以当时，取得最小值.故答案为：.题型八：重点考查抛物线中的定点问题典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，．(1)求；(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．【答案】(1)(2)过定点【详解】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得（负值舍去），所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，由消去得，，则，所以，，所以，则直线的方程为，即，即，即，令，可得，所以直线恒过定点.

例题2．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．【答案】(1)E的方程为，曲线E是抛物线.(2)证明见解析【详解】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）设直线：，联立，消去并整理得，，即，设，，则，，因为，，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.

精练核心考点1．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点．【答案】【详解】由题意可设直线的方程为，，联立，消得，则，，因为，所以，即，即，所以，所以，又，所以，所以直线的方程为，所以直线l经过定点.故答案为：.

2．（2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线：过点．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）坐标代入抛物线方程得，解得，∴抛物线方程为．（2）证明：显然直线斜率不为0，故可设：，将的方程与联立得，设，，则，，所以，，同理：，由题意：，∴，∴，即，代入直线得，故直线恒过定点．

题型九：重点考查抛物线中的定值问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，(1)求的值.(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，3【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，由题得，所以，因为，所以△是等边三角形，因为是的中点，所以，故，所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知抛物线的方程是，设直线的方程为，，因为，所以，即，即.又，所以，故.联立，消去，得，其中，则，所以，所以.设点到直线和直线的距离分别为，则由得，所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.例题2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于两点（点在两点之间），则；设交轴于点，交准线于点，则.【答案】/【详解】

到准线的距离为，，抛物线为，准线，，，由题意可设直线，，由得：，，解得：或，，，；设，则，直线，直线，，，.故答案为：；.精练核心考点1．（2023春·江西赣州·高二校考阶段练习）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点F到直线的距离为．(1)求C的标准方程；(2)若直线与C交于与点O不重合的A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，点F到直线的距离，所以，C的标准方程为．（2）设，，则，，所以直线OA，OB的斜率之积为，所以，由题意知，由得，

代入得，所以，．此时，所以．2．（2023春·河南驻马店·高二统考阶段练习）已知圆：与轴相交于，两点（点在轴的上方），过点作圆的切线，是平面内一动点，过点作的垂线，垂足为，且，记点的运动轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值.【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）设，由题可得，，，，，，，因为，所以有，，，，即，，，即，所以．（2）设直线的斜率为，线段的中点为，因为直线过点，所以，设，，，，联立，恒成立，，，，因为的中点为，所以横坐标为，又因为点在直线上，所以，设的垂直平分线为，则斜率为，，即，则，，所以，为定值．

题型十：重点考查抛物线定直线问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.（1）求和的值；（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），联立方程，消去后整理为，因为直线与抛物线相切，所以，得，故，.（2）证明：直线的方程为，联立方程，解得或，则点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为联立方程，消去整理为，有，，，由得或，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，化为，直线的方程为，化为，联立直线、的方程消去后得，得，因为直线与不重合，所以，所以，故点在定直线上.例题2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.【答案】（1）（2）总在定直线上.【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上，则，又点到抛物线的准线的距离为所以，则所以抛物线的方程为.（2）设，记.则，，联立可得，又，代入得，所以总在定直线上.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.（1）求抛物线C的方程.（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，代入解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线，则，设,，所以切线PM的方程为，即,同理切线PN的方程为，联立解得点，设直线MN的方程为，代入，得，所以，所以点P在上，结论得证.2．（2023·全