河南省顶级名校联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．（0，1） C．（1，2） D．[1，2]2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（）（参考数据：）A．25 B．31.6 C．250 D．3164．（5分）已知函数f（x）＝asinx+cos（x+）的图象关于直线x＝，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．（5分）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，则全班学生数学成绩的方差为（）A．21 B．19 C．18 D．6．（5分）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）A．216 B．360 C．720 D．10807．（5分）已知ω是正整数，函数f（x）＝sin（ωx+ω）在（0，ωπ），其导函数为f′（x），则f（x）（x）的最大值为（）A．2 B． C．3 D．8．（5分）已知过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且＝，点Q满足，点C（4，0），则|QC|的最小值为（）A． B．2 C． D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S6＞S8，则下列结论中正确的是（）A．a5+a10＞0 B．d＜0 C．S14＜0 D．当n＝7时，Sn取得最大值（多选）10．（5分）已知F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且AF1⊥F1F2，直线AF2与椭圆的另一个交点为B，且＝3，则下列结论中正确的是（）A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段AF1的长度为a C．椭圆的离心率为 D．△BF1F2的周长为（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝，则（）A．f（x）的极大值为 B．存在无数个实数m，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根 C．f（x）的图象上有且仅有两点到直线y＝1的距离为1 D．若关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则a存在最大值，且最大值为（多选）12．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别为棱PD，BC的中点•＝0，则下列结论中正确的是（）A．动点Q的轨迹是半径为的球面 B．点P在动点Q的轨迹外部 C．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆 D．动点Q的轨迹与平面PAB有交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sinxsinθ+cosxcosθ成立的—个θ的值：．14．（5分）过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|PA|＝|PB|．15．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，PB＝，PA⊥AB，cos∠CPD＝．16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）过点A作AD∥BC，连接CD，使A，B，C，若AB＝，AC＝1，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝CA＝15，AB＝14，PC＝（Ⅰ）证明：CO⊥平面PAB；（Ⅱ）若点Q满足＝，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．19．（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知直线l：y＝x﹣2与双曲线E交于A，B两点，过A，C，求四边形ABCD的面积．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1+S2+…+Sn＝4an﹣2n﹣4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝log2an，求证：．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，乙胜丙、丁的概率均为，丙胜丁的概率为（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．22．（12分）已知函数f（x）＝exsinx﹣aln（x+1）（a∈R）．（Ⅰ）若x＝0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣1，0），（，π）上各有一个零点参考数据：．

2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．（0，1） C．（1，2） D．[1，2]【分析】由题意可知﹣1≤a2﹣a＜0，解不等式即可得出答案．【解答】解：由集合A＝{x|a2﹣a＜x＜2，x∈Z}中恰有两个元素4﹣a＜0，解得a∈（0，4）．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的应用，属于基础题．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数除法法则计算出z＝1﹣2i，得到对应的点的坐标，得到所在象限．【解答】解：，故复数对应的点坐标为（1，所以位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（）（参考数据：）A．25 B．31.6 C．250 D．316【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，，从而，因此．故选：D．【点评】本题考查了指数与对数的转化公式的应用，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）＝asinx+cos（x+）的图象关于直线x＝，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的对称性建立等式，进而可以求解．【解答】解：函数f（x）＝asinx+cos（x+）＝asinx+＝（a﹣）sinx+＝sin（x+θ）＝，因为函数图象关于直线x＝对称，则，解得，则tan，解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的对称性，考查了学生的运算能力，属于基础题．5．（5分）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，则全班学生数学成绩的方差为（）A．21 B．19 C．18 D．【分析】根据题意，由总体的平均数、方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设该班有女生m人，则全班有3m人，则全班学生数学成绩的平均数＝121，全班学生数学成绩的方差S2＝[20+（120﹣121）2]+[17+（123﹣121）8]＝21．故选：A．【点评】本题考查总体的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．6．（5分）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）A．216 B．360 C．720 D．1080【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图：分3步进行分析：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，则有，③对于下底A7B1C1D7，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×7×1＝9种选法，则共有2×24×9＝1080种选法．故选：D．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及四棱柱的结构特征，属于基础题．7．（5分）已知ω是正整数，函数f（x）＝sin（ωx+ω）在（0，ωπ），其导函数为f′（x），则f（x）（x）的最大值为（）A．2 B． C．3 D．【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：因为f（x）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，所以，即，所以3＜ω2≤3，又ω∈N+，所以ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+7），f′（x）＝2cos（2x+6），所以，其中．故选：B．【点评】此题考查三角函数的零点问题，是中档题．8．（5分）已知过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且＝，点Q满足，点C（4，0），则|QC|的最小值为（）A． B．2 C． D．1【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、向量的坐标运算以及点到直线的距离公式再进行求解即可．【解答】解：易知直线l的斜率存在且不为零，不妨设直线l的方程为y＝k（x+2）+2，A（x2，y1），B（x2，y7），联立，消去x并整理得ky2﹣6y+8k+8＝7，因为Δ＝16﹣4k（8k+7）＞0，所以2k2+2k﹣1＜3，由韦达定理得，，①不妨设Q（x0，y6），因为，所以y1﹣2＝λ（y8﹣2），②因为，所以y1﹣y7＝﹣λ（y2﹣y0），③联立②③可得（y3+2）（y1+y3）﹣2y1y8﹣4y0＝4，④又，⑤联立①④⑤，可得x0﹣y7﹣2＝0，所以|QC|的最小值即为点C（7，0）到直线x﹣y﹣2＝2的距离，则最小距离d＝＝，经检验，其满足2k8+2k﹣1＜6，所以|QC|的最小值为．故选：C．【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S6＞S8，则下列结论中正确的是（）A．a5+a10＞0 B．d＜0 C．S14＜0 D．当n＝7时，Sn取得最大值【分析】分别利用等差数列的性质，以及等差数列的求和公式逐一判断即可．【解答】解：由题意，S6+a7＞S4＞S6+a7+a7，即a7＞0，a2+a8＜0，且a4＜0，A项，a5+a10＝a5+a8＜0，错误；B项，d＝a3﹣a7＜0，正确；C项，S14＜＝×14＝7（a7+a8）＜0，正确；D项，由已知可得，且在n＝6时加完所有正项，Sn取得最大值，正确．故选：BCD．【点评】本题考查等差数列的应用，属于中档题．（多选）10．（5分）已知F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且AF1⊥F1F2，直线AF2与椭圆的另一个交点为B，且＝3，则下列结论中正确的是（）A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段AF1的长度为a C．椭圆的离心率为 D．△BF1F2的周长为【分析】由向量共线定理求得B的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，可判断A；由A的坐标可判断B；由椭圆的离心率公式可判断C；由椭圆的定义可判断D．【解答】解：由AF1⊥F1F5，可设A（﹣c，），B（x，又F2（c，2），，可得6c＝3（x﹣c），﹣，解得x＝c，y＝﹣c，﹣），将B的坐标代入椭圆方程，可得+＝+，化为4a2＝3b4，即a＝b，故A错误；|AF6|＝＝a，故B正确；椭圆的离心率e＝＝＝＝，故C正确；△BF4F2的周长为|BF1|+|BF2|+|F1F2|＝8a+2c＝a，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝，则（）A．f（x）的极大值为 B．存在无数个实数m，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根 C．f（x）的图象上有且仅有两点到直线y＝1的距离为1 D．若关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则a存在最大值，且最大值为【分析】利用导数研究f（x）的单调性与极值，并画出f（x）的图象，再针对各个选项数形结合，即可求解．【解答】解：∵f（x）＝，∴＝，∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，f′（x）＜5，2）时，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，4）上单调递增，+∞）上单调递减，∴f（x）极小值为f（1）＝，f（x）极大值为f（2）＝，且f（0）＝1，当x→﹣∞时；当x→+∞时，∴作出f（x）的图象如下：对A选项，∵f（x）极大值为f（2）＝；对B选项，由图可知仅存m＝，使关于x的方程f（x）＝m有且只有两个实根；对C选项，由图可知f（x）图象上仅有一个在y＝1上方的点到直线y＝1的距离为6；对D选项，∵f（x）≥ax的解即为f（x）的图象在直线y＝ax上方所对应的x范围，∴要使关于x的不等式f（x）≥ax的解集内存在正整数，则直线y＝ax的斜率a最大为过点（1，，∴a的最大值为，∴D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，属中档题．（多选）12．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别为棱PD，BC的中点•＝0，则下列结论中正确的是（）A．动点Q的轨迹是半径为的球面 B．点P在动点Q的轨迹外部 C．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆 D．动点Q的轨迹与平面PAB有交点【分析】利用正四棱锥的性质，结合数量积的定义与运算法则，对各项依次加以推理证明，即可得到本题的答案．【解答】解：设点O是底面正方形ABCD的中心，连接PO，正方形ABCD中，，PO＝＝＝，连接OM、ONPB＝1AB＝1，△OMN中，∠MON＝180°﹣∠PAB＝120°．∵•＝4，点Q在以MN为直径的球面上，因此动点Q的轨迹是半径为的球面；∴OM＝8，，∴，∴PM＞OM，∴点P在以M为球心的球面外；∵OM＝4，，∴，MA＞OM，故C正确；由前面的分析，可得点Q的轨迹被平面ABCD截得的是圆，故点Q的轨迹被平面ABCD截得的圆面和平面PAB没有公共点，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查正四棱锥的性质、数量积的定义与运算法则、动点轨迹的判断等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sinxsinθ+cosxcosθ成立的—个θ的值：θ＝（答案不唯一）．【分析】由已知结合和差角公式及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：因为sin（x+θ）＝sinxcosθ+cosxsinθ，又sin（x+θ）＝sinxsinθ+cosxcosθ，故只要sinθ＝cosθ，即tanθ＝1，故满足条件的一个θ＝．故答案为：θ＝（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了三角恒等变换，属于基础题．14．（5分）过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|PA|＝|PB|5x+y﹣1＝0．【分析】设出P点的坐标，根据圆的切线长的性质，建立方程，即可求解．【解答】解：设P（x，y）P到相应圆心的距离平方减去对应圆半径的平方相等：即x2+y2﹣7x﹣3y+3＝x2+y2+3x﹣7y+2，化简可得所求曲线方程为5x+y﹣2＝0．故答案为：5x+y﹣8＝0．【点评】本题考查轨迹方程的求解，圆的几何性质，属中档题．15．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，PB＝，PA⊥AB，cos∠CPD＝．【分析】根据锥体的体积公式，重要不等式，余弦定理，即可求解．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的体积为．要使四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值，只需AB•PA取得最大值．由条件可得PA2+AB2＝PB7＝18≥2PA⋅AB，即PA•AB≤9，当且仅当PA＝AB＝7时，PA•AB取得最大值9，又，所以由余弦定理可得：．故答案为：．【点评】本题考查锥体的体积的计算及最值的求解，余弦定理的应用，属中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点[﹣1，+∞）．【分析】根据题意易得f（x）＝x2﹣lnx+ax＞0在区间（1，+∞）上恒成立，再参变量分离，然后利用导数求最值，即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣lnx+ax在区间（1，且x→+∞时，∴f（x）＝x2﹣lnx+ax＞0在区间（2，∴a＞在区间（1，设g（x）＝，x＞1，∴＝，又x＞1时，2﹣lnx﹣2x2＜4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（1）＝﹣4，故a≥﹣1，即实数a的取值范围为[﹣1．故答案为：[﹣8，+∞）．【点评】本题考查函数的零点问题，恒成立问题的求解，利用导数研究函数的单调性，参变量分离法，属中档题．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）过点A作AD∥BC，连接CD，使A，B，C，若AB＝，AC＝1，求AD的长．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦定理，两角和的正弦公式可求，结合B∈（0，π），可求B的值；（Ⅱ）由题意利用正弦定理可得，可求，进而利用同角三角函数基本关系式以及余弦定理即可求解AD的值．【解答】解：（Ⅰ）由btanB＝acosC+ccosA，所以由正弦定理可得BtanB＝sinAcosC+sinCcosA，故sinBtanB＝sin（A+C），而sinB＝sin（A+C）＞0，所以，又B∈（0，π），所以；（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，因为AD∥BC，所以，在△ACD中，因为CD＜AC，所以∠DAC为锐角，所以，由余弦定理可得，解得AD＝1或．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝CA＝15，AB＝14，PC＝（Ⅰ）证明：CO⊥平面PAB；（Ⅱ）若点Q满足＝，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．【分析】（Ⅰ）由已知条件，证明CO⊥AB，CO⊥PO，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用＝，得出点Q的坐标，求得两个平面所在的法向量即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA＝CA，PB＝CB，所以△PAB≌△CAB，因为PO⊥AB，所以CO⊥AB，设OB＝x，则OA＝14﹣x2﹣（14﹣x）2＝137﹣x2，解得x＝5，故OB＝5，OA＝9，在△POC中，因为PO2+CO6＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面PAB；（Ⅱ）解：如图所示，以O为坐标原点，OA、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，3，0），9，7），﹣5，C（12，0，P（7，0，12），0，y0，z2），则，，因为，所以，故Q（3，0，9），，设平面QAB的法向量为＝（x8，y1，z1），则，令x5＝3，可得，0，﹣5），易知平面PAB的一个法向量为＝（1，0，因为cos＜＞＝，所以二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明及二面角的求法，考查空间向量的应用，属中档题．19．（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知直线l：y＝x﹣2与双曲线E交于A，B两点，过A，C，求四边形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）由题意，设双曲线的半焦距为c（c＞0），结合题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；（Ⅱ）将双曲线方程与直线l的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到|AB|的表达式，设出直线AD的方程，将直线AD的方程与双曲线方程联立，利用根与系数的关系再进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为c（c＞0），因为的一条渐近线的倾斜角为30°，所以，①因为一个焦点到E上的点的最小距离为2﹣，所以，②又a4+b2＝c2，③联立①②③，解得，则E的方程为；（Ⅱ）联立，消去y并整理得2x2﹣12x+15＝3，不妨设A（x1，x1﹣6），B（x2，x2﹣4），由韦达定理得x1+x2＝7，，不妨设x1＞x2，所以，，此时，易知直线AD的方程为y＝﹣（x﹣x8）+x1﹣2，联立，消去y并整理得，由韦达定理得xD＝（x6+xD）﹣x1＝5x5﹣6，同理xC＝5x7﹣6，所以|AD|+|BC|＝（xD﹣x5）+（xC﹣x2）＝（4x1﹣5）+（4x4﹣6）＝4（x1+x2）﹣12＝12，故四边形ABCD的面积S＝．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1+S2+…+Sn＝4an﹣2n﹣4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝log2an，求证：．【分析】（Ⅰ）利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）的思想，推出数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝n，当n＝1时，＝1＜，不等式成立；当n≥2时，由放缩法可得＜，再结合裂项求和法，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当n＝1时，S1＝a4＝4a1﹣4，解得a1＝2；当n＝7时，S1+S2＝7a1+a2＝6a2﹣8，解得a2＝4，当n≥2时，由S8+S2+⋯+Sn＝4an﹣3n﹣4，得S1+S5+⋯+Sn﹣1＝4an﹣7﹣2（n﹣1）﹣7，两式相减得Sn＝4an﹣4an﹣3﹣2，从而Sn+1＝4an+1﹣4an﹣5，所以Sn+1﹣Sn＝an+1＝4an+1﹣8an+6an﹣1，整理得3（an+4﹣2an）＝2（an﹣2an﹣1）（n≥2），因为a7﹣2a1＝4，所以an﹣2an﹣1＝6，即an＝2an﹣1（n≥6），所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列n＝4n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn＝log2an＝log27n＝n，当n＝1时，＝1＜；当n≥2时，＝＝＜＝2（﹣），所以++…+）+（﹣）]＝1+2（＝，综上，原不等式成立．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求通项公式，裂项求和法与放缩法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，乙胜丙、丁的概率均为，丙胜丁的概率为（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．【分析】（Ⅰ）由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；（Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，“甲胜乙、丙、丁”分别记为事件A1，A2，A3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B1，B2，“丙胜丁”记为事件C，结合题目所给信息以及条件概率公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）易知X的所有可能取值为0，1，5，3，此时，，，，则X的分布列为：X0143P故E（X）＝0×+1×+6×；（Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B、丙、丁”分别记为事件A1，A7，A3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B1，B4，“丙胜丁”记为事件C，此时，，，所以P（A）＝P（A6A2A3）+P（A2A3）[3﹣P（B1B2）]+P（A7A3）[8