2021年广东省深圳市罗湖区中考数学诊断试卷(A卷)(含答案解析)

2021年广东省深圳市罗湖区中考数学诊断试卷（A卷）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中,

质量最接近标准的是（）

2.2018年5月至12月，本市广泛开展“我与改革开放”故事征集活动，通过在群众中征集亲身经

历，亲耳所闻的

故事，生动展示生活中点点滴滴的变化，生动描绘出首都人民在实现中国梦过程中所展现的改革创

新精神，截至目前，“我与改革开放”故事征集微博话题阅读量达到1030000,把1030000用

科学记数法表示为（）

A.1.03x106B.1.03x105C.10.3x105D.0.103x106

3.1个小立方体的六个面分别标有字母b,c,d,e,f,

个不同方向看到的情形如图所示，则了的对面字母是（）000

A.aB.cC.dD.e

4.下列计算正确的是（）

A.（—5）0=0B.x2+x3=XsC.2a2-a-1=2aD.（afa2）3=a2b3

5.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：

成绩/米1.501.601.651.701.751.80

人数232341

则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为（）

A.1.75,1.70B,1.75,1.65C.1.80,1.70D,1.80,1.65

6.下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.等边三角形是锐角三角形

B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C.两直线平行，同位角相等

D.如果两个角是直角，那么它们相等

7.在A4&7中，zc=90°.如果杷=2,80=1，那么sin/的值是

A1供奉,旧D3

2532

8.2,下列正确的式子是

A.一一：>°B.—(-4)=—|—4|C.一点)一：D.-3.14>-n

9.函数y=k1x和y=个（的＞0,且七七＜。）的图象大致是（）

10.如图，P为边长为2的正方形A8CD的对角线8。上任一点，过点尸作

PE1BC于点E,PF1CD于点F,连接EF,给出以下4个结论：①力P=

EF；②4P1EF；③EF最短长度为8；④若48”=30。时，则所的

长度为2.其中结论正确的有（）

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①③④

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.因式分解：x3y2-x5=.

12.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosA的值为

13.已知传送带与水平地面所成斜坡的坡度i=1：恂，如果它把物体送到离地面3米高的地方,

那么物体所经过的路程为米.

14.在DABC。中，BC=2AB,E为8C的中点，则

(1)44ED=°；

(2)若BC=4,AE+AD=5,则S(348co=

15.如图，将等腰直角三角形ABC放到平面直角坐标系中，直角顶点

C(—2,0),点若反比例函数y=:的图象过点A,则k=

三、解答题(本大题共7小题，共55.0分)

16.计算

(1)V25+yFM+(—1)2°17；

(2)|V3-2|+2(V3-1).

17.先化简，再求值：(意+枭),+(£+；)，其中/+y2=17,(x-y)2=9.

18.下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据:

线路高速公路108国道

路程185千米250千米

过路费120元0元

(1)若小车在高速路上行驶的平均速度为90千米/小时，在108国道上行驶的平均速度为50千

米/小时，则小车走高速公路比走108国道节省多少时间？

(2)若小车每千米的耗油量为x升，汽油价格为7元/升.问x为何值时，走哪条线路的总费用较

少？(总费用=过路费+耗油费)

(3)公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同耗油的小车进行统计，得到平均每

小时通过的车辆数的条形统计图如图所示.请估算10小时年俄内这五类小车走高速公路比走

108国道节省了多少升汽油？(以上结果均保留两个有效数字)

19.［试题背景］

已知：〃/m〃n〃Z,平行线与〃?、相与〃、〃与之间的距离分别为由、d2'&3，且由=d3=l,

42=2.我们把四个顶点分别在〃hn,这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

(1)如图1,正方形ABCO为“格线四边形”，BEL于点E,BE的反向延长线交直线于点F.求

正方形ABCD的边长.

(2)如图2,菱形ABCO为“格线四边形”且乙4DC=60°,△/!/?是等边三角形，AE_Lk于点

E,AAFD=90°,直线。尸分别交直线/、于点G、M。

求证：EC=DF.

(3)矩形ABC。为“格线四边形”，其长:宽=2：1,直接写出矩形ABC。的宽。

20.某动物园的门票价格如下表，五一节该园共售出840张票，得票款13600元，问该园售出的成

人票和儿童票各多少张？

成人票价20元/张

儿童票价10元/张

21.在平面直角坐标系中，直线/的解析式为y=弓心动圆OP的半径为2.

(1)如图1,当OP的圆心与原点。重合时，直线/与OP相交于点4请求出此时点A的坐标；

(2)如图2,当OP向上平移ni(7n>0)个单位时，。P与直线/相切于点8,请求出此时机的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，使0P在直线/上滚动，可以看出点尸在某条直线上运动，请直接写出

这条直线的解析式，并求出当。P与y轴有公共点时点P运动的路线长.

22.某服装专卖店从服装总公司购进某种品牌的服装进行销售，其进价是每件120元，根据销售经

验知，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足学过的某种函数关系，y随x变化的部分统

计数据如下表：

每件售价（元）130140150155160165

每天的销售量（件）706050454035

（1）根据所学知识，判断y与x之间满足哪种函数关系式，并求出它们之间的关系式；

（2）该专卖店在销售过程中，每天还需支付各种费用800元，求该专卖店日利润W（元）与每件售

价双元）之间的函数关系式（日利润=日销售额-总进价-各种费用）；

（3）在（2）的条件下，求当每件售价为多少元时，该专卖店每天的利润最大，最大利润为多少？

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：•••1+0.81=0.8,|-3.5|=3.5,|-0.7|=0.7,|+2.1|=2.1,

0.7<0.8<2.1<3.5,

•••从轻重的角度看，最接近标准的是-0.7.

故选：C.

求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可.

本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度

也不大.

2.答案：A

解析:解：1030000=1.03X106.

故选：A.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中1式同<10,〃为整数，据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax103其中lW|a|<10,确定“与〃

的值是解题的关键.

3.答案：D

解析：解：由图可知，与e相邻的字母有氏c、“、d,

所以，字母/的对面是字母e.

故选：D.

观察三个正方体，与e相邻的字母有b、c、a、d,从而确定出e对面的字母是了.

本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的

字母的关键，也是解题的难点.

4.答案：C

解析：解：A、（一5）。=1,故A不符合题意；

B、不是同底数基的乘法指数不能相加，故8不符合题意；

C、底数不变指数相加，故C符合题意：

D、积的乘方等于乘方的积，（就2）3=。3b6,故。不符合题意；

故选：C.

根据零次幕，合并同类项，负整数指数幕，积的乘方，可得答案.

本题考查了零次幕，合并同类项，负整数指数幕，积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键.

5.答案：A

解析：解：由表可知1.75a出现次数最多，有4次，所以众数为1.75m,

这15个数据最中间的数据是第8个，即1.70m,所以中位数为1.70m,

故选：A.

根据众数和中位数的定义分别进行解答即可.

此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个

数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按

要求重新排列，就会出错：众数是一组数据中出现次数最多的数.

6.答案：C

解析：解：4、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题

意；

8、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数

相等，是假命题，不符合题意；

C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；

。、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命

题，不符合题意；

故选：C.

分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的概念、实数的平方、平行线的判定定理、直角的概

念判断即可.

本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理

7.答案：A

解析：根据正弦的定义直接可得出结果.

.,BC1

解：sinA=-------二一，

AB2

故选A.

8.答案：D

解析：知识点：数与式

解析：任何实数的绝对值均为非负数，负数小于0,一切正数大于一切负数，两个负数绝对值大的

反而小，故本题选〃

9.答案：C

解析：解：fci＞。且七七＜0,

/c2＜0,

•••y=Ze6的图象在第一三象限,

y="的图象在第二四象限，

X

故选：C.

首先根据七＞0且的心＜0,可得心＜0,再根据正比例函数的性质可得丫=卜修的图象在第一三象

限，根据反比例函数y=B的性质可得丫=的图象在第二四象限，进而可选出答案.

此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质.

10.答案:B

解析：解：①如图，连接PC,

四边形ABCD为正方形，

・・・AB=BC,乙ABP=乙CBP=45°,

AB=CB

在△/8P和4CBP中，\/_ABP=Z.CBP

BP=BP

••.△ABP三ACBP(SAS),

：,AP=PC,

•・,PE工BC,PFLCD,HzFCF=90°,

・・・四边形PECF为矩形，

・・・PC=EF,

・・.4P=EF,故①正确；

②延长AP交BC于点G,

由①可得4PCE=乙PFE=乙BAP,

vPE//AB,

・•・Z,EPG=乙BAP,

・•.Z.EPG=Z.PFE,

•••乙EPF=90°,

/.乙EPG+乙PEF=乙PEG+Z.PFE=90°,

•••AP1EF,故②正确；

③当4P_LBD时，AP有最小值或，止匕时P为8。的中点，

由①可知EF=4P,

EF的最短长度为泥，故③错误；

④当点尸在点8或点。位置时，AP=AB=2,

•■EF=AP<2,

.•.当NBAP=30。时，AP<2,

即E尸的长度不可能为2,故④正确；

综上可知正确的结论为①②④

故选：B.

连接PC，可证得AABP三ACBP,结合矩形的性质，可证得P4=EF,国判断①；延长AP交8C于

点G,可证得4P_LEF,可判断②；求得4P的最小值即可求得《尸的最短长度，可判断③；当点P

在点B或点。时，AP有最大值2,则可判断④：可求得答案.

本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质，构造三角形全等证得AP=E尸是解题的关键.

11.答案：x3(y-x)(y+x)

解析：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解

要彻底.先提取公因式炉，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.

解：x3y2—Xs=x3(y2—x2)=x3(y—x)(y+x).

故答案为/(y-X)(y+X).

12.答案：—

17

解析：解：如图，作于”，设小正方形的边长为1.则AC=，/+42=g,

在RtAACH中，cosA=^=-A==--

AC71717

故答案为：也.

17

如图，作CH_L4B于H,设小正方形的边长为1.则AC=d万+4?=g,再根据三角函数的定义求

解即可.

本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.

13.答案：27

解析：解：••・传送带与水平地面所成斜坡的坡度为1：V80.A____________

/

.AE_1叩3_J_

"BE-V80'即BE一廊，

BED

解得，BE=3恸=12通（米），

由勾股定理得，AB='AE2+BE2=27（米），

•••物体所经过的路程为27米，

故答案为：27.

根据坡度的概念求出BE,根据勾股定理求出48,得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握力皮度的概念是解题的关键.

14.答案：90V15

解析：解：（1）•.,四边形ABC。是平行四边形，

:,AD〃BC,AB=CD,

:.z2=43,z6=z4,

•：BC=2AB,E为BC的中点，

:.AB=EB,EC=DC,

:.zl=z3,z.4=z5,

:.zl=z2,z5=z6,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AB〃CD,

41+42+46+45=180°,

・•・Z.24-z.6=90°,

・・・Z.AED=90°.

故答案为：90。；

(2)・,・四边形A8CO是平行四边形,

:.AD=BC=4,

vAE+AD=5,

:.AE—1,

ED=yjAD2-AE2=V15,

•••S-ED=xED=竽

SIABCD=V15.

故答案为：V15.

(1)首先根据题意画出图形，根据平行四边形的性质证明42=43,46=44,再由条件BC=24B,

E为BC的中点证明41=42/5=N6,再由平行四边形的性质可得42+N6的度数，进而可得4/ED

的度数；

(2)首先利用勾股定理计算出DE的长，然后再根据平行四边形ABCD的面积是44E。面积的2倍可

得答案.

此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行，邻角互补.

15.答案：-6

解析：解：过点A作4。，x轴于点。，如图所示.

vAACB=90°,

Z.ACD+^CAD=90°,4ACD+乙BCO=90°,

・•・Z-CAD=Z-BCO.

•••三角形A8C为等腰直角三角形，

AC—BC.

Z.CAD=乙BCO

在△4CD和ABCO中，\^LADC=ACOB=90°,

AC=BC

•••△4C0为BC0(44S),

:・AD=CO=2,DC=OB=1,

・••点4(-3,2).

•反比例函数y=E的图象过点A,

■■k=-3x2=-6.

故答案为：—6.

过点A作4。lx轴于点。，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算即可证出△4CD三△BC。，由

此即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论.

本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,

解题的关键是求出点A的坐标.本题属于基础题，难度不大，通过证明两三角形全等找出点A的坐

标是关键.

16.答案：解:(1)原式=5-4—1

=0；

(2)原式=2-V3+2V3-2

=V3.

解析：(1)根据算术平方根、立方根进行计算即可；

(2)根据绝对值的性质和合并同类二次根式进行计算即可.

本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根、绝对值的性质和合并同类二次根式是解题的关

键.

17.答案：解：+y2=17,(x-y)2=9,

:.2xy=x2+y2—(x—y)2=17—9=8,

(x+y)2=x2+y2+2xy=17+8=25,

•••x+y=5,xy=4,

•‘原式x+yx+2yxy

xyxy

x+yx+y

44

=-x-

55

16

=云

解析：先将原式进行化简，然后根据/+y2=i7,(X-y)2=9求出x+y和孙的值并代入求解即

可.

本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键在于先将原式进行化简，然后根据M+y2=i7,(X-

y)2=9求出x+y和xy的值并代入求解.

18.答案：解：(1)小车走高速路比走108国道节省:记一记a2.9小时;

(2)设小车走高速公路总费用为九元，走108国道的总费用为丫2元，则有

yi=7x185-x+120,

y2=7x250•x,

①若月=72-解得X~0.26,即当x«0.26(升/千米)时，小车走高速公路总费用与走108国道的总

费用相等；

②若、1＞丫2,解得》＜0.26,即当x＜0.26(升/千米)时，小车走108国道的总费用较少；

③若为＜丫2,解得久＞026,即当％＞0.26(升/千米)时，小车走高速公路总费用较少.

(3)10x(250-185)x(100X0.26+200X0.28+500x0.30+500x0.32+100x0.34)

=276900

X2.8x105(升)

答：估算10小时内这五类小车走高速路比走108国道大约节省了2.8xIO、升汽油.

解析：(1)利用时间=鳖求解：

(2)总费用=过路费+耗油费，分路程来讨论得到结果；

(3)节省油量=时间X(高速的路程-108国道的路程)x五种车辆两每小时节油的和.

解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.

19.答案：(1)如图1,,l//k,

:.Z-AEB=乙BFC=90°,

又四边形A8CO是正方形，

/.Z14-Z2=90°,AB=BC,

vz.2+Z.3=90°,••・z.1=Z.3,

・・・△ABE三△BCFQ4AS),

・•・AE=BF=1,BE=di4-d2=3,

••AB=^+F=yio

••.正方形的边长是、/齿.

(2)如图4,连接AC,

•••四边形ABC。是菱形，

:.AD=DC,

又4WC=60。，、

ADC是等边三角形，

・•・AD=AC,

vAELk,Z.AFD=90°,・•・Z-AEC=Z-AFD=90°,

•・•△4后尸是等边三角形，・・.AF=AE,

AFD^^AEC(HL),・•・EC=DF.

(3)如图2,3,AABEfBCF,

BFEC2BFBC1

"AEAB1AEAB2

•・・BF=d3=1,

AE=2或趣=2

矩形ABC。的宽为一!^或相.

解析：本题考查三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定，正

方形、菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想.

(1)通过证明A4BE三△BCF(44S)得出AE=BF,从而求出8E的长，根据勾股定理求出A8；

(2)通过证明4AFD^^AEC,即可得到结论EC=DF-,

(3)通过证明4ABE*BCF,然后利用勾股定理得到AB的的长.注意两种情况.

20.答案：解：设该园售出的成人票有x张，儿童票有y张，由题意得，

(x+y=840

(20%+10y=13600,

解得:［；：320-

答：该园售出的成人票有520张，儿童票有320张.

解析：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的

等量关系，列方程组求解.

设该园售出的成人票有x张，儿童票有了张，根据共售出840张票，得票款13600元，列方程组求解.

21.答案：解：⑴过A作AC_Lx轴于C,

•••A在直线/上，

图1

・••设

则。-，〃

•••OA=2,

.••由勾股定理得：X2+(fx)2=22,

解得：x=V3,

即。。=V3,AC=1,

A的坐标为(e