新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的标准方程及其性质的应用学生用书无答案新人教A版选择性必修第一册

第2课时椭圆的标准方程及其性质的应用学习任务1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算)2．会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、直观想象)3．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(逻辑推理、数学运算)从椭圆C的一个焦点F1处出发的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？知识点1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔________________；点P在椭圆外部⇔________________．知识点2直线与椭圆的位置关系(1)判断直线与椭圆位置关系的方法直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆____；当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆____；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆____．(2)弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝______，或|AB|＝______，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ()(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆x2a2＋y2b2＝2．(1)点P(2，1)与椭圆x24＋y29＝(2)若点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则3．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点F(类型1直线与椭圆的位置关系【例1】(源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：x24＋y2＝1[尝试解答]直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．[跟进训练]1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1．试问当m取何值时，直线(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．类型2实际生活中的椭圆问题【例2】(多选)如图所示，现假设某探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2C．c1a1<c2a[尝试解答]解决和椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．[跟进训练]2．(源自北师大版教材)酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km，远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km)，求椭圆轨道的标准方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)类型3直线与椭圆的相交弦问题弦长问题【例3】已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m．(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[尝试解答](1)求直线被椭圆截得弦长的方法：一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；二是用弦长公式|AB|＝1+k2|x1－x2|，或|AB|＝1+1k2|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2(2)有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．[跟进训练]3．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M1，32，(1)求椭圆C的标准方程；(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当|AB|＝185时，求直线l的方程中点弦问题【例4】(2022·山西省朔州市期末)已知椭圆x216＋y24＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线[尝试解答][母题探究]本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[跟进训练]4．过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若点M与弦长有关的最值、范围问题【例5】已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P为椭圆C上非顶点的动点，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，过A1，A2分别作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直线l1，l2相交于点G，连接OG(O为坐标原点)，线段OG与椭圆C交于点Q．记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k(1)求k1(2)求△POQ面积的最大值．[思路导引](1)写出点A1，A2的坐标→设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝y0x0，写出直线l1，l2的方程→联立直线l1，l2的方程求出G的坐标→求出k2→求出(2)结合(1)设出直线OP，OQ的方程→分别与椭圆方程联立求出P，Q的坐标→利用两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求出△POQ面积的表达式→利用基本不等式求出△POQ面积的最大值．[尝试解答]求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．[跟进训练]5．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝22，且点P(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．1．直线y＝x＋1与椭圆x25＋y24＝1A．相交